Fourier-analízis és függvénysorok

1. Fourier és Fejér összegek definíciója. Fejér összegek konvergenciája. Korovkin tétel. Weierstrass tétel. A trigonometrikus és hatványrendszer teljessége folytonos függvények terében.
2. Fourier sorok egyenletes és pontonkénti konvergenciája. Dirichlet magfüggvény. Fourier operátor normája.
3. de la Vallée Poussin összegek pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Fourier sorok konvergenciája a függvény szakadási pontjaiban. Gibbs jelenség.
4. Lineáris projekciók, Lagrange interpolációs operátor, a Fourier projekció minimalitása.
5. Ortogonális rendszerek Hilbert terekben. A trigonometrikus és hatványrendszer teljessége négyzetesen integrálható függvények terében. Riesz-Fisher tétel. Bessel egyenlőtlenség és Parseval képlet. Haar rendszer és annak teljessége. Rademacher rendszer.
6. Ortogonális polinomok, rekurzív egyenlet. Lagrange interpoláció ortogonális polinomok gyökein, Gauss kvadratúra és annak konvergenciája. Legendre és Chebyshev polinomok. Ortogonális polinomok végtelen intervallumon, Hermite és Laguerre polinomok.
7. Fourier transzformáció, Fourier integrál, inverz formula, Riemann-Lebesgue lemma, Dini feltétel.
8. Fourier transzformáció tulajdonságai és alkalmazásai a differenciál egyenletek megoldására. Többváltozós függvények Fourier transzformációja.
9. Négyzetesen integrálható függvények Fourier transzformációja, Plancherel tétel. Hermite függvények és a Fourier transzformáció sajátértékei. Shannon tétel. Ridge függvények sürűsége.
10. Laplace transzformáció és tulajdonságai. Inverz Laplace transzformáció és annak és alkalmazása a differenciál egyenletek megoldására.