Ingák és ütközések

1. A legegyszerûbb inga: a matematikai inga

<<  Graphics`Graphics`

<< Graphics`Arrow`

Table[
      Show[Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, π, (17/16) π,  .1}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]
}, 
          AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (17/16) π, (9/8) π,  .2}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (9/8) π, (5/4) π,  .25}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (5/4) π, (7/4) π,  .3}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (7/4) π, (15/8) π,  .25}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (15/8) π, (31/16) π,  .2}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (31/16) π, 2  π,  .1}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 6}}]], {i, 
        2  π, (31/16) π, - .1}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (31/16) π, (15/8) π, - .2}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (15/8) π, (7/4) π, - .25}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (7/4) π, (5/4) π, - .3}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (5/4) π, (9/8) π, - .25}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (9/8) π, (17/16) π, - .2}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{3  Cos[i], 3  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{3  Cos[i], 3  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-2, 0}, {2, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                6}}]], {i, (17/16) π, π, - .1}];

Definíció: (Matematikai inga): Egy tömeg nélkülinek és nyújthatatlannak képzelt, fonálra függesztett tömegpont, melyre szabaderõként csak a nehézségi erõ hat.
 
Ezt az ideális rendszert a fonálingával jól modellezhetjük. A fonálinga hosszabb, könnyû fonálon függõ, kis méretû és aránylag nagy tömegû test. Ha az egyensúlyi helyzetbõl kimozdított l hosszúságú ingát elengedjük, vagy az egyensúlyi és a kitérített helyzet által meghatározott síkban  ellökjük, az m tömegû pont függõleges síkban, l sugarú körív mentén mozog (sík inga).

Show[Graphics[{Disk[{5  Cos[(17/12) π], 
                    5  Sin[ (17/12) π]},  .2],Line[{{-4, 0}, {4, 0}}],{AbsoluteDashing[{5, 5}], 
                  Line[{{0, -5}, {0, 0}}]},Line[{{3  Cos[(17/12) π], 
                      3  Sin[(17/12) π]}, {0, 0}}],Circle[{0, 0}, 
                  5, {(17/12) π, (3/2) π}],Arrow[{5  Cos[(17/12) π], 
                    5  Sin[ (17/12) π]}, {5  Cos[(17/12) π], 
                    5  Sin[ (17/12) π] - 2.5}],Arrow[{5  Cos[(17/12) π], 
                    5  Sin[ (17/12) π]}, {2.5  Cos[(17/12) π], 
                    2.5  Sin[ (17/12) π]}],Arrow[{5  Cos[(17/12) π], 
                    5  Sin[ (17/12) π]}, {7.5  Cos[(17/12) π], 
                    7.5  Sin[ (17/12) π]}],Arrow[{5  Cos[(17/12) π], 
                    5  Sin[ (17/12) π]}, {- .6, -5.1}, 
                  HeadScaling -> Relative],Text[
                  StyleForm["O", FontSize -> 14], {0.3, -0.3}],Text[StyleForm["O1",FontSize -> 14],{0.4, -5}],Text[
                  StyleForm["l", FontSize -> 14], {0.4, -3}],Text[
                  StyleForm["s", 
                    FontSize -> 14], {-0.4, -4.7}],Text[StyleForm["Gt",FontSize -> 14],{-0.3, -5.4}],Text[
                  StyleForm["φ", 
                    FontSize -> 14], {-0.25, -2}],Text[
                  StyleForm["K", 
                    FontSize -> 14], {-1.5, -3.5}],Text[
                  StyleForm["G", 
                    FontSize -> 14], {- .9, -6}],Text[StyleForm["Gn",FontSize -> 14],{-2.1, -6}]},AspectRatio -> Automatic,PlotRange -> {{-6, 6}, {-8, 2}}]];

