A Mathematica alkalmazása lejtőn mozgó test leírására


Rácz László (EC0AYJ)
I. éves matematikus  hallgató
2001/2002-es tanév, tavaszi félév


A dolgozat vázlata:

	 I.	 Bevezető: néhány gondolat a mai matematikáról
	II.	A probléma leírása: a dolgozat témájának meghatározása
	III.	A megoldás vázlata: a probléma megoldásának lehetőségei
	IV.	A felhasznált fizikai fogalmak, törvények áttekintése
	V.	A probléma megoldása	
			1. Síkos, egyenes lejtőn mozgó test
			2. Egyenes lejtőn, súrlódással mozgó test
			3. Nemlineáris függvénnyel megadható síkos lejtőn
			    mozgó test
	VI.	Összegzés 
 

	
I. Bevezető

	Az elmúlt két évszázad folyamán a tisztán elméleti és az alkalmazott matematika kettévált egymástól.  Ma, amikor az interdiszciplináris tudományok korszakát éljük, a matematika eredményeit már a természettudomány és a műszaki tudomány minden ágában, sőt egyes társadalomtudományi területeken is elfogadják és alkalmazzák.
	A matematikát a legrégebbi és legszorosabb kapocs talán a fizikához fűzi.  A fizika elképzelhetetlen a matematika, illetve matematikai apparátus nélkül, ugyanis ez az univerzális nyelv, ami lehetővé teszi a természet mo-dellezését, egzakt leírását.
	Célom az, hogy a Mathematica számítógépes program segítségével egy valós fizikai problémát modellezzek.      


II. A probléma leírása
 
	Az alapprobléma igen egyszerűen megfogalmazható.  Vegyünk egy lejtőt és helyezzünk el rajta  egy testet! A kérdés az, hogy milyen mozgást ír le a test. Pl.: A legegyszerűbb eset: anyagi pont egy egyenes lejtőn.
	Természetesen az alapproblémából kiindulva egyes paraméterek megváltoztatásával sokkal érdekesebb és bonyolultabb kérdésekhez juthatunk el, amelyek megoldásához már szükség lehet a felsőbb matematika ismeretére is, illetve olyan segédeszközre, mint a Mathematica. Melyek lehetnek ezek a paraméterek?
	1. a lejtő adatai: alakja, szöge, hossza, ...
	2. a rajta fekvő tárgy adatai: alakja, mérete, tömege, ...
	3. a talaj és a tárgy kölcsönhatásai: tapadás, súrlódás, ...
	4. a tárgy és a levegő kölcsönhatásai: közegellenállás ... 	


III. A megoldás vázlata

	Alapvetően azzal az esettel kívánok foglalkozni, amikor a lejtő adatait változtatjuk meg az alapfeladathoz képest.  A lejtő kezdetben egy egyenes, változtassuk ezt meg úgy, hogy egy általánosabb, érdekesebb  feladathoz jussunk!
	A Mathematica-val a lejtőt, mint függvényt szeretném modellezni. Az így "kialakított" lejtő (amely szinte bármilyen monoton csökkenő          függvény lehet) ismeretében szeretném felírni a a lecsúszó test mozgásegyenletét.
	Érdekes kérdés lehet, hogy egyes lejtők esetében például elhagyja-e a test azt, vagyis úgymond elrepül-e. Lehet vizsgálni azt a kérdést is, hogy adott kezdeti feltételek mellett, például adott helyről adott tömegű és alakú tárgy, adott tapadási és súrlódási feltételek mellett egyáltalán elindul-e, illetve milyen mozgást ír le.
	Mivel ezek a kérdések alapvetően egyenletekre, differenciálegyenletekre vezethetők vissza, a Mathematica-t ezek megoldásában szeretném elsősorban felhasználni.
	

IV. A felhasznált fizikai fogalmak, törvények áttekintése

	Vonatkoztatási rendszer: Ahhoz, hogy egy test helyzetét, mozgását számszerű adatokkal jellemezhessük, koordinátarendszerre van szükségünk, azaz egy vonatkoztatási rendszert kell lerögzítenünk. Ennek egy számunkra kiemelt jelentősséggel bíró pontja az origó. (Mi  a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszert fogjuk használni.) 
	
	Anyagi pont: Egy testet anyagi pontnak nevezünk, ha méretei elmozdulásához viszonyítva elhanyagolhatóak.
	
	Tömeg: Nem adunk absztrakt definíciót, a megszokott tömegfogalomra gondolunk. Jelölése: m.
	
	Elmozdulás: A vonatkoztatási rendszer origójából a testhez, illetve annak kijelölt pontjához mutató helyvektornak a megváltozását nevezzük a test elmozdulásának. Jelölése: Δ(Overscript[r, ⇀])
	
	Sebesség: A test vonatkoztatási rendszerben vett helyvektorának változási gyorsaságát nevezzük a test sebességének. Jelölése: (Overscript[v, ⇀]). Kiszámítása: (Overscript[v, ⇀]) = Δ(Overscript[r, ⇀]) / Δt. Azaz a (Overscript[v, ⇀]) = (d/dt) (Overscript[r, ⇀]).
	
	Szögsebesség: Egy adott sugarú körpályán mozgó anyagi pontba mutató sugárvektor forgásszögének (φ) változási gyorsasága. Jelölése: ω. Kiszámítása:  ω = (d/dt) φ vagy ω = v / ρ, ahol ρ a körpálya sugarát jelöli.
	
	Gyorsulás: A sebesség változási gyorsasága. Jelölése: (Overscript[a, ⇀]). Kiszámítása: (Overscript[a, ⇀]) = Δ(Overscript[v, ⇀]) / Δt;  (Overscript[a, ⇀]) = (d/dt)(Overscript[v, ⇀]) ;  (Overscript[a, ⇀]) = d^(2/(d (t^2))) (Overscript[r, ⇀]).
	
	Pályamenti gyorsulás(komponens): Ha a test nem egyenes pályán mozog, akkor a pályamenti gyorsulás a sebesség nagyságának változását írja le. Jelölése: (Subscript[a, s]) = (d/dt)v. Iránya: a pályával párhuzamos.
	
	Centripetális gyorsulás(komponens): Ha a test nem egyenes pályán mozog, akkor a centripetális gyorsulás a sebesség fordulását jellemzi. Jelölése: a\(\_c\) = ω v = v^(2/ρ). Iránya: a simulókör középpontja felé mutat.
	
	Simuló kör: Ha a pálya nem kör, akkor is találhatunk olyan kört, amely az adott pontban legjobban simul hozzá, ez a kör a pálya adott pontban vett simulóköre. Pontosabban: Az olyan kört, amely az y=f(x) egyenletű görbét (ez a pálya) az (Subscript[x, 0]) abszcisszájú pontjában legalább másodrendben érinti, a görbe (Subscript[x, 0]) helyhez tartozó simulókörének nevezzük. A simulókör sugarának kiszámítása az (Subscript[x, 0]) pontban a következő: ρ((Subscript[x, 0]))=\(\(\(|\)\(\((\@\(1 + \((y' \((x\_0)\))\)^\ 2\))\)^3\/\(y'' \((x\_0)\)\)\)\(|\)\)\)
	
	Erő: A megszokott erõfogalomra gondolunk: F = m(Overscript[a, ⇀]).
	
	Nyomóerő: Egymással érintkező testek által egymásra kifejtett felületi erő merőleges összetevőjét, komponensét nevezzük nyomóerőnek.
	
	Súrlódás:  Ha két test csúszva érintkezik, akkor az egymásra ki- fejtett felületi erő érintőleges összetevőjét nevezzük súrlódási erőnek. Ezen erő nagysága a nyomoerő meghatározott hányadával egyezik meg: (Subscript[F, s]) =  μ(Subscript[F, ny]), ahol 0≤μ≤1 az ún. súrlódási együttható. 
	
	Tapadás: Egymáshoz képest nyugvó testek felületei által egymásra kifejtett erő érintő irányányú összetevőjét nevezzük súrlódási erőnek. A tapadási erő nagysága nem lehet nagyobb a nyomóerő egy bizonyos há- nyadánál: (Subscript[F, t]) ≤  (Subscript[μ, 0])(Subscript[F, ny]), ahol (Subscript[μ, 0]) az ún. tapadási együttható.
	
	A dinamika alaptövénye (Newton II. törvénye): A test lendülése  egyenlő a környezetében lévő testek által rá kifejtett erők eredőjével, azaz képlettel: (m(Overscript[a, ⇀]) = (∑_(i ))(Subscript[(OverVector[F]), i])) .
	
	Hatás-ellenhatás törvénye (Newton III. törvénye): Ha egy test erőt fejt ki  a másikra, az is erőt fejt ki az elsőre. Ezen erők egyenlő nagyságúak, de ellentétes irányúak.
	

V. A probléma megoldása

1. Síkos, egyenes lejtőn mozgó test 

	Képzeljünk el egy síklejtőt, amelyen egy test (amelyet először az egyszerűség kedvéért tekintsünk anyagi pontnak) 	 van elhelyezve, és az első pillanatban nyugalomban van! Azt szeretnénk vizsgálni, hogy milyen mozgást végez a test a lejtőn. Ebben az esetben még könnyű helyzetben vagyunk, hisz a test mozgásegyenlete igen egyszerűen írható  fel.
	A mozgásegyenlet felírását úgy végezzük, hogy megnézzük, milyen erők hatnak a testre. A tesre ilyenkor csak két erő van hatással: az egyik a gravitációs mező, a másik pedig a lejtő által kifejtett erő. A gravitációs mező által kifejtett erő nagysága mg, ahol g a arányossági tényező adott hely kis környezetében állandónak tekinthető. Értéke kb.: 9.81 (m/s^2). Ezen erő iránya pedig függőlegesen lefelé mutat. A lejtő által kifejtett erő a lejtőre merőleges irányú, nagysága pedig Newton III. törvénye értelmében a gra- vitációs mező által kifejtett erő lejtőre merőleges komponensének nagyságával egyezik meg.
	Ezek tükrében  a mozgásegyenlet a következők szerint néz ki, természetesen lejtőre merőleges és azzal párhuzamos összetevőkre felírva: Legyen  a lejtő szöge 0 ≤ α ≤ (π/2), a test tömege 0<m, a gravitációs mező által okozott gyorsulás 0<g !
	1.: Lejtőre merőleges komponens:
		a)(∑_(i ))(Subscript[F, m i])= m g cos(α) - (Subscript[N, ny]) = 0 , a test a lejtőre merőlegesen nem 		mozdul el 
	b)(∑_(i ))(Subscript[F, m i])= m g cos(α) - (Subscript[N, ny]) > 0 , a lejtő beszakad a test alatt
	c)(∑_(i ))(Subscript[F, m i])= m g cos(α) - (Subscript[N, ny]) < 0 , a test elrepül a lejtőről
	A fenti feltételek ismeretében a) esetet kell figyelembe vennünk, hisz a lejtő egyenes.
	2.: Lejtővel párhuzamos komponens:
		a)(∑_(i ))(Subscript[F, p i])= m g sin(α) = 0, a test áll a lejtőn, nyilván csak α=0 eset		ben lehet
	b)(∑_(i ))(Subscript[F, p i])= m g sin(α) < 0, ez nem lehetséges az adott feltételek 		mellett
	c)(∑_(i ))(Subscript[F, p i])= m g sin(α) > 0, a test lecsúszik a lejtőn.
	Ezek ismeretében készítsük el a test mozgásának modelljét a Mathematica-val!
	Mit kell megadnunk?
		1.) Egy lineáris függvényt, amely a lejtő modellje lesz 			(y=ax+b).
		2.) g értékét.
	Természetesen az általunk megadott függvény és az x-tengely által bezárt szög lesz α, amelyet a függvény első deriváltjának segítségével fogunk meghatározni.

y1 := (x/17)

      If[Coefficient[y1, x] ≥  0, α1 := 
          N[ArcTan[
              D[y1, x]]], 
Print["Kérem, y1-ben \
az x együtthatójának pozitív
 értéket adjon meg!"]; α1 := 
          Infinity]

      g1 := 9.81 

      a1 := Sin[α1] g1

      v1[t_] := a1 t

      s1[t_] := a1 (t^2)

\(p11 := 
        Plot[y1, {x, 0, 5}, 
          AxesStyle -> 
            Thickness[0.01], 
Background -> 
            GrayLevel[0.95], 
          AxesLabel -> {"x", "y"}, 
PlotLabel -> "A lejtő"]\)

\(p12 := 
        Plot[v1[t], {t, 0. , 10}, 
          AxesStyle -> 
            Thickness[0.01], 
Background -> 
            GrayLevel[0.95], 
          AxesLabel -> {"t", "v"}, 
PlotLabel -> "A sebesség-idő grafikon"]\)

\(p13 := 
        Plot[s1[t], {t, 0. , 10}, 
          AxesLabel -> {"t", "r"}, 
AxesStyle -> Thickness[0.01], 
          Background -> 
            GrayLevel[
              0.95], 
PlotLabel -> "Az elmozdulás-idő grafikon"]\)

2. Egyenes lejtőn, súrlódással mozgó test 

	Ez az eset nem sokban tér el az előzőtől. Az egyetlen változtatás ott van, hogy a lejtővel párhuzamos gyorsulást nemcsak a gravitációs mező, hanem a tárgy és a lejtő között fellépő surlódási erő is befolyásolja.
	Képlettel:
	(∑_(i ))(Subscript[F, p i])= m g sin(α) - (Subscript[F, s]) = 0, vagyis áll a test a lejtőn, 				ha tan(α) = μ 
	(∑_(i ))(Subscript[F, p i])= m g sin(α) - (Subscript[F, s]) = m g (sin(α)- μ cos(α)) < 0, ha tan(α) 			< μ; ez csak tapadás lehet
	(∑_(i ))(Subscript[F, p i])= m g sin(α) - (Subscript[F, s]) = m g (sin(α)- μ cos(α)) > 0, ha tan(α) 			> μ, lecsúszik a test. 
	Ezek függvényében módosítsuk  a test mozgásának modelljét!
	Mit kell megadnunk?
		1.) Egy lineáris függvényt, amely a lejtő modellje lesz 				(y=ax+b).
		2.) g értékét.
		3.) μ értékét.
	Dolgozzunk az előzőekben megadott adatokkal, hogy a különbség mértékét meg tudjuk állapítani!

\(y2 := x/8

      If[Coefficient[y2, x] ≥ \ 0, α2 := 
          N[ArcTan[D[y2, x]]], 
        Print["Kérem, y2-ben az x együtthatójának pozitív értéket adjon meg!"]; α2 := Infinity]

      g2 := 9.81\ 

      μ := 0.01

      a2 := 
        Sin[α2]\ g2 - μ\ \ g2\ \ Cos[α2]

      v2[t_] := a2\ t

      s2[t_] := \(\(a2\) \((t^2)\)\(\ \)\)\)

Mindenekelőtt ellenőrizzük,hogy tapadásról, vagy súrlódásról van -e szó!

If[Tan[α2] > μ,Print["Súrlódás! A test lecs\
úszik a lejtőn!"],
Print["Tapadás! A test nem mozog!"]]

p21 := 
        Plot[y2, {x, 0, 5}, AxesStyle -> Thickness[0.01], 
          Background -> GrayLevel[0.95], PlotStyle -> Hue[0], 
          AxesLabel -> {"x", "y"}, 
          PlotLabel -> "A lejtő"]

p22:=If[Tan[α2] >μ,Plot[v2[t], {t, 0, 10}, 
              AxesStyle -> Thickness[0.01], 
              Background -> GrayLevel[0.95], PlotStyle -> Hue[0], 
              AxesLabel -> {"t", "v"}, 
              PlotLabel -> "A sebesség-idő \
grafikon súrlódás esetén"],
Plot[0, {t, 0, 10}, 
              AspectRatio -> Automatic, 
              AxesStyle -> Thickness[0.01], 
              Background -> GrayLevel[0.95], PlotStyle -> Hue[0], 
              AxesLabel -> {"t", "v"}, 
              PlotLabel -> "A sebesség-idő \
grafikon tapadás esetén"]]

p23:=If[Tan[α2] >μ,Plot[s2[t], {t, 0, 10}, 
              AxesStyle -> Thickness[0.01], 
              Background -> GrayLevel[0.95], PlotStyle -> Hue[0], 
              AxesLabel -> {"t", "r"}, 
              PlotLabel -> "Az elmozdulás-idő \
grafikon súrlódás esetén"],
Plot[0, {t, 0, 10}, 
              AspectRatio -> Automatic, 
              AxesStyle -> Thickness[0.01], 
              Background -> GrayLevel[0.95], PlotStyle -> Hue[0], 
              AxesLabel -> {"t", "r"}, 
              PlotLabel -> "Az elmozdulás-idő \
grafikon tapadás esetén"]]

