Funkcionálanalízis fizikusoknak, 2019. tavasz, részletes előadásanyag

Lineáris terek

• Fogalmak ismétlése (számtest, vektortér, lineárisan független rendszer, generátorrendszer, bázis). Példák (\({\mathbb R}^n\), \(\mathbb C^n\), \(C[a,b]\), \(\mathbb R^{\mathbb N}\), \(\mathbb V=\{x\in \mathbb R^{\mathbb N} \mid \exists n\in\mathbb N: \forall k>n: x_k=0\}\),...)
• Vektortér duálisa. Bázishoz tartozó duális rendszer. Bázis duális rendszere lineárisan független, és véges dimenzióban generátorrendszer is. Vektortér és duálisa pontosan véges dimenzióban izomorf, de általában nincs kitüntetett izomorfizmus köztük.
• Lineáris leképezés transzponáltja. A transzponálás tulajdonságai.
• Vektortér természetes beágyazása a biduálisba, ennek tulajdonságai (injektív, véges dimenzióban bijektív)
• Mátrix (lineáris leképezés) Jordan-féle felbontása (bizonyítás nélkül). Ennek alapján lineáris endomofizmus Jordan-Chevalley dekompozíciója (kommutáló diagonalizálható és nilpotens összegére).
• Tenzorszorzat (vektortereké, lineáris leképezéseké). A tenzorszorzat realizálásai: \(\mathbb U \otimes \mathbb V \overset{\subset}{\to} \mathrm{Lin}(\mathbb V^*, \mathbb U)\overset{\subset}{\to} \mathrm{Bilin}(\mathbb U^* \times \mathbb V^*, \mathbb F)\). Lineáris leképezések tenzorszorzata; ennek mátrixa a lexikografikusan rendezett bázisban. Tenzorhatvány (teljes, szimmetrikus és antiszimmetrikus). Kitérő: permutációk, szimmetrikus csoport, permutáció inverziószáma, paritása. Permutáció paritása csoport-homomorfizmus. Teljes tenzorhatványtér bázisa, dimenziója. Antiszimmetrikus tenzorhatványtér bázisa, dimenziója. A determináns absztrakt értelmezése. A determináns absztrakt és mátrixos definíciójának azonossága. \(\det(AB) =\det(A) \det(B)\). A tenzorszorzat absztrakt definíciói. (Szabad szorzat faktorizációja az azonosságokkal, ill. kategóriaelméleti def.)

Normált terek, Banach-terek

Bevezetés, áttekintés, metrikus terek, topologikus terek

• Metrikus tér, normált tér, Banach-tér és Hilbert-tér fogalma. Példák normált terekre: \(( \mathbb C^n, \lVert \cdot \rVert_p) \), \( (l^p, \lVert \cdot \rVert_p) \), ahol \( p\in [1,\infty] \). Példák Hilbert-terekre: \( (\mathbb C^n, \langle \cdot , \cdot \rangle) \), \( (l^2, \langle \cdot , \cdot \rangle) \).
• Topologikus alapfogalmak metrikus terekben: nyílt, zárt halmaz, belső pont, határpont, külső pont, torlódási pont. Nyílt halmazok uniója nyílt, véges sok nyílt halmaz metszete nyílt. Zárt halmazok metszete zárt, véges sok zárt halmaz uniója zárt.
• Topologikus tér definíciója. Példák: triviális (indiszkrét) topológia, diszkrét topológia, metrika által indukált topológia.
• Halmaz lezárása (legkisebb őt tartalmazó zárt halmaz). \( \overline{A} = A \sqcup \partial A = \operatorname{Acc}(A) \sqcup A\text{ izolált pontjai} =A\cup \operatorname{Acc}(A) \).
• Topologikus terek közöti leképezés folytonossága. Metrikus terekben a folytonosság két definíciója (\(\varepsilon-\delta\)-ás és nyílt halmazos) ekvivalens.
• Metrikus tér (vagy normált tér) lezárása (bizonyítás-vázlat, Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályaival).

Alapfogalmak normált és Banach-terekben

• Hölder és Minkowski-egyenlőtlenség (\( \mathbb C^n\)-ben és \(l^p\)-ben).
• Korlátos lineáris operátorok, funkcionálok; operátor és funkcionál normája.
• \(\mathcal B(X,Y)\) az operátornormával normált tér. \(A,B\in \mathcal B(X)\) esetén \(\lVert AB\rVert \le \lVert A \rVert \cdot \lVert B \rVert \).
• \(\mathcal B(X,Y)\) teljes, ha \(Y\) teljes.
• Példa: \(C[a,b]\) a \(\lVert \cdot \rVert_\infty \) normával teljes normált tér (Banach-tér).
• Példa: \(f\in C[-1,1]\) esetén \(\Phi(f) =\int_{-1}^1 x f(x) \,\mathrm{d}x\) funkcionál normája.
• Példa nemkorlátos funkcionálra.
• Normált terek közöti lineáris leképezések esetén: korlátosság \(\Leftrightarrow\) mindenütt folytonosság \(\Leftrightarrow\) egy pontban folytonosság.

