]>
Tegyük fel, hogy egy véletlen minta az ismeretlen sikerparaméterű Bernoulli eloszlásból. Így ezek független valószínűségi változók, amik az 1 illetve a 0 értékeket veszik fel illetve valószínűséggel. Ez a modell rendszerint a következő környezetek valamelyikében lép fel:
Ebben a részben a paraméterre fogunk próbát készíteni. A -re vonatkozó paramétertér a intervallum, és az összes hipotézis ennek a térnek a részhalmazait definiálja. Ez a rész párhuzamos a Becslés a Bernoulli modellben résszel az Intervallumbecslés fejezetben.
Idézzük fel, hogy a sikerek száma
binomiális eloszlású és paraméterrel, várható értékkel és szórásnégyzettel. Továbbá idézzük fel, hogy elégséges -re. esetén jelölje az és paraméterű binomiális eloszlás rendű kvantilisét. Mivel a binomiális eloszlás diszkrét, csak bizonyos (pontos) kvantilisek lehetségesek.
Mutassuk meg, hogy tetszőleges és esetén a következő próbák szignifikancia szintje :
Szