9. Buffon-féle tűprobléma

• A Buffon-féle tűprobléma egy klasszikus feladat, megismerhető például Vetier András jegyzetének 28. oldalán (angolul lásd még Wikipedia és WolframMathWorld). Ezt fogjuk általánosítani. Vegyünk egy megfelelően nagy papírt, amelyen egymástól egységnyi távolságra párhuzamos egyenesek vannak. Egy \(L\) hosszúságú tűt véletlenszerűen dobjunk a papírra. Legyen \(X\) a tű által érintett egyenesek száma. Írjuk ki \(N\) kísérlet alapján \(X\) tapasztalati súlyfüggvényének értékeit a \(0, 1, 2,\dots, \lfloor L\rfloor+1\) helyeken.
• A program parancssori bemenete egy pozitív egész \(N\) szám és egy pozitív valós \(L\) szám, kimenete
  • egy \(\lfloor L\rfloor+2\) egész számból álló számsorozat és
  • az ennek megfelelő hisztogram, valamint
  • a \(2L/a\) szám, ahol \(a\) azon esetek relatív gyakorisága, amikor a tű pontosan egy egyenest metsz.
• Megjegyezzük, hogy ha \(L<1\), akkor annak valószínűsége, hogy a tű metsz egy egyenest \(2L/\pi\), tehát a kísérletet sokszor elvégezve a metszések számának relatív gyakorisága \(2L/\pi\)-t közelíti.
• A szimuláció szimmetria okok miatt többféleképp is egyszerűsíthető. Például a fent említett jegyzetbeli gondolatot követve a tű egyenesekkel bezárt hegyes szögét és középpontjának a közelebbi egyenestől való távolságát tekinthetjük a \([0,\pi/2]\), illetve a \([0,0.5]\) intervallumon egyenletes eloszlásúnak. Próbálkozhatunk úgy is, hogy a tű „bal” végpontját a \([0,1]\) intervallumon egyenletes eloszlásúnak tekintjük, stb.
• Akik szeretik a kihívásokat megpróbálkozhatnak az elméleti levezetéssel valamely konkrét \(L\) esetén (pl. \(L=2\) vagy \(L=5\)) kiszámítva az egyes metszésszámok elméleti valószínűségét, majd a végeredményt összevethetik a tapasztalati értékekkel. (Ez nem része a beadandó feladatnak!)