2. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

2000/01 tél II. Villamosmérnök 13.-18.tk.

1. Legyen H az a háromszögvonal, melynek csúcsai a (0,0), (0,2) , (2,0) pontok a síkban. Legyen
$v(x,y) = (x^2-2\,yx\,,\,\, y^2 -\,xy)$ egy kétdimenziós vektorfüggvény. Számítsuk ki v felületmenti integrálját a kifelé irányított H-n!

MO. ${\rm div} \, v = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y} = 2x -2y + 2y-x= x \,$ , így Gauss-Osztrogradszkij tétellel: (F a H által bezárt háromszöglap):

${\displaystyle \int_H v \; dr = \int_F {\rm div} \,v \; dV = \int_F \;x\,dV =... ..._0^{2-x}x\,dy\,dx = \int_0^2xy\,\big\vert _0^{2-x}\,dx = \int_0^2x(2-x)\,dx =}$ ${\displaystyle \int_0^22x-x^2\,dx =}$

${\displaystyle=\rule[-6mm]{0.0mm}{15mm} (\left.x^2-\frac{x^3}{3})\,\right\vert _0^2= 4-\frac{8}{3}= \frac{4}{3}}$

VAGY: a tengelyek mentén a felületi integrál 0, mert az x tengely mentén: v(x,0)=(x²,0), melynek csak x irányú, tehát a normálisra meroleges komponense van és u.így a másik tengely esetén. Tehát csak az átfogóra kell kiszámítani a felületi integrált. Ennek egyenlete:

${\displaystyle r(t)=(t, 2-t)\,, (t\in [0,2])\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$ ${\displaystyle \dot{r}(t)=(1,-1) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\lead... ...(\dot{r}(t))=(1,1) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle v(r(t))=\big(t^2-2\,(2-t)t\,,\,\, (2-t)^2 -\,t(2-t)\big)= (3t^2-4t,4-6t+2t^2) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \hspace*{-2mm}\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }... ...\,\,\,\,} \int_L v\,df = \int_0^2\,v(r(t))\cdot{\rm CROSS}\,(\dot{r}(t))\,dt =}$

${\displaystyle = \int_0^2\,5t^2-10t+4\,dt = (\left.\frac{5t^3}{3}-\frac{10t^2}... ...rac{40}{3}-\frac{40}{2}+8= \frac{80}{6}-\frac{120}{6}+\frac{48}{6}=\frac{4}{3}}$

2. Legyen H az a z tengelyu R sugarú h magasságú (háromdimenzióbeli) egyenes körhengerpalást, melynek alapköre az [x,y] síkban van. ${\displaystyle \int_H r \; df =\,? }$

MO. Legyen $v(r) = r \,$, n a hengerpalást normálisa, v_n pedig v-nek n-re eso vetülete. Ekkor a hengerpaláston mindenütt v_n=R így ${\displaystyle \int_H v \; df = \int_H v_n \; \vert df \vert = \int_h R \;\vert df\vert = R\,\int_H \;\vert df\vert= R\cdot2R\pi\cdot h= 2R^2h\pi.}$

VAGY: a hengerpalást egyenlete: ${\displaystyle r(u,v)=(R\cos u,R\sin u, v) \,,\,\,(u\in [0,2\pi]\,,\,\,v\in [0,h]) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \hspace*{-2mm}\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }... ...R\cos u,R\sin u, v)\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \hspace*{-2mm}\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }... ...u \times r_v = R^2 \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$ ${\displaystyle \int_H r \; df = \int_0^{2\pi}\int_0^h R^2 \,du\,dv = R^2\cdot 2\pi\cdot h = 2R^2h\pi.}$

3. Számítsuk ki ${\rm grad\,div\, } r\vert r \vert^2$ értékét, mint r függvényét minden $r \in {\bf R}^4$-re ha $r \neq 0$! MO. ${\displaystyle {\rm div\, } r\vert r \vert^2 = \vert r \vert^2 {\rm div\, } r+... ...= 6\vert r \vert^2\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \hspace*{-2mm}\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }... ...= {\rm grad\,}6 \vert r \vert^2= 12 \vert r\vert\frac{r}{\vert r\vert}=12\, r}$ ($r \neq 0$).

4. Számítsuk ki a $j \sin j - \cos j$ értékét !

MO. ${\displaystyle \,\, j\sin j - \cos j = j\frac{e^{jj} - e^{-jj}}{2\,j} - \,\fr... ...} = \frac{1}{2}\,\left(e^{jj} - e^{-jj}-e^{jj} - e^{-jj}\right)= -e^{-jj}= -e}$.

5. ${\displaystyle \lim_{z \longrightarrow 0} }$ ${\displaystyle \frac{ \frac{\cos z-1}{z^2} +\frac{1}{2}}{z^2}}$ = ?

MO. Legyen f(z) a fenti függvény. $\cos z$ Taylor-sora: ${\displaystyle \cos z = 1 - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24}-\frac{z^6}{720}\pm \ldots \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}\frac... ...4}{720} \pm \ldots \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$ ${\displaystyle f(z)= \frac{1}{24} -\frac{z^2}{720} \pm \ldots \, \longrightarrow \frac{1}{24} \mbox{ \ \ \ ha \ \ \ } z \longrightarrow 0 }$

VAGY: L'Hospitallal: ${\displaystyle f(z)=\frac{2\cos z-2+x^2}{2x^4}\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\... ...z} \longrightarrow \frac{1}{24} \mbox{ \ \ \ ha \ \ \ } z \longrightarrow 0 }$

6. Legyen K egységnyi sugarú, origóközéppontú kör és n >0 tetszoleges természetes szám.

Mennyi az ${\displaystyle \int_K \frac{e^{2z}}{z^{n+1}} \; dz }$ integrál értéke?

MO. A Cauchy integrálformula szerint: ${\displaystyle f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi j} \int_K \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,d... ...\,\,\,\,} \int_K \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz = 2\pi j\,\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}$

Itt most $a=0\,$ és ${\displaystyle f(z)=e^{2z} \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,... ...sto$ }\,\,\,\,} \int_K \frac{e^{2z}}{z^{n+1}} \; dz= \pi j\,\frac{2^{n+1}}{n!}}$