A sík inga pillanatnyi helyzetét jellemezhetjük a függõleges O(Subscript[O, 1]) egyenessel bezárt φ szöggel. 
s=lφ 
A tömegpontra hat a G=mg súlyerõ, a fonál által kifejtett K kötélerõ, a súrlódástól eltekintünk. A G súlyerõt a (Subscript[G, t])érintõleges és (Subscript[G, n]) merõleges erõk összegére bontva látjuk, hogy a testre ható erõk eredõjének az érintõ irányába esõ komponense: -(Subscript[G, t])=mgsinφ, az O pont felé mutató normális irányába esõ komponens pedig K-(Subscript[G, n])=K-mgcosφ. A gyorsulás megfelelõ komponensei: (((d^2)s)/((dt^2))) és ((v^2)/l), az F=ma alapegyenletbe behelyettesítve a következõ két egyenletet kapjuk:
 m(((d^2)s)/((dt^2)))=-mgsinφ  
  a mozgást, azaz s-et vagy φ=(s/l)-et mint az idõ függvényét határozza meg,
   m((v^2)/l)=K-mgcosφ
   ha már ismeretes a mozgás, azaz v is, a K kötélerõt tudjuk vele kiszámolni.
   Az  m(((d^2)s)/((dt^2)))=-mgsinφ  egyenletet átalakítva(s=lφ -> (((d^2)s)/((dt^2)))=(((ld^2)φ)/((dt^2)))és ml-lel osztunk):
   (((d^2)φ)/((dt^2)))=-(g/l)sinφ 
   Megkaptuk a mozgást leíró differenciálegyenletet.

Table[
      Show[Graphics[{Disk[{5  Cos[i], 5  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{5  Cos[i], 5  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-4, 0}, {4, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                2}}]], {i, (5/4) π, (7/4) π,  .3}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{5  Cos[i], 5  Sin[i]},  .2], 
            Line[{{5  Cos[i], 5  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Line[{{-4, 0}, {4, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 
                2}}]], {i, (7/4) π, (5/4) π, - .3}];

Kis szögkitéréseknél sinφ helyett számolhatunk φ-vel is.
    (((d^2)φ)/((dt^2)))=-(g/l)φ
    Ennek az egyenletnek a megoldása a Mathematica segítségével:

DSolve[φ''[
              t] == -g/l φ[t], φ, t][[1, 
          1, 2, 2]] /. {((Sqrt[g])/(Sqrt[l])) -> ω}

% /. {C[1] -> A Sin[(Subscript[φ, 0])]}

% /. {C[2] -> A Cos[(Subscript[φ, 0])]}

Tehát a végsõ alakjában:
φ=Asin(ωt+(Subscript[φ, 0]))
Ebbõl kitûnik, hogy a matematikai sík inga mozgása kis szögkitéréseknél ω=(Sqrt[(g/l)])körfrekvenciájú harmonikus rezgõmozgásnak tekinthetõ, lengésideje:
(Subscript[T, 0])=2π(Sqrt[(l/g)])

Nagyobb szögeknél ennek a differenciálegyeneletnek a megoldása nagyon bonyolult, ezért itt numerikus közelítéssel élek. 
A sinus függvényt közelítsük a Taylor sorfejtés elsõ két tagjával:
(((d^2)φ)/((dt^2)))=-(g/l)(φ-((φ^3)/(3!)))

Mivel ezt csak közelítéses módszerrel tudjuk megoldatni a Mathematicával, alkalmas kezdõértékeket vettünk fel. Így ki is rajzoltatjuk.

\(r = \(NDSolve[{\(φ''\)[
                t] == \(-10\)/
                  1 \((\ φ[
                      t] - φ[t]\^3\/\(3!\))\), \ φ[
                0] == 1, \ \(φ'\)[0] == 
              0}, φ, {t, 0, 10}]\)[\([1, 1, 2]\)]\)

Plot[r[t], {t, 0, 3}];

Most ezt hasonlítsuk össze a  sinφ =φ közelítéses megoldás képével.

Plot[Cos[(Sqrt[10]) t], {t, 0, 3}]

Mint láthatjuk, alkalmas értékekkel a kettõ között alig van különbség, nemhiába használjuk csak a sinφ =φ közelítéses módszert.