Show[{p11, p21}]

Show[{p12, p22}]

Show[{p13, p23}]

Ezen ábrák láttán felmerülhet egy olyan kérdés, hogy adott súrlódási együttható és "g" mellett milyen hajlásszögű lejtőn (vagyis milyen y=f(x)függvény esetén) végez a test ugyanolyan mozgást, mint egy adott hajlásszögű síkos, egyenes lejtőn.
	Mit jelent ez matematikailag? Az adott pillanatban a megadott értékek figyelembevételével a két esetben számított gyorsulás-, sebesség-, elmozdulásértékeknek meg kell egyezniük. Mindehhez természetesen elegendő, ha a gyorsulásértékek megegyeznek.

y3 := (x/17)

      α3 := N[ArcTan[D[y3, x]]] 

      g3 := 9.81 

      a3 := Sin[α3] g3

      

      g4 := 9.81 

      μ := 0.3

      a4 := 
        Sin[α4] g4 - μ  g4  Cos[α4]

szög := 
        FindRoot[a3 == a4, {α4, {0,  Pi/2}}]; 
      szög

Természetesen csak ez az érték lehetséges!

Plot[{a3, a4}, {α4, 0, Pi/2}]

\(y4 := ∫\((Tan[α4] /. szög)\) \[DifferentialD]x; Print[" y4 = ", y4]\)

Ez kell legyen a síklejtő egyenlete, ha a megadott súrlódási együttható mellett azt szeretnénk, hogy a két lejtőn azonos módón mozogjon a test! Eredményünket ellenőrizhetjük, ha a kapott értéket a fentebbi függvényekbe behe-lyettesítjük.

3. Nemlineáris függvénnyel megadható síkos lejtőn mozgó test

	Természetesen a lineáris függvénnyel leírható lejtő volt a legegyszerűbb eset. Ha a lejtőt nemlineáris függvénnyel adjuk meg, akkor sokkal érdekesebb problémákat vizsgálhatunk, illetve modellezhetünk a Mathematica segítségével.
	Magától értetődően adódik azonban a gondolat, hogy ezt az esetet is valamilyen mértékben vezessük vissza az előző problémára. Mit jelenthet ez?
	Adjunk meg tetszőlegesen egy függvényt! Minek kell teljesülnie erre a függvényre, hogy vizsgálatainkban  érdemi információt szerezhessünk belőle? Első megállapításunk az lehet, hogy ezen fizikai probléma modellezéséhez szükség van arra, hogy a "lejtő-függvény" az általunk tekintett intervallumban, pontosabban akkor, amikor test a lejtőn mozog (ilyenkor az is megtörténhet, hogy a test elemelkedik a lejtőről) mindenképpen folytonos legyen. Illetve a vizsgálathoz szükségünk van arra is, hogy a függvény differenciálható legyen.
	Készítsük el ennek az esetnek a Mathematica-beli modelljét!

y5:=Sqrt[x]
szög5:=N[ArcTan[D[y5, x]]]/.x->t
α5[t_]:=N[ArcTan[D[y5, x]]]/.x->t
g5 := 9.81 

a5[t_] := Sin[α5[t]] g5

A síklejtő esetében könnyű dolgunk volt, hisz a lejtő hajlásszöge állandó volt. Ebben az esetben azonban ez a szög állandóan változik. Azt mondhatjuk azonban, hogy mivel a "lejtő-függvény" folytonos és differenciálható, így a lejtő szöge egy adott pont kis környezetében állandónak tekinthető, és a függvény adott pontbeli deriváltjának arkusztangensével írható le. Így:

Plot[y5, {x,0.01, 5},AxesStyle -> Thickness[0.01],Background->GrayLevel[0.95], AxesLabel -> {"x", "y"},PlotLabel -> "A lejtő"]

Mivel a lejtőn lefelé történő mozgást vizsgáljuk, így a szögértékekre adott pontból csökkenő x-ekre van szükségünk. Ennek megfelelően rajzoljuk fel a szögértékeket a hely függvényében, illetve azután a gyorsulás-idő, sebesség-idő és elmozdulás-idő grafikonokat!

