3. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

2000/01 tél II. Villamosmérnök 13.-18.tk.

1. Legyen $H$ az a háromszögvonal, melynek csúcsai a (0,0), (0,2) , (2,0) pontok a síkban. Legyen
$v(x,y) = (y^2 +2\,xy\,,\,\, x^2+yx)$ egy kétdimenziós vektorfüggvény. Számítsuk ki $v$ vonalmenti integrálját a pozitívan irányított $H$-n!

MO. ${\rm rot} \, v = \frac{\partial v_2}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial y} = 2x +y - 2y-2x= -y \,$ , így Stokes tétellel: ($F$ a $H$ által bezárt háromszöglap):

${\displaystyle \int_H v \; dr = \int_F {\rm rot} \,v \; dV = \int_F \;-y\,dV ... ...0^{2-y}y\,dx\,dy = -\int_0^2xy\,\big\vert _0^{2-y}\,dy = -\int_0^2y(2-y)\,dy =}$ ${\displaystyle -\int_0^22y-y^2\,dx =}$

${\displaystyle=\rule[-6mm]{0.0mm}{15mm} \left.\frac{y^3}{3}-x^2\,\right\vert _0^2= \frac{8}{3}-4= -\frac{4}{3}}$

VAGY: a tengelyek mentén a vonalintegrál 0, mert az $x$ tengely mentén: $v(x,0)=(0,x^2)$, melynek csak $y$ irányú, tehát az érintore meroleges komponense van és u.így a másik tengely esetén. Tehát csak az átfogóra kell kiszámítani a felületi integrált. Ennek egyenlete ha $L$-et negatívan irányítjuk:

${\displaystyle r(t)=(t, 2-t)\,,\,\,t\in [0,2]\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,}}$ ${\displaystyle \dot{r}(t)=(1,-1) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,}}$

${\displaystyle v(r(t))=\big((2-t)^2+2(2-t)t\,,\,\, t^2 +t(2-t)\big)= (4-t^2,2t) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \hspace*{-2mm}\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$... ...\,\,} \int_{\hspace{-0.5mm}-L} v\,dr = \int_0^2\,v(r(t))\cdot\dot{r}(t)\,dt =}$

${\displaystyle = \int_0^2-t^2-2t+4\,dt = (\left.-\frac{t^3}{3}-t^2+ 4t)\,\rig... ...\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,} \int_L v\,dr = -\frac{4}{3} }$

2. Legyen $m>0$ és $K$ a háromdimenziós térben az a $z=m$ síkban elhelyezkedo $R\,$ sugarú felfelé irányított körlap, melynek középpontja a $z\,$ tengelyen van. ${\displaystyle \int_H r\; df =\,? }$

MO. Legyen $v(r) = r \,$, $n=k$ a körlap normálisa, $v_n$ pedig $v$-nek $n$-re eso vetülete. Ekkor a körlapon mindenütt $v_n=m$ így ${\displaystyle \int_K v \; df = \int_K v_n \; \vert df \vert = \int_K m \;\vert df\vert = m\,\int_K \;\vert df\vert= m\cdot R^2\pi= R^2m\,\pi.}$

VAGY: a körlap egyenlete: ${\displaystyle r(u,v)=(u\cos v,u\sin v, m) \,,\,\,(u\in [0,R]\,,\,\,v\in [0,2\pi]) \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \hspace*{-2mm}\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$... ...u\cos v,u\sin v, m)\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \hspace*{-2mm}\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$... ...u \times r_v = m\,u\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,}}$ ${\displaystyle \int_H r \; df = \int_0^R\int_0^{2\pi} m\,u \,dv\,du = m\,2\pi\, \frac{u^2}{2}\bigg\vert _0^R = m\,2\pi\, \frac{R^2}{2}= R^2m\,\pi.}$

3. Adjunk meg egy olyan ${\mathbb{R}}^4$-en értelmezett $u = u(r)$ skalárfüggvényt, hogy ${\rm grad}\,u = r \vert r \vert^2$ legyen minden
$r\in{\mathbb{R}}^4\,,\,\, r \neq 0$ esetén!

MO. $v(r)= r \vert r \vert^2$ potenciálja: ${\displaystyle u(r) = \int_0^1 rt \vert rt \vert^2 \cdot r \; dt = \vert r \vert^4 \int_0^1 t^3 \; dt = \frac{ \vert r \vert^4}{4} \,.}$ Valóban: ${\displaystyle {\rm grad}\,u = 4\,\frac{\vert r\vert^3}{4}\cdot \frac{r}{\vert r\vert}= r \vert r \vert^2 }$.

4. Számítsuk ki a $j\,{\rm sh\,} (j\frac{\pi}{2}) - {\rm ch\,} (j\frac{\pi}{2})$ értékét !

MO. ${\displaystyle \,\, j\,{\rm sh}\, (j\frac{\pi}{2}) - {\rm ch\,} (j\frac{\pi}{... ...frac{\pi}{2} } + e^{j\frac{\pi}{2}}}{2} = \frac{1}{2}(j(j - (-j))-(j+ -j))=-1}$.

5. Legyen minden $z\neq 0\,$ esetén ${\displaystyle f(z) = \frac{\frac{e^z - 1}{z} - 1}{z} }$. Folytonossá teheto-e az $f$ függvény az origóban? Ha igen, a folytonosított változat deriválható-e az origóban? Ha igen, mennyi a derivált értéke?

MO. $e^z$ Taylor-sora: ${\displaystyle e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \ldots \ \mbox{... ...\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,}f(z) \circeq \frac{1}{2} }$ esetén $f\,$ egy mindenütt konvergens hatványsor határfüggvénye, így mindenütt akárhányszor deriválható, Taylor-sora az ot eloállító hatványsor ${\displaystyle \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large $\leadsto$}\,\,\,\,}f'(0) = \frac{1}{6}}$.

6. Legyen $K$ az origóközéppontú $R = 2$ sugarú kör. Mennyi az ${\displaystyle \int_K \frac{1}{z^2-4z+3} \; dz }$ integrál értéke?

MO. Cauchy integrálformulával:

${\displaystyle \int_K \frac{1}{z^2-4z+3} \; dz = \int_K \frac{1}{(z-1)(z-3)} ... ...\,j\,\left.{\frac{1}{z-3}}\right\vert _{z=1}= 2\pi\,j(-\frac{1}{2})=-\pi\,j\,.}$