2. Egyszerû, egyenes vonalú ütközés vizsgálata

Az ütközések idõtartama általában igen rövid, és nagy erõk hatnak, melyeket nem nagyon ismerünk, ezért a tömegek és az ütközés elõtti sebességek ismeretében, az ütközés folyamatát kihagyva, csak az ütközés utáni sebességeket próbáljuk meghatározni.
Mivel az ütközés tartama alatt a két golyóra általában csak belsõ erõk hatnak (ezek mellett az esetleges külsõ erõk rendszerint elhanyagolhatóak), általában bármilyen ütközésnél fennáll az impulzus megmaradásának tétele:
(Subscript[m, 1]) (Subscript[v, 1])+(Subscript[m, 2]) (Subscript[v, 2])=(Subscript[m, 1]) (Subscript[u, 1])+(Subscript[m, 2]) (Subscript[u, 2])
ahol (Subscript[m, 1]), (Subscript[m, 2])a golyók tömegei, (Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2])az ütközés elõtti, (Subscript[u, 1]), (Subscript[u, 2])az ütközés utáni sebességek.
Tökéletesen rugalmas ütközés esetén az ütközés közben fellépõ deformáció után a rendszer visszanyeri kinetikai energiáját, ugyanaz lesz, mint elõtte volt.
(1/2)(Subscript[m, 1]) ((Subscript[v, 1])^2) + (1/2)(Subscript[m, 2]) ((Subscript[v, 2])^2)=(1/2) (Subscript[m, 1]) ((Subscript[u, 1])^2) + (1/2)(Subscript[m, 2]) ((Subscript[u, 2])^2)
A két egyenletet elõbb elosztva egymással, majd az egyikbõl kifejezve a másikat megkapjuk az ütközés utáni sebességeket:
(Subscript[u, 1])=(((Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]))/((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2])))(Subscript[v, 1])+((2 (Subscript[m, 2]))/((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2])))(Subscript[v, 2])   ,   (Subscript[u, 2])=(((Subscript[m, 2]) - (Subscript[m, 1]))/((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2])))(Subscript[v, 2])+((2 (Subscript[m, 1]))/((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2])))(Subscript[v, 1])
Ha a két golyó tömege egyenlõ, akkor a következõ játszódik le:

Table[
      Show[Graphics[{Circle[{i, 1}, 1], Disk[{14 - i, 1}, 1], 
            Line[{{0, 0}, {0, 2}}], Line[{{14, 0}, {14, 2}}], 
            Line[{{0, 0}, {14, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-1, 15}, {-1, 2}}]], {i, 1, 6}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Circle[{i, 1}, 1], Disk[{14 - i, 1}, 1], 
            Line[{{0, 0}, {0, 2}}], Line[{{14, 0}, {14, 2}}], 
            Line[{{0, 0}, {14, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-1, 15}, {-1, 2}}]], {i, 5, 
        2, -1}];

Tökéletesen rugalmatlan ütközés esetén (Subscript[u, 1])=(Subscript[u, 2])-vel, tehát
(Subscript[m, 1]) (Subscript[v, 1])+(Subscript[m, 2]) (Subscript[v, 2])= ((Subscript[m, 1])+(Subscript[m, 2]))u
Ebbõl az ütközés utáni sebesség:
u=(((Subscript[m, 1]) (Subscript[v, 1])+(Subscript[m, 2]) (Subscript[v, 2]))/((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2])))
Ekkor a rendszer kinetikai energiája csökken ΔE-vel:
ΔE=(1/2)[(Subscript[m, 1]) ((Subscript[v, 1])^2)+ (Subscript[m, 2]) ((Subscript[v, 2])^2)-((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2]))u]=(1/2)(((Subscript[m, 1]) (Subscript[m, 2]))/((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2])))((( (Subscript[v, 2])-(Subscript[v, 1])))^2)

Table[
      Show[Graphics[{Disk[{1.5  i, 1}, 1], Disk[{14 - i, 1}, 1], 
            Line[{{0.5, 0}, {0.5, 2}}], Line[{{14, 0}, {14, 2}}], 
            Line[{{0.5, 0}, {14, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-1, 15}, {-1, 2}}]], {i, 1, 4}]; 
    Table[Show[
        Graphics[{Disk[{12 - i, 1}, 1], Disk[{14 - i, 1}, 1], 
            Line[{{0.5, 0}, {0.5, 2}}], Line[{{14, 0}, {14, 2}}], 
            Line[{{0.5, 0}, {14, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-1, 15}, {-1, 2}}]], {i, 5, 
        2, -1}];

