7. feladat: Adott eloszlásfüggvényű véletlen számok generálása

• Egy \(X\) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a \([0,2]\) intervallumon a következő: \[ F_X(x) = \begin{cases} 2x^2/9, &\text{ha \(x\in[0,1.5]\),}\\ -x^2+4x-3, &\text{ha \(x\in(1.5,2]\).} \end{cases} \] Írjunk Python függvényt, mely szimulál egy ilyen eloszlásfüggvényű valószínűségi változót, azaz amely minden meghívására visszaad egy \(F_X\) szerinti véletlen számot. Írjunk programot, mely \(1000\) ilyen véletlen számot generál, és kiírja ezek átlagát, és azt, hogy mennyi az \(1.5\) relatív gyakorisága.
• Egy kis számolási feladatot is el kell itt végezni: a szimulációban visszaadott két számnak mennyi az elméleti értéke, azaz számítsuk ki és írjuk ki a második sorba az \(\mathbb{E}(X)\) és \(\mathbb{P}(X=1.5)\) számokat. Az \(\mathbb{E}(X)\) kiszámításához használjuk a sympy vagy a scipy csomagot!
• Segítség ahhoz, hogy a sűrűségfüggvény ismerete nélkül hogyan számolható a várható érték: ha \(X\ge0\), akkor \(\mathbb{E}(X)=\int_0^\infty 1-F_X(x)\,\mathrm{d}x\) (lásd pl. stackexchange második és utolsó válasz).
• Segítség ahhoz, hogy hogyan tudunk egyenletes eloszlásból tetszőleges eloszlást generálni az eloszlásfüggvény inverzével (ld. Wikipedia). Legelőször tehát meg kell határoznunk \(F_X\) inverzét! Itt gondoljuk meg azt is, hogy mit tegyünk, ha \(F_X\)-nek szakadási helye van (ekkor kicsit módosítani kell az \(F_X\) inverzén).
• A feladat célja valószínűségi változó függvényének, például az \(F_X(X)\) valószínűségi változónak a megértése, és ezt használva adott eloszlású valószínűségi változó szimulálása.