Tudományos kutatómunkájának két fő területe "a geometria alapjai", vagyis az ú.n. axiomatikus geometria és "a geometriai szerkesztések elmélete". Mindkét tudomány-terület klasszikus témaköre a geometriának, hiszen bölcsőjüket az ókor nagy görög tudósai ringatták. Ennek ellenére számos probléma tisztázatlan maradt, és a huszadik század egyik legnagyobb matematikusát D.Hibertet is intenzíven foglalkoztatták e kérdések. Ilyen területen természetesen a legnehezebb problémák maradnak megoldatlanok, és ezek megoldására vállalkozni a talentumosoknak is csak vasszorgalommal lehet. Ezek közé tartozott J.Hjelmslev a század első felében, akinek munkásságához szorosan kapcsolódik Strommer Gyula kutatási tevékenysége.

I. A geometriai egybevágóság elmélete képezi a [4, 4a, 8, 9] munkák tárgyát. Hilbertnél a szakaszok egybevágósága mellett a szögek egybevágósága is alapfogalom, ami bizonyos komplikációkhoz vezet a geometria axiómatikus felépítésénél. Azon kívül az egybevágósági axiómák lényegesen leegyszerűsíthetők, miként azt A.Rosenthal kimutatta, ámde akkor a két alapfogalom eredetleges szép szimmetriája elvész. J.Mollerup dán matematikus a szögek egybevágóságát (kongruenciáját, jele:) a következőképpen definiálta:

, ha és esetén is teljesül.

Itt feltételezzük, hogy a szögek egybevágósága nem függ a szárakon nyugvó megfelelő pontoktól. A Mollerup-féle axióma rendszerben ezt a következő axióma biztosítja - amely először G.Veronese könyvében fordul elő, és leegyszerűsített formájában R.L.Moore fogalmazott meg:Legyen mind az A,B,C , mind pedig az ponthármas nem kollineáris, továbbá legyen , valamint D illetve a BC illetve egyenesek oly pontjai, amelyekre a BCD és rendezés mellett fennáll is, akkor fennáll a következő egybevágóság is: .

Strommer Gyula [4 , 4a] disszertációjában kimutatta, hogy a Mollerup-féle axiómarendszerben ez az axióma a többiből levezethető, azaz bebizonyítható. Egy másik bizonyítást ad erre [9] munkájában.

A párhuzamossági axiómákkal foglalkozik a [10,13] dolgozatokban. R.Baldus bebizonyította, hogy az Archimedes-féle axióma alapul vételével a párhuzamossági axióma leegyszerűsíthető, mégpedig azáltal, hogy a Hilbert-féle IV. axiómát a következő gyengébb feltétellel helyettesítjük:

Létezik legalább egy a egyenes és rajta kívül legalább egy A pont úgy, hogy legföljebb egy egyenes létezik, amely az A ponton áthalad és az a egyenest nem metszi.

A [13] doldozatban megmutatja, hogy az I.1-3,II,III axiómák alapul vételével a hiperbolikus (Bolyai-Lobacsevszkij-féle) párhuzamossági axióma a következő gyengébb axiómával helyettesíthető: Létezik legalább egy a egyenes és ezen kívül egy B pont úgy, hogy a B pontból kiinduló két félegyenes és létezik, ezek nem tartoznak egy egyeneshez és az a egyenest sem metszik, viszont a B pontból kiinduló minden félegyenes, amely a () szög belsejében fekszik, metszi az a egyenest.

A fenti két eredményről a II.Magyar Matematikai Kongresszuson tartott előadására [11] felfigyelt Friedrich Bachmann professzor, aki azidőtájt a geometria alapjaira vonatkozó kutatások meghatározó személyisége volt. Ennek köszönhetően rendszeresen meghívták Oberwolfachba az ottani Matematikai Intézet "Geometria Alapjai" című konferenciáira. Az így létrejött személyes kapcsolatok segítették Strommer Gyulát további tudományos munkájában.

Szívesen foglalkozott az alábbi két kör-axiómával is:

K 1. Minden egyenesnek, amely egy tetszőleges kör belsejében fekvő ponton átmegy, a körrel legalább egy közös pontja van.

K 2. Két körnek, amelyek közül az egyik a másik belsejében illetve külsejében fekvő ponton áthalad, mindig van legalább egy közös pontja.

Könnyen látható, hogy az első kör-axióma a másodiknak következménye. A [23] munkájában bebizonyítja, hogy a második köraxióma a sík I-III. axiómáinak alapulvételével - tehát a párhuzamossági axióma alkalmazása nélkül is - az első kör-axiómából levezethető. Ez az eredmény egy általánosítása N.M.Nestorovi egy ismert tételének, amely a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriában az elemi szerkesztési feladatok körzővel és vonalzóval való megoldhatóságáról szól.

A [12]-ben Strommer Gyula elemi geometriai módszerekkel - a derékszögű háromszögek és a Lambert-féle három-derékszögű négyszögek között fennálló (már Lobacsevszkij által ismert) kapcsolat alapján - megmutatta, hogy mindkét köraxióma a fent nevezett axiómák folyománya.

Később [37]-ben a K 1. axióma frappáns bizonyítását adja a Hjelmslev-féle félforgás segítségével, amelynek legegyszerűbb - de a bizonyításhoz elégséges -tulajdonságai a sík I-III axiómáiból levezethetők.

A párhuzamossági szöghöz tartozó p párhuzamossági távolság egzisztenciájának kimutatása meglehetősen nehézkesen megy Hilbert segédtételeiből, amelyek a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria - folytonossági axiómáktól mentes - felépítésével foglalkozó alapvető művében szerepelnek. Strommer Gyula [42]-ben ugyancsak a Hjelmslev-féle félforgások alkalmazásával ezt az egzisztenciát a p párhuzamossági távolság párhuzamossági szögből való egyszerű szerkesztése által mutatja ki.

A [17] dolgozatban az elliptikus síkgeometria axiómatikus felépítésével foglalkozik. Az elliptikus sík folytonossági axiómáktól mentes, pusztán síkbeli axiómákon nyugvó felépítését elsőként G.Hessenberg adta meg. A Pascal tételen és a projektív geometria alaptételén keresztül jut el a trigonometrikus függvényekhez és a trigonometria alap összefüggéseihez. Strommer Gyula közvetlenül az elliptikus sík analitikus geometriáját építi fel, ezután definiálja a trigonometrikus függvényeket, mint bizonyos mozgás invariánsokat, majd a trigonometrikus alap összefüggéseket az analitikus geometriából vezeti le. Ez a felépítés - szemben Hessenbergével - sokkalta egyszerűbb.

II. Bizonyos szempontból a geometriai szerkesztések elmélete is egy axiomatikus tudomány területnek tekinthető, ugyanis még D.Hilbert bizonyos szerkesztéseket axiomatikusan jellemzett: Mindazon szerkesztési feladatok, amelyek az I-IV.axiómák alapul vételével (tehát a folytonossági axiómák használata nélkül) megoldhatók, a vonalzó és a szakaszátrakó illetve - Kürschák József egy fontos megjegyzése alapján - vonalzó és egységátrakó alkalmazásával is kivitelezhetők.

Ilyen szemlélettel vizsgálta Strommer Gyula a szerkesztések elméletét és a geometriai szerkesztési feladatok megoldhatóságát.

Eredményekben igen gazdag kutató munkáját a következő fejezetekre bontva szándékozunk bemutatni:

Az előző részben már említettük, hogy Strommer Gyula [12] és [37]-ben a Hilbert-féle I-IVaxiómák alapján mindkét kör axiómát tételként bebizonyította. Ezzel szoros kapcsolatban van a következőkben tárgyalt eredménye.

Az euklideszi geometriában jól ismert tény G.Mohr és L.Mascheroni egymástól függetlenül bizonyított tétele, miszerint a vonalzóval és körzővel végrehajtható szerkesztések pusztán körzővel is elvégezhetők (természetesen az egyenes tényleges megrajzolásától itt eltekintünk, egy egyenest két pontjának ismerete teljesen meghatároz).

Ezzel kapcsolatosan Strommer Gyula [19]-ben a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriában bebizonyította az analóg tételt. Axiomatikus szempontból az említett tétel a következő eredményt jelenti:

Mindazok a geometriai szerkesztési feladatok, amelyek a Hilbert-féle I-IVaxiómák alapján megoldhatók, pusztán a körző használatával is kivitelezhetők.

A [21] és [26]-ban a fent említett tételt élesebb formában bizonyítja az Archimedes-féle axióma hozzávételével: A Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriában mindazon geometriai feladatok, amelyek vonalzóval és körzővel kivitelezhetők, pusztán korlátozott nyílású körzővel is megoldhatók. A körző korlátozott nyithatóságán azt értik, hogy mindazon sugarú körök rajzolhatók meg a körzővel, amelyekre a következő egyenlőtlenség fenn áll: , ahol r és R tetszőleges előre megadott szakaszok és .

Ennek a tételnek az euklideszi analogonját K.Yanagihara bizonyította be 1931-ben.

Strommer Gyula [16] munkájában olyan szerkesztő eszköz használatát vizsgálja, amely tulajdonképpen egy párhuzamos (Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria értelmében) élekkel határolt vonalzó. Ezt a vonalzót az egyenesek megrajzolásán kívül a következőképpen is használjuk: az A és B pontok által meghatározott egyeneshez illesztjük az egyik élét, majd a másik élének segítségével (mindenféle becsúsztatás alkalmazása nélkül) az AB egyenessel párhuzamos egyenest állítunk elő. Kimutatta, hogy a fenti szerkesztő eszközzel a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriában mindazon szerkesztések elvégezhetők, amelyek vonalzóval és körzővel kivitelezhetők.

Strommer Gyula [14] illetve [15] munkáiban kimutatta, hogy a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriában mindazon szerkesztési feladatok, amelyek vonalzóval és körzővel megoldhatók, vonalzóval és szakaszátrakóval illetve egységátrakóval is keresztül vihetők, ha két párhuzamos egyenes (megrajzolva) ismert a szerkesztés síkján.

Fentebb már említettük D.Hilbert azon egzisztencia tételét, miszerint az euklideszi geometriában mindazon szerkesztések, amelyek vonalzóval és körzővel kivitelezhetők, vonalzóval és szakaszátrakóval is keresztül vihetők. Ebből közvetlenül következik, hogy mindazok a szabályos sokszögek, melyeknek csúcs-száma a jól ismert alakú Gauss-féle primszámokkal megegyezik, vonalzóval és szakaszátrakóval is megszerkeszthetők.

Ha azonban ezen sokszögek konkrét megszerkesztésére kerül sor, akkor meg kell a rezolvens egyenletek együtthatóinak értékét határozni, továbbá vizsgálni kell, hogy az egyes rezolvensek gyökei milyen periódust adnak. A szerkesztés elvégzésekor ez a vizsgálat nem maradhat el, a vizsgálat azonban nagyon hosszadalmas és körülményes. F.J.Richelot és J.Hermes a szabályos 257-szög illetve 65 537 -szög vonalzóval és körzővel történő konkrét megszerkesztésével foglalkozott. Megadták a szerkesztés kivitelezésének módját, de a jelzett nehézségekre utal, hogy F.J.Richelot munkája 96 oldal terjedelmű, J.Hermes pedig életének tíz esztendejét fordította a szabályos 65 537-szög konkrét szerkesztésének kidolgozására. Erre vonatkozó számításai és szerkesztései terjedelmüknél fogva máig kiadatlanok.

Strommer Gyula ugyanezzel a témakörrel foglalkozott, amidőn a szerkesztés eszközei a vonalzó és a szakaszátrakó. A [40, 40/a, 41, 43] munkákban igen finoman cizellált algebrai módszereket dolgozott ki a szabályos 17-szög illetve a szabályos 257-szög szerkesztésének vonalzóval és szakaszátrakóval való konkrét elvégzéséhez. Utolsó két munkájának kidolgozásában a tőle megszokott körültekintéssel és precizitással járt el, de közvetlen környezete érezhette, amit az élet beigazolt, hogy ekkor már saját életével is versenyt kellett futnia. A győztes mindenképpen Ő volt, még akkor is, ha a dolgozatok megjelenését már nem érhette meg.

Az elliptikus geometriai szerkesztéseket korábban B.Wiedemann vizsgálta. Ő a gömbfelületen kimutatta, hogy pusztán szférikus körzővel olyan pontpár nem szerkeszthető, melynek szférikus távolsága a gömbi főkör negyedével egyenlő. Ebből már következik fő eredménye:a gömbfelületen körzővel nem oldhatók meg mindazon szerkesztési feladatok, amelyek körzővel és vonalzóval megszerkeszthetők.

Ezzel szemben Strommer Gyula [28] munkájában kimutatta, hogy mindazon szerkesztési feladatok, amelyek az elliptikus síkon vonalzóval és körzővel keresztül vihetők, a vonalzó teljes mellőzésével pusztán körzővel is megoldhatók, ha megengedjük, hogy a körzővel egyenes vonalat is rajzoljunk abban az esetben, amidőn ismerjük a megrajzolandó félegyenes hosszát.

Strommer Gyula ezirányú vizsgálatai minenek előtt J.Hjelmslev eredményeihez kapcsolódnak. J.Hjelmslev sokat foglalkozott a sík geometriájának axiomatikus felépítésével és a geometriai szerkesztésekkel a Hilbert-féle I-III axióma csoportok alapján. Ezeket az eredményeket az alábbi két tételben lehet összefoglalni:

1.Bármely olyan geometriában, amelyben érvényesek a síkgeometria Hilbert-féle axiómarendszerének az I-III. csoportokban foglalt axiómái, azok a szerkesztési feladatok, amelyek csak ezeken az axiómákon alapulnak, pusztán vonalzóval és alapmértékkel (vagyis egységátrakóval) megoldhatók.

2.Ha egy geometriában a Hilbert-féle I.1-3, II, III és mindkét köraxióma érvényes, akkor mindazon szerkesztések, amelyek vonalzóval és körzővel keresztül vihetők, elvégezhetők vonalzóval és egyetlen körzőnyílással (vagyis merev körzővel).

Strommer Gyula [5] disszertációjához írt [5/a] tézisekben J.Hjelmslev ezirányú további vizsgálatairól a következőket írja: "Igen valószínű, hogy Hjelmslev már a pusztán körzővel végezhető szerkesztéseknek ilyen értelemben való vizsgálatával is foglalkozott. Ő ugyanis egy dán nyelvű dolgozatában (ez a 21. lábjegyzetben harmadiknak feltüntetett munka) kimutatja, hogy a derékszögű háromszögnek két befogójából, ill. az átfogójából és egyik befogójából való ama szerkesztése, melyet Mohr 'Euclides Danicus' c. művében adott, megfelelő módosításokkal a nem-euklidesi geometriában is elvégezhető; de p.o. egy adott távolság felezésére az ott adott megoldások a nem-euklidesi geometriában nem használhatók. 'És itt azután' - mondja Hjelmslev - 'a nem-euklidesi geometria mély problémájához érkeztünk, melyet egy későbbi alkalommal vizsgálok meg alaposabban'. Azonban e tárgyra nem tért többé vissza.

Ezeknek a vizsgálatoknak a folytatása képezi dolgozatom tárgyát."

Mindenek előtt meg kell jegyezni, hogy Strommer Gyula szerkesztés-elméleti eredményeit szintén axiomatikus szemszögből vizsgálta. Korrábban már szóltunk arról, hogy [23] dolgozatában tételként bizonyítja a második köraxióma érvényességét az I.1-3, II, III és az első köraxióma alapján. A párhuzamossági axiómától független vizsgálatokkal [24] dolgozatában kimutatja, hogy a köraxiómára adott bizonyítása általánosítható az általános körökre (vagyis a ciklusokra) .Ezen axiomatikus alapvetés után a geometriai szerkesztések elméletének következő szép és igen nehéz tételeihez jut el: N.M.Nestorovi bizonyította be elsőlént a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria szerkesztéselméletének alaptételét, amelynek Strommer Gyula által bizonyított általánosítása a következő:

Ha egy geometriában az I.1-3, II, III és a köraxióma érvényesek, akkor minden szerkesztés, amely vonalzó és általános körök megrajzolása által vihető keresztül, vonalzóval és körzővel is elvégezhető.

A következő két idézett tétel csupán [5] disszertációjában jelent meg, de mindkettő lényeges általánosítását adja a Mohr-Mascheroni-féle illetve Yanagihara-féle szerkesztéseknek valamint a [19], [21], [26] dolgozatokban foglaltaknak:

2.A vonalzóval és körzővel elvégezhető szerkesztések olyan körző alkalmazásával is keresztül vihetők, amellyel a következő egyenlőtlenségeknek eleget tevő sugarú körök rajzolhatók, ahol továbbá .

J.Steiner vizsgálta az euklideszi geometriában azokat a szerkesztéseket, amelyek egyetlen vonalzóval elvégezhetők. Kimutatta, hogy ha adott egy megrajzolt kör a középpontjával, akkor egyetlen vonalzóval végre hajthatók a vonalzóval és körzővel kivitelezhető szerkesztések.

Ehhez kapcsolódva [5]-ben illetve [30]-ban Strommer Gyula bebizonyította, hogy az Euklidesz-féle párhuzamossági axióma el nem fogadása esetén nem lehet minden szerkesztési feladatot, amely vonalzóval és körzővel megoldható, egy a síkban a középpontjával együtt kirajzolt kör segítségével pusztán csak vonalzóval megoldani. Ezen túlmenően bebizonyítja, hogy bármely olyan geometriában, amelyben az I.1-3, II, III axiómákon kívül érvényes a köraxióma is és a középpontjával együtt kirajzolt körön kívül ismeretes a kör középpontjától nem egyenlő távolságra levő két adott pont által meghatározott szakasz a felező pontjával, vagy két egymásra merőleges egyenes, melyek közül egyik sem megy át a megrajzolt kör középpontján, akkor bármely vonalzóval és körzővel végezhető szerkesztés pusztán vonalzóval is elvégezhető; e szerkesztéseknél a kör középpontja nem nélkülözhető.

Az előbbiek kiegészítéseként bebizonyítja a következő tételeket: - Egy egyenesen két, egymás mellett fekvő egyenlő nagyságú távolság, vagy két egymásra merőleges egyenes megadásával még nem lehet az Euklidesz-féle párhuzamossági axióma nélkül csupán vonalzóval és egységfordítóval megoldani mindazokat a feladatokat, amelyek a vonalzó és az egységátrakó kizárólagos használatával megoldhatók. - Mindazon geometriai szerkesztések, amelyek vonalzóval és szakaszátrakóval keresztül vihetők, pusztán egyenes vonalak és szögfelezők húzása által is megoldhatók. - Egy geometriában, amelyben az I.1-3, II, III axiómák és a két köraxióma érvényes, pontosan akkor oldhatók meg a vonalzóval és körzővel kivitelezhető szerkesztések egy fix kör segítségével és egyenesek húzásával, ha a háromszög szögösszege két derékszög.

A.Adler vizsgálta azokat a geometriai szerkesztéseket, amelyek az euklideszi síkon két párhuzamos éllel rendelkező vonalzó alkalmazásával elvégezhetők. Később A.S. Smogorschefsky kimutatta, hogy a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriában mindazon szerkesztési feladatok, amelyek vonalzóval és körzővel kivitelezhetők, olyan kétélű vonalzóval is megoldhatók, melynek egyik éle egyenes, másik éle pedig ettől az egyenestől adott (fix) távolságra levő pontok alkotta vonal. Ezzel a vonalzóval egyenesek megrajzolásán kívül egy adott egyenestől az adott fix távolságra haladó vonalat is meg tudjuk rajzolni.

