Feltételes szélsõérték

Gyakran elõforduló feladat, hogy egy \(TraditionalForm\`f : ℝ\^n → ℝ\) függvény szélsõértékét valamely H halmazra megszorítva kell meghatároznunk, ezt nevezzük feltételes szélsõérték keresésnek. Egy a ∈ (ℝ^n)pontot az f függvény H-ra vonatkozó feltételes maximunmának (minimumának) nevezzük, ha létezik az a-nak olyan U környezete, hogy minden x ∈ U ⋂ H pontra f(x) ≤  f(a) (illetve f(x) ≥  f(a)). Alkalmazásokban nagyon gyakori, hogy a H halmaz valamely φ  (esetleg vektorértékû)  függvény nullhalmaza (pl. síkon egy görbe,térben egy felület...).  A továbbiakban erre a speciális esetre mutatunk egy szükséges feltételt.

Segédtétel (az inverz függvény tétel egy speciális esete)

Legyen \(TraditionalForm\`f : ℝ\^n → ℝ\^n\)olyan függvény, ami valamely a ∈ (ℝ^n)pont környezetében diffható, f' folytonos a-ban, és f' (a) teljes rangú (azaz invertálható). Ekkor  f lokális homeomorfizmus a-ban, azaz léteznek olyan U ∋ a, V ∋ f(a) nyílt halmazok, hogy f homeomorfizmus U és V között (folytonos, injektív, inverze is folytonos). (Nem bizonyítuk.)

Tétel (a Lagrange-féle multiplikátor elv)

Legyenek az \(TraditionalForm\`f : ℝ\^n → ℝ\)és  \(TraditionalForm\`φ : ℝ\^n → ℝ\^m\ \((m < n)\)\) függvények valamely a ∈ (ℝ^n)pont környezetében diffhatók, amelyekre a deriváltfvek folytonosak a-ban, továbbá tegyük fel, hogy φ(a)=0és a φ' (a) deriváltmátrix teljes rangú (azaz rangja m). Tekintsük a H = {x :  φ(x) = 0} feltételi halmazt, és tegyük fel, hogy f-nek H-ra vonatkozó feltételes szélsõértéke van a-ban. Ekkor szükségképpen az f' (a), (Subscript[φ, 1])'(a),... (Subscript[φ, m])'(a) vektorok lineárisan összefüggõek, azaz léteznek olyan valós (Subscript[λ, i]) számok (1 ≤  i ≤ m), amelyekre \(TraditionalForm\`∑\+\(i = 1\)\%m λ\_i\ φ\_i' \((a)\) = f' \((a)\)\). (Bizonyítása az órán.)

Az elõzõ tétel segítségével most már bizonyos "szép" tartományokon (ahol a határ valamely elég "szép" fv 0-helyeként írható fel) meg tudjuk határozni egy adott függvény globális szélsõértékeit. A tartomány belsejében alkalmazhatók a már "régrõl" ismert módszerek a lokális szélsõérték meghatározására, így kapunk néhány (esetleg nulla) lokális szélsõértékeket a tartomány belsejében. A tartomány határán a Lagrange-féle multiplikátor-elvet használjuk, így megkereshetjük a feltételes lokális szélsõértékeket. Így véges sok pontot kapunk, amelyek közt biztos ott van globális maximum és minimum is, így már csak ellenõriznünk kell a függvényértékeket.

A Lagrange-féle multiplikátor elv alkalmazása

Határozzuk meg az f=y-x^2 függvény maximumát és minimumát az (1,2) középpontú egységkörvonalon!
A feltételi halmaz most a φ=(x-1)^2+(y-2)^2-1 függvény nullhalmaza (n=2, m=1), ezért ha (a, b) feltételes szélsõérték, akkor egyrészt φ[a,b]==0, másrészt létezik olyan λ szám, amelyre f'[a,b]==λ φ'[a,b]. A mút órán definiált grad fv segítségével, illetve a Solve-val már könnyen meghatározható a lehetséges szésõértékek helye.

grad[fv_, valt_List] := Map[D[fv, #] &, valt]

f[x_, y_] := y - x^2

φ[x_, y_]:=(x - 1)^2+(y - 2)^2-1

λ grad[φ[x, y], {x, y}] - 
      grad[f[x, y], {x, y}]

Solve[% == 0, {x, y}]

NSolve[φ[x, y] == 0 /. %,λ]

Plot3D[f[x, y], {x, 0, 2}, {y, 1, 3}]

<< Graphics`ParametricPlot3D`

abra = 
      ParametricPlot3D[{Sin[u] + 1, Cos[u] + 2, 
          f[Sin[u] + 1, Cos[u] + 2]}, {u, 0, 2  Pi}]

pontok = 
      Graphics3D[{PointSize[0.1], {Point[sz1], Point[sz2]}}]

sz1 = {x, y, 
          f[x, y]} //. {x -> ((2 λ)/(2 + 2 λ)), 
          y -> ((1 + 4 λ)/(2 λ)), λ -> -2.0317303021041035`}

sz2 = {x, y, 
          f[x, y]} //. {x -> ((2 λ)/(2 + 2 λ)), 
          y -> ((1 + 4 λ)/(2 λ)), λ -> 
            0.6325569609802736`}

Show[pontok, abra]

Gyakorlás

Határozzuk meg x^2-y^3 szélsõértékeit az x^2+2 y^2=5 határvonalú zárt ellipszisben.

grad[fv_, valt_List] := Map[D[fv, #] &, valt]

f[x_, y_] := x^2 - y^3

φ[x_, y_]:=x^2+2 y^2-5

λ grad[φ[x, y], {x, y}] - 
      grad[f[x, y], {x, y}]

Solve[% == 0, {x, y}]

NSolve[φ[x, y] == 0 /. {x -> 0, 
              y -> -((4 λ)/3)},λ]

f[x, y]  //.  {x -> 0, 
        y -> -((4 λ)/3), λ -> 
          1.1858541225631423`}

f[x, y]  //.  {x -> 0, 
        y -> -((4 λ)/3), λ -> -1.1858541225631423`}

NSolve[grad[f[x, y], {x, y}] == {0, 0}, {x, y}]

f[x, y] /. %

Mennyi ax+by+cz maximuma és minimuma, ha x^2+y^2+z^2=K és a^2+b^2+c^2=L. Adjunk új bizonyítást a Cauchy-Schwarz egyenlõtlenségre!