3. Két inga ütközése

Table[
      Show[Graphics[{Disk[{5  Cos[3/2  Pi], 5  Sin[3/2 Pi]},  .5], 
            Line[{{5  Cos[3/2 Pi], 5  Sin[3/2 Pi]}, {0, 0}}], 
            Disk[{5  Cos[i] - 1, 5  Sin[i]},  .5], 
            Line[{{5  Cos[i] - 1, 5  Sin[i]}, {-1, 0}}], 
            Line[{{-4, 0}, {3, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 2}}]], {i, (4/3) Pi, 
        (3/2) Pi, (Pi/24)}];Table[
      Show[Graphics[{Disk[{5  Cos[i], 5  Sin[i]},  .5], 
            Line[{{5  Cos[i], 5  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Disk[{5  Cos[3/2 Pi] - 1, 5  Sin[3/2 Pi]},  .5], 
            Line[{{5  Cos[3/2 Pi] - 1, 5  Sin[3/2 Pi]}, {-1, 0}}], 
            Line[{{-4, 0}, {3, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 2}}]], {i, (37/24) Pi, 
        (5/3) Pi, (Pi/24)}];Table[
      Show[Graphics[{Disk[{5  Cos[i], 5  Sin[i]},  .5], 
            Line[{{5  Cos[i], 5  Sin[i]}, {0, 0}}], 
            Disk[{5  Cos[3/2 Pi] - 1, 5  Sin[3/2 Pi]},  .5], 
            Line[{{5  Cos[3/2 Pi] - 1, 5  Sin[3/2 Pi]}, {-1, 0}}], 
            Line[{{-4, 0}, {3, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 2}}]], {i, (5/3) Pi, 
        (37/24) Pi, -(Pi/24)}];Table[
      Show[Graphics[{Disk[{5  Cos[3/2  Pi], 5  Sin[3/2 Pi]},  .5], 
            Line[{{5  Cos[3/2 Pi], 5  Sin[3/2 Pi]}, {0, 0}}], 
            Disk[{5  Cos[i] - 1, 5  Sin[i]},  .5], 
            Line[{{5  Cos[i] - 1, 5  Sin[i]}, {-1, 0}}], 
            Line[{{-4, 0}, {3, 0}}]}, AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-6, 6}, {-6, 2}}]], {i, (3/2) Pi, 
        (4/3) Pi, -(Pi/24)}];

Két azonos tömegû inga ütköztetésekor ha az ütközés teljesen rugalmas, a lendület teljesen átadódik, és akkor úgy számolhatunk a két ingával, mintha az csak egy inga lenne. Az egyik fél periódusban az egyik áll, miközben a másik lengi a fél periódusát, majd az ütközés és a lendület átadása után amelyik eddig lengett, az fog állni.
Tehát a két ingának elég egy mozgási egyenlet:
(((d^2)φ)/((dt^2)))=-(g/l)sinφ

4. Befejezés

Az inga egyenletében alkalmazott közelítések helyénvalóságát vitathatjuk még, de az alábbi ábrák alapján láthatjuk, hogy a sinφ függvényt a φ-vel egészen 0.3-ig közelíthetjük úgy, hogy ne kövessünk el nagy hibát, a harmadrendû Taylor-polinomjával pedig egészen 1-ig.

Plot[{Sin[φ],φ-((φ^3)/(3!)),φ},{φ, -π, π}]

Plot[{Sin[φ], φ}, {φ, 0,  .3}]

Plot[{Sin[φ],φ-((φ^3)/(3!))},{φ, 0, (π/2)}]

Ezzel átnéztünk a matematikai ingákra vonatkozó néhány speciális esetet. Ezen keresztül tudtuk érzékeltetni a Mathematica felhasználási lehetõségeit a fizika világában.