ListPlot[
        Reverse[Table[α5[t], {t,  .001, 10. , 0.001}]]]

Plot[a5[t],{t,0.,10},AxesStyle->Thickness[0.01],Background->GrayLevel[0.95],AxesLabel->{"h","a"}, PlotLabel->"A gyorsulás-hely grafikon"]

Nekünk azonban nem erre van szükségünk, hanem a gyorsulás-idő grafikonra! Ehhez meg kell határoznunk a hely-idő függést! Ehhez a paraméterek komponensenkénti felírását hívjuk segítségül.

ClearAll[vp, vm, am, ap, α, x1, t, y]

g := 9.81

      y[t_] := y[x[t]] = Sqrt[x[t]]

      rp[t_] := x[t]

      rm[t_] := y[t]

      vp[t_] := D[x[t], t]

      vm[t_] := D[y[t], t]

      ap[t_] := D[x[t], {t, 2}]

      am[t_] := D[y[t], {t, 2}]

      α[t_] := ArcTan[vm[t]/vp[t]]

mego = 
        DSolve[Simplify[(am[t]*Cos[α[t]] - 
                    ap[t]*Sin[α[t]]) + g*Cos[α[t]]] == 
            0, x, t]

m1 := (x /. mego[[1, 1]])[t] /. 
          t -> 0

      m2 := (x /. mego[[2, 1]])[t] /. t -> 0

      m1

      m2

konst := Solve[m1 == 10, C[1]]

      konst

Komplex érték nem lehetséges, mert akkor az x[t] függvény is komplex lenne ebben az esetben!

K[1] := konst[[1, 1, 2]]

      K[2] := konst[[4, 1, 2]]

x1[t_] := (x /. mego[[1, 1]])[t] /. 
          C[1] -> K[1]

      x2[t_] := (x /. mego[[1, 1]])[t] /. C[1] -> K[2]

x1[t]

x2[t]

Két lehetséges x függvényhez jutottunk ebben a példában!

Megkaptuk a hely-idő függvényt, így ábrázolhatjuk a kívánt paramétereket!

\(\(
\)\(\(Plot[x1[t], {t, 0.01, 10}, 
        AxesStyle -> Thickness[0.01], 
        Background -> GrayLevel[0.95], 
        AxesLabel -> {"h", "a"}, 
        PlotLabel -> "Az x1 hely-idő grafikon"]\)\(
\)
      \)\)

Plot[x2[t], {t, 0.01, 10}, AxesStyle -> Thickness[0.01], 
        Background -> GrayLevel[0.95], 
        AxesLabel -> {"h", "a"}, 
        PlotLabel -> "Az x2 hely-idő grafikon"]

A fenti deklarációknál, vagy itt be kell iktatnunk: x[t_]:=x1[t], vagy x[t_]:=x2[t]!

x[t_] := x2[t]

Solve[
        FullSimplify[
            N[(am[t]*Cos[α[t]] - ap[t]*Sin[α[t]]) + 
                g*Cos[α[t]]]] == 0, t]

Plot[
        FullSimplify[
            N[(-am[t]*Cos[α[t]] + ap[t]*Sin[α[t]]) - 
                g*Cos[α[t]]]] /. t -> u, {u, 0. , 3}, 
        AxesStyle -> Thickness[0.01], 
        Background -> GrayLevel[0.95], 
        AxesLabel -> {"t", "a.l.m."}, 
        PlotLabel -> "A lejtőre merőleges \
gyorsulás-idő grafikon"]

Plot[
        FullSimplify[
            N[(am[t]*Sin[α[t]] + ap[t]*Cos[α[t]]) + 
                g*Sin[α[t]]]] /. t -> u, {u, 0. , 3}, 
        AxesStyle -> Thickness[0.01], 
        Background -> GrayLevel[0.95], 
        AxesLabel -> {"t", "a.l.p."}, 
        PlotLabel -> "A lejtővel párhuzamos \
gyorsulás-idő grafikon"]

Plot[
        FullSimplify[
            N[(vm[t]*Cos[α[t]] - vp[t]*Sin[α[t]]) + 
                Integrate[g*Cos[α[t]], t]]] /. t -> u, {u, 0. , 
          3}, AxesStyle -> Thickness[0.01], 
        Background -> GrayLevel[0.95], 
        AxesLabel -> {"t", "v.l.m."}, 
        PlotLabel -> "A lejtőre merőleges \
sebesség-idő grafikon"]

Plot[
          FullSimplify[
              N[(vm[t]*Sin[α[t]] + vp[t]*Cos[α[t]]) + 
                  Integrate[g*Sin[α[t]], t]]] /. t -> u, {u, 0. , 
            3}, AxesStyle -> Thickness[0.01], 
          Background -> GrayLevel[0.95], 
          AxesLabel -> {"t", "v.l.p."}, 
          PlotLabel -> "A lejtővel párhuzamos \
sebesség-idő grafikon"]

Plot[FullSimplify[N[(rm[t]*Cos[α[t]]-rp[t]*Sin[α[t]])+Integrate[Integrate[g*Cos[α[t]],t],t]]]/.t->u,{u,0.,3}, AxesStyle->Thickness[0.01],Background->GrayLevel[0.95],AxesLabel->{"t","r.l.m."},PlotLabel->"A lejtőre merőleges elmozdulás-idő grafikon"]

Plot[FullSimplify[N[rm[t]*Sin[α[t]] - rp[t]*Cos[α[t]]+Integrate[Integrate[g*Sin[α[t]], t], t]]] /. t -> u, {u, 0., 3},AxesStyle -> Thickness[0.01], Background -> GrayLevel[0.95], AxesLabel -> {"t", "r.l.p."},PlotLabel -> "A lejtővel párhuzamos elmozdulás-idő grafikon"]

Miután ezeket a grafikonokat tanulmányoztuk, behelyettesít-hetjük x[t] helyébe x2[t]-t is. Ne felejtsük el azt sem, hogy ez a példa az y=(Sqrt[x])függvénnyel megadott lejtőt modellezi. Természetesen ezt a fölső deklarációs részben megváltoztathatjuk, de annak megfelelően esetleges manuális változtatásokat kell végezni pl.: a differenciálegyenlet megoldásainak felhasználása érdekében.

VI. Összegzés
		
		Természetesen a modellezhető és kiszámítható problémák tárháza végtelen. A dolgozatban az egyenes lejtőn mozgó test modelljén kívül a nemlineáris függvénnyel megadható síkos lejtőn mozgó test modelljét készítettük el. Modellünket azonban tovább lehet fejleszteni.
		 A későbbiekben érdekes lehet annak a vizsgálata, hogy adott lejtőről esetlegesen elrepülő test melyik pillanatban hagyja el a lejtőt.Ennek a vizsgálatához azonban a test mozgasát egy más szemszögből kellene tekintenünk, mégpedig úgy, hogy azt a "lejtő-függvény" adott pontjában vett simulókör középpontja körüli egyenletes körmozgásként fogjuk fel. Azt mondhatjuk, hogy a nyomóerő akkor veszi fel a 0 értéket, amikor: g=(v^2)/ρ , ahol v a test sebessége, ρ pedig a simulókör sugara. Tudjuk, hogy egy legalább kétszer differenciálható függvény simulókörének sugara a következő módon számítható:  ρ((Subscript[x, 0]))=\(\(\(|\)\(\((\@\(1 + \((y' \((x\_0)\))\)^\ 2\))\)^3\/\(y'' \((x\_0)\)\)\)\(|\)\)\). Sőt meg lehet kérdezni azt is, hogy az elrepülést követően milyen pályán mozog a test.
		Természetesen nemlineáris lejtő esetében is lehetne számolni surlódással, sőt közegellenállással, a test alakjának paramétereivel is.
		 Mindezen és még sok más paraméter figyelembevételével lehet elkészíteni a való világ egy fizikai, illetve matematikai egyszerűsített modelljét. Ezek a számítások azonban már meghaladják ezen dolgozat kereteit.