Deriválás Banach-terekben

• Fréchet-derivált definíciója. Példa: \( A\in M_n \) esetén \(\Phi(A)=A^2 \) Fréchet-deriváltja \(A\)-ban: \(\Phi'[A]H=AH+HA\).
• Lánc-szabály

Dualitási tételek, teljesség, szeparabilitás, reflexivitás

• Dualitási tételek az \(l^p\) terek között. \(L^p[a,b]\) terek. Kapcsolatuk \(\big(C[a,b],\lVert \cdot \rVert_p\big)\)-vel. \(L^p[a,b]\) terekre vonatkozó dualitási tételek.
• Az \(l^p\) terek teljessége.
• Hahn-Banach tétel.
• Normált tér kanonikus beágyazása a második duálisba lineáris izometria.
• Banach-terek szeparabilitása, reflexivitása (példák).

Sorok Banach-terekben

• Abszolút konvergencia Banach-térben. Operátor-sorozatok konvergenciája. Neumann-sorfejtés.

Alapvető tételek banach-terekben

• Nyílt leképezés tétele (Banach-Schauder).
• Korlátos inverz tétele, zárt gráf tétel.
• Egyenletes konvergencia tétele (Banach-Steinhaus). Vektorok gyenge konvergenciája Banach-térben. Normában konvergens \(\Rightarrow\) gyengén konvergens. Gyengén konvergens \(\Rightarrow\) korlátos. Példa: \(p\in(1,\infty)\) esetén \(l^p\)-ben \(\delta_n \overset{w}{\to}0\).

Hilbert-terek és korlátos operátoraik

Alapfogalmak

• Schwarz-egyenlőtlenség, norma, háromszög-egyenlőtlenség. Paralelogramma egyenlőség. Polarizációs azonosság.
• Ortonormált rendszer, ortonormált bázis. Bessel-egyenlőtlenség, egyenlőség, Parseval formula, vektorok kifejtése. Szeparábilis Hilbert-tér.
• Riesz-lemma, ortogonális projekció. Riesz-féle reprezentációs tétel. (Korlátos funkcionálok reprezentálása vektorokkal.)
• Korlátos lineáris operátor adjungáltja.
• Operátor-topológiák (gyene, erős, norma). Példák: \(L^n\), \(R^n\).

Korlátos operátorok spektruma

• Korlátos lineáris operátorok spektruma, a spektrum részei. A spektrum nem üres, zárt halmaz a norma sugarú körlapban.
• Ortogonális projekció spektruma \(\subset \{0,1\}\); unitér operátor spektruma az egységkör része; önadjungált operátor spektruma valós.
• Kapcsolat operátor és adjungáltjának spektruma és a spektrumok részei között.
• \(l^2\)-ben a balra és jobbratolás operátor spektruma és ennek részei.
• Spektrum-leképezési tétel polinomokra.

Kompakt operátorok

• Kompakt operátorok normában zárt, kétoldali csillag-ideált alkotnak a korlátos operátorok algebrájában.
• Riesz-Schauder tétel a kompakt operátorok spektrumáról.
• A kompakt operátorok halmaza megegyezik a véges rangú operátorok halmazának normában vett lezártjával.

Normális operátorok spektrálelmélete

• Projektor értékű mérték (projection valued measure, PVM) definíciója. PVM szerinti integrálás. Példák PVM-re.
• Spektráltétel normális operátorra. Normális operátorok függvényének értelmezése a spektrál PVM szerinti integrállal.
• Önadjungált operátorok folytonos függvénykalkulusa.

Egyebek

• Hilbert-terek tenzor-szorzata.
• Fourier-transzformció, mint unitér operátor.

Nemkorlátos operátorok

• Példák nemkorlátos operátorokra. Hellinger-Toeplitz tétel.
• Zárt és lezárható operátorok. Operátor lezárhatóságának kritériuma. Ha \(\rho(A)=\emptyset\), akkor \(A\) zárt.
• Nemkorlátos operátor adjungáltja. Szimmetrikus és önadjungált operátor. Lényegében önadjungált operátor. Operátor szimmetrikusságának egyszerű kritériuma.
• Az adjungált operátor tulajdonságai. Az adjungáltoperátor gráfjának előállítása az eredeti operátor gráfjával.

• Egyparaméteres, normában illetve az erős operátor-topológiában folytonos unitér csoportok generálása korlátos, illetve nemkorlátos önadjungált operátorral. (Stone-tétel.)

Kvantummechanikai kitekintés

• Klasszikus fogalmak: fázistér, állapot (tiszta, kevert), valós fizikai mennyiség és eloszlása adott állapotban.
• Esemény. A klasszikus fizika és a kvantummechanika eseményhálója.
• Állapotok és valós fizikai mennyiségek a kvantummechanikában.