Ezen eredmények alapul vételével Strommer Gyula [25]-ben a következőket mutatta meg: Ha azokat a párhuzamossági axiómától független szerkesztési feladatokat vizsgáljuk, amelyek olyan kétélű vonalzóval - amelynek egyik éle egyenes, a másik minden pontja pedig az elsőtől egyenlő távol van - végrehajthatók, akkor a következő két eredmény mondható ki:

I. Ha a kétélű vonalzót az egyenesek megrajzolásán kívül csak arra használhatjuk, hogy adott egyeneshez a megfelelő távolságvonalat meghúzzuk, akkor szerkesztő eszközünkkel csak azok a feladatok oldhatók meg, amelyek vonalzóval és egységátrakóval kivitelezhetők.

II. Ahhoz, hogy mindazon feladatok megoldhatók legyenek, amelyek körzővel és vonalzóval kivitelezhetők, az előbbieken túl a kétélű vonalzónak egy összetett használati módját is meg kell engedni. Ez abból áll, hogy a kétélű vonalzó egy-egy éle két megadott ponthoz illeszkedik, és ebben a helyzetben meghúzzuk az egyenes él mentén elhelyezkedő egyenest. Természetesen a két pont által meghatározott szakasz nagyobb (vagy egyenlő), mint a vonalzó szélessége.

Hasonló eredményekre jutott Strommer Gyula az abszolút geometriában a szögvonalzóval elvégezhető szerkesztések esetén is [5]. Föltétlenül megemlítendők még a szabályos sokszögek abszolút geometriai leírását megadó [32] , és [33] dolgozatai.

Nem hagyható ki ezen összeállításból annak megemlítése, hogy Strommer Gyulát még a legnehezebb időkben is meghívták különböző nyugateurópai egyetemekre előadásokat tartani és közös tudományos munkára. Ennek kapcsán J.Böhm professzor vendégeként a jénai egyetemen tartott egy előadás sorozatot kutatási eredményeiről, később pedig a müncheni műszaki egyetemen H.Sachs professzorral végzett közös kutatómunka eredményeképpen látott napvilágot a [34] dolgozat.

Végül be kell mutatni Strommer Gyula tankönyvírói tevékenységét is. Az [1] könyvet építőmérnök hallgatók számára írta, és benne számos - a mérnöki gyakorlatból átvett - feladatot szerepeltet. A [2] tankönyve az ábrázoló geometriát - a centrális vetítés és a mérőszámos ábrázolás kivételével - teljes egészében tárgyalja, részletesen kitérve a differenciálgeometriai és algebrai geometriai vonatkozásokra is. A [3] tankönyve az előbbi kibővített és alapvetően átdolgozott változata, amely az ábrázoló geometriai fejezeteken túl tárgyalja a vektorokat, a klasszikus analitikus geometriát, a projektív geometriát, a kötött vektorok analitikus tárgyalását, az algebrai geometriát, a klasszikus differenciálgeometriát, és a mozgásgeometriát. Mindhárom tankönyv igen jó didaktikai érzékkel, tudományos alapossággal és világos, érthető tárgyalással íródott. Írójuk példamutató alapossága és precizitása az olvasót is hasonló erényekre készteti az anyag feldolgozása során.

[1] Ábrázoló geometria példatár. Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. 2.kiadás: u.ott. 1962. (135 old.+2 tábla)

[34] Geodetische und Pseudogeodetische auf Regelflächen im Flaggenraum. (Társszerző:Hans Sachs) Arch. Math. 33. (1980), 478-484. (MR 81 c: 53018; Zbl. 416, 53004.)

[36] Szabályos ötszög szerkesztése vonalzóval és hosszátvivővel. Középisk. Mat. Lapok 32.(1989), 245-249.

[1] Neue Planeten. Beob.-Zirkular der AN 22 (1940), 55.*

Ezeken kívül számos észlelési adat közlése a berlin-dahlemi Coppernicus Intézet cirkulárjaiban 1940. és 1941. évekből.