8. Indul a parti

• Móricka este 10 órára egy bulit szervez, meghívja 10 barátját. Egy különleges játékot talált ki amihez rajta kívül legalább 8 emberre van szükség. Mindenki izgatott, így amint befut a 8-adik barátja már kezdik is a játékot. Tegyük fel, hogy a barátai egymástól függetlenül 10 és 11 óra között egyenletes eloszlás szerint érkeznek (beleértve azt is, hogy 10 előtt senki sem érkezik, viszont 11-ig mindenki befut). Jelölje \(X\) azt, hogy a 10 és 11 közötti időintervallum hányad részénél kezdődik a játék (vagyis \(X\) egy 0 és 1 közötti értéket felvevő valószínűségi változó).
  1. Írjunk egy \(X\)-et szimuláló függvényt!
  2. Tekintsük a következő két sűrűségfüggvényt: \begin{align*} f_a (x) = \frac{10!}{7! \cdot 2!}x^7 (1-x)^2,\quad 0\le x \le1,\\ f_b (x) = \frac{10!}{6! \cdot 3!}x^6 (1-x)^3,\quad 0\le x \le1. \end{align*}

     Szimuláljuk \(X\) értékét 3000-szer, ezekből rajzoljuk meg a hisztogramot 50 oszloppal, és a két sűrűségfüggvényt, majd ennek alapján döntsük el, hogy közülük melyik lehet \(X\) sűrűségfüggvénye! A döntésünket egy kódba írt tömör mondattal jelezzük.

  3. Felhasználva az előzőleg generált 3000 adatot, \(X\) mindegyik szimulált értékét helyettesítsünk be mindkét sűrűségfüggvénybe és a helyettesített értéket szorozzuk meg egymástól és minden korábbi valószínűségi változótól független, \([0,1]\)-en egyenletes eloszlású véletlen számmal. Végül ezeket az értékeket pontokként ábrázoljuk az eredeti szimulált értékek függvényében. Egy ábra két részábráján legyen a két függvényhez tartozó „pontfelhő”. Döntsük el a két ábra alapján, hogy a két lehetőség közül melyik \(X\) sűrűségfüggvénye! A választ röviden indokoljuk is a kódba írt megjegyzésben!
• A feladat kimenete két ábra. Az elsőn két \([0,1]\)-en értelmezett függvény grafikonja, és egy 50 oszlopból álló hisztogram látható egyetlen koordinátarendszerben. A második ábra két részábrából áll, a fölsőn az első sűrűségfüggvény alatti területet fedő ponthalmaz, az alsó részábrán a második sűrűségfüggvény alatti területet fedő ponthalmaz látható. Ne felejtsük el a rövid indoklásokat a kódba írni.
• Segítség, tanácsok:
  1. Függvény grafikonjának kirajzolásához a következő kódot lehet használni (más jó megoldás is van!):

     import numpy as np
     import matplotlib.pyplot as plt
     
     # t egy olyan tomb lesz, mely a 0, .02, .04,... 1 szamokat tartalmazza
     t = np.linspace(0, 1, 51)
     plt.plot(t, sfv(t), color = "red")
     

     Itt a plot függvény első argumentuma az értelmezési tartomány értékeit, a második argumentum a hozzájuk tartozó értékeket adja meg, ahol sfv a sűrűségfüggvény, amit előtte definiálni kell.
  2. A hisztogram kirajzolása azt jelenti, hogy egy intervallum fölé olyan magas oszlopot rajzolunk, mely arányos az intervallumba esett szimulált értékek számával. Ennek kirajzolására van egyszerű függvény, ahol kiserletek az \(X\) értékeinek listája, bins az intervallumbeosztás, density azt jelenti, hogy az oszlopok összterülete mennyi legyen:

     plt.hist(kiserletek, bins=t, density=1)
     

  3. A pontok rajzolásához meg kell adni a plt.plot harmadik argumentumaként, hogy milyen stílusú legyen, oda elég egy "r." sztringet írni, ami azt jelenti, hogy a megadott pontok nem lesznek összekötve, és a pontfelhő színe piros lesz (r=red).
• A feladat célja a sűrűségfüggvény szemléltetése, jobb megértése és a béta eloszlás szimulációja (nem kell tudni, mi az a béta eloszlás). Programozási cél: elemi programozási és grafikai ismeretek gyakorlása.