3. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

1999/2000 tél II. évf. 13.-18.tk.

1. Legyen F az R sugarú origóközéppontú kifelé irányított gömb és $v(r)=r\,\vert r\vert^2.$ ${\displaystyle \int_F \,v\,df \,=\,\,?}$

MO. F normálisa $n \parallel r \parallel r\,\vert r\vert^2=v(r)$, így v(r)-nek a normálisra való vetülete: v_n(r)=|v(r)|=|r|³. Másrészt a gömbön |r|=R, így a gömbön v_n(r)=|v(r)|=R³. Mindezekkel

${\displaystyle \int_F \,v\,df \, = \int_F \,v_n\,\vert df\vert= \int_F \,\ver... ...vert^3 \int_F \,\vert df\vert= R^3 \vert F\vert = R^3 \cdot 4R^2\pi= 4 R^5\pi }$

2. Számítsuk ki a grad $\mbox{div\,}r\,\vert r\vert^2$ értékét minden $r \in {\mathbb R}^{100}\,, \, r\neq 0$ esetén!

MO. ${\displaystyle \mbox{div\,}r\,\vert r\vert^2 = \vert r\vert^2 \,\mbox{div\,}r ... ...,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}\mbox{div\,}r\vert r\vert^2 = }$

${\displaystyle = 100\,\vert r\vert^2+2\,\vert r\vert^2=102\,\vert r\vert^2 \mbo... ...,}102\,\vert r\vert^2=102\,\mbox{grad\,}\vert r\vert^2= 102\cdot 2\,r = 204\,r}$

3. Legyen K az [xy] síkbeli origóközéppontú pozitívan irányított R sugarú körvonal és
$v(x,y)=(x^2\,y^2, \,x^3\,y)$ minden $(x,y)\in {\mathbb R}^2$-re. ${\displaystyle \int_K \,v\,dr \,=\,\,?}$

MO. rot ${\displaystyle v = \left \vert \begin{array}{cc} \frac{\partial }{\partial x}... ...y^2 & x^3\,y \\ \end{array} \!\right \vert \, \, = 3x^2\,y - 2x^2\,y=x^2\,y}$ így Stokes tétellel (F a K által bezárt körlap):

${\displaystyle \int_K \,v\,dr \,= \int_K \,{\rm rot\,}v\,dV \,= \int_F x^2\,y\,dV = \int\int_F x^2\,y \,dx\,dy\,= 0\,,}$ mert F az x tengelyre szimmetrikus és az integrandus y-ban páratlan.

4. Határozza meg azt a tartományt, melybe az ${\displaystyle f(z)= \frac{j}{2-z}}$ függvény a $T = \{z \in {\mathbb C} : \mbox{Re\,}z < 1 \}$ tartományt képezi!

MO. ${\displaystyle T \stackrel{(-1)\cdot}{\longrightarrow} \{z \in {\mathbb C} : \... ...ongrightarrow} \{z \in {\mathbb C} : \vert z-\frac{j}{2}\vert < \frac{1}{2}\}}$.

5. Számítsa ki az ${\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{z-2}}$ függvény 100. deriváltját az origóban! MO. Az ${\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{z-2}}$ függvény origó körüli Taylor-sora: ${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n\,!}z^n}$ ${\displaystyle = f(z)=\frac{z^2}{z-2} = }$

${\displaystyle =-\frac{z^2}{2-z} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{z^2}{1-\frac{z}{2}} ... ...fty z^{n}\,2^{-n+1\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}}$

${\displaystyle \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,} \fra... ...,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,} f^{(100)}(0)=-2^{-99}\,100\,!\,}$

6. a) ${\displaystyle \int_{\vert z\vert=1}\,\frac{z^2}{z-2}\,\,dz =\,?}$ b) ${\displaystyle \int_{\vert z\vert=3}\,\frac{z^2}{z-2}\,\,dz =\,?}$

MO. a) Az integrandus a körön belül reguláris, tehát Cauchy integráltétellel az integrál 0.

b) z² mindenütt reguláris, tehát Cauchy integrálformulával: ${\displaystyle z^2\big\vert _{z=2} = \frac{1}{2 \pi j}\int_{\vert z\vert=3}\,\frac{z^2}{z-2}\,\,dz \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,} \in... ...\vert=3}\,\frac{z^2}{z-2}\,\,dz = {2 \pi j}\cdot z^2\big\vert _{z=2} = 8\pi j}$