2. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

1999/2000 tél II. évf. 13.-18.tk.

1. Legyen F az [xy] síkban fekvo R sugarú origóközéppontú felfelé irányított körlap és k a z tengely irányú egységvektor. ${\displaystyle \int_F \,\mbox{rot\,}(k\times r)\,df \,=\,\,?}$

MO. F normálisa n=k, legyen $v=\mbox{rot\,}(k\times r)$ erre eso vetülete v_n.

${\displaystyle \mbox{rot\,}(k\times r) = 2\,k \mbox{ \ (pl. rot def.--b\H ol)}... ...}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,} \int_F \,v\,df \, = \int_F \,v_n\,\vert df\vert }$ ${\displaystyle = \int_F \,\vert v\vert\,\vert df\vert= \int_F \,2\,\vert df\vert= }$

${\displaystyle = 2\int_F \,\vert df\vert=2\,\vert F\vert= 2\,R^{\,2}\pi.}$ VAGY ${\displaystyle \int_F \,\mbox{rot\,}(k\times r)\,df = \int_L \,(k\times r)\,dr = 2\cdot R^{\,2}\pi\,,}$ ahol

L a körvonal (lásd Jegyzet 1.23(1) ).

2. Számítsuk ki a div $(\mbox{grad\,}\vert r\vert^2)$ értékét minden $r \in {\mathbb R}^{100}\,, \, r\neq 0$ esetén!

MO. $\mbox{grad\,}\vert r\vert^2=2\,\vert r\vert\,\frac{r}{\vert r\vert}= 2r \mbox{\... ...,\,\,\,} \mbox{div\,grad\,}\vert r\vert^2)= 2\,\mbox{div\,}r = 2 \cdot 100= 200$.

3. Legyen H az a háromszögvonal (mint kétdimenzióbeli felület), melynek csúcsai a
$(-a,0)\,,\, (0,b)\,,\,(c,0)$ pontok. Legyen v(x,y)=(2x+y²,x²+2y) minden $(x,y)\in {\mathbb R}^2$-re. ${\displaystyle \int_H \,v\,df \,=\,\,?}$

MO. div ${\displaystyle v = \frac{\partial v_1 }{\partial x} + \frac{\partial v_2 }{\partial y} = 2+2 = 4 }$, így Gauss-Osztrogradszkij tétellel (F a H által bezárt háromszöglap): ${\displaystyle \int_H \,v\,df \,= \int_F \,{\rm div\,}v\,dV \,=4 \int_F \,dV\,= 4 \vert F\vert = 2(c+a)b\,.}$

4. Legyen $f(z)= f(x+jy)= x^2\frac{j}{\vert x\vert+\vert y\vert}$. ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow 0}f(z) = \,?}$

MO. ${\displaystyle \vert f(z)\vert= \vert x\vert^2\frac{1}{\vert x\vert+\vert y\ver... ...\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}\lim_{z\rightarrow 0}f(z) = 0}$

5. Adja meg az ${\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}}$ függvény z = 1 és z = 0 körüli összes Laurent sorát! MO.

a) z = 0: ${\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}}$ |z|>0

b) z = 1: 1) ${\displaystyle f(z)=\frac{1}{1+ (z-1)}= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (z-1)^n}$ (|z-1|<1)

2) ${\displaystyle f(z)= \frac{1}{z-1+ 1}= \frac{1}{z-1}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{z-... ...0}^ \infty (-1)^n \frac{1}{(z-1)^n}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-1)^{n+1}}}$ (|z-1|>1)

6. ${\displaystyle \int_{\vert z\vert=1}\,\,\frac{z^3}{\sin^2 z}\,dz =\,?}$

MO. $\sin^2 z = 0$ iff $\sin z = 0$ iff ${\displaystyle e^{jz}-e^{-jz}=0}$ iff e^jz=e^-jz iff $jz = -jz \,\,\,\,\mbox{($2\pi j$ )}\,\,\,\,$ iff
iff $2jz = 0 \,\,\,\,\mbox{($2\pi j$ )}\,\,\,\,$ iff $z = 0\,\,\,\,\mbox{($\pi$ )}\,\,\,\,$ így

${\displaystyle \int_{\vert z\vert=1}\,\,\frac{z^3}{\sin^2 z}\,dz =\,0}$,

mert ${\displaystyle f(z)= \frac{z^3}{\sin^2 z} = z\frac{z^2}{\sin^2 z} \xrightarrow... ... 0\cdot 1 = 0 \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}f(z)}$-nek az egyetlen a körlapon levo szingularitásában, az origóban megszüntetheto szakadása van.