4. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

1999/2000 tél II. évf. 13.-18.tk.

1. Legyen F a z-tengelyu R sugarú m magasságú egyenes körhengerpalást. ${\displaystyle \int_F \,(k \times r)\,df \,=\,\,?}$

MO. ${\displaystyle \int_F \,(k \times r)\,df \,=\,0}$. Ugyanis F normálisa $n \in {\mathcal L}(k,r)$, azaz n benne van a k és r által kifeszített síkban, míg persze $k \times r \perp k,r \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}k \times r \perp n$. Következésképp az integrandus minden pontban meroleges a felületi normálisra, azaz az integrál 0.

VAGY: $v(r)= k \times r\,,\,\, F\,: r(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v)\,,\, 0\leq u \leq 2 \pi\,,\, 0 \leq v \leq m \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}$

$\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,} v(r)= {\displaystyl... ...o$ }\,\,\,\,}v(r(u,v))= (-R\sin u,R\cos u,0)\,,\, r_u = (-R\sin u,R\cos u,0)\,,$

$r_v= (0,0,1) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,} n = r... ...,R\sin u,0) \, \, } \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}$

$\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,} v(r(u,v))\cdot (r_... ...2\cos u\,\sin u+0=0 \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}$

${\displaystyle \int_F \,(k \times r)\,df \,= \int_0^{2\pi}\int_0^m v(r(u,v)\cdot (r_u \times r_v)\, du\,dv \,=\,0}$

2. Számítsuk ki a rot $\big(({\rm div}\, r) (k \times r)\big)$ értékét minden $r \in {\mathbb R}^3\,, \, r\neq 0$ esetén!

MO. rot $({\rm div}\, r\, (k \times r))= {\rm rot\,}(3 (k \times r)) = 3\, {\rm rot\,}(k \times r) = 6\,k$, mert ${\rm rot}\,(k \times r)= 2\,k$, mert $k \times r$ antiszimmetrikus lin. op., vagy mert ahogy a fenti pl.-ban láttuk $k \times r = (-y,x,0)\,,\,\, {\displaystyle \left \vert \begin{array}{ccc} i... ...partial }{\partial z} \\ -y & x & 0 \\ \end{array} \!\right \vert= (0,0,2)}$.

3. Legyen K az [xy] síkbeli origóközéppontú körvonal, mint kifele irányított kétdimenzióbeli felület és
$v(x,y)=(x^2y^2, \,xy^3)$ minden $(x,y)\in {\mathbb R}^2$-re. ${\displaystyle \int_K \,v\,df \,=\,\,?}$

MO. div ${\displaystyle v = \frac{\partial v_1 }{\partial x} + \frac{\partial v_2 }{\partial y} = 2xy^2 + 3xy^2 = 5xy^2}$ így Gauss-Osztrogradszkij tétellel (F a K által bezárt körlap): ${\displaystyle \int_K \,v\,df\,= \int_K \,{\rm div\,}v\,dV \,= \int_F 5xy^2\,dV = \int\int_F 5xy^2 \,dx\,dy\,= 0\,,}$ mert F az y tengelyre szimmetrikus és az integrandus x-ben páratlan.

4. Legyen ${\displaystyle g(x,y)= \frac{xy}{x^2+y^2}}$ az origón kívül és g(0,0) = 0, továbbá f(z)=f(x+jy)=g(x,y)+jg(x,y). Állapitsa meg, hogy az origóban:

a) fennállnak-e a Cauchy-Riemann differenciáegyenletek b) deriválható-e az f függvény!

MO. a) Igen: $u(x,y)=v(x,y)=g(x,y) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,... ...}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,} u_x(0,0)=\linebreak =u_y(0,0)=v_x(0,0)=v_y(0,0)=0$. b) Nem: u(x,y)=v(x,y)=g(x,y) nem deriválható az origóban, hiszen nem is folytonos itt: ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} g(x,x)= \frac{1}{2} \neq 0 = \lim_{x \rightarrow 0} g(x,0)}$.

5. Adja meg az ${\displaystyle f(z)=\frac{z}{z-1}}$ függvény origó körüli azon Laurent sorait, melyek a a $z=\frac{1}{2}$ ill. a z=3 pontokban eloállítják a fúggvényt és mutassa is meg, hogy a megfelelo sor ott valóban eloállítja a függvényt! MO. a) |z| < 1: ${\displaystyle f(z)=\frac{z}{z-1}= -\frac{z}{1-z}= -z\cdot\sum_{n=0}^\infty z^n = -\sum_{n=1}^\infty z^n}$

b) |z| > 1: ${\displaystyle f(z)=\frac{z}{z-1} = \frac{1}{1-\frac{1}{z}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^n}}$

c) $z=\frac{1}{2}\,:$ ${\displaystyle - \left.\sum_{n=1}^\infty z^n\,\right\vert _{z=\frac{1}{2}} = - ... ...1}= \left. \frac{z}{z-1}\,\right\vert _{z=\frac{1}{2}}=f\big(\frac{1}{2}\big) }$

$z=3\,:$ ${\displaystyle \left.\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^n}\,\right\vert _{z=3} = \s... ...}}= \frac{3}{2}= \frac{3}{3-1}= \left. \frac{z}{z-1}\,\right\vert _{z=3}=f(3) }$

6. ${\displaystyle \int_{\vert z\vert=1}\,\frac{e^{z^2}-1}{z^2}\,\,dz =\,?}$

MO. Az integrál 0, mert ${\displaystyle f(z)= \frac{e^{z^2}-1}{z^2} \xrightarrow[z \rightarrow \,0]{} 1 \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}f(z)}$-nek az egyetlen a körlapon levo szingularitásában, az origóban megszüntetheto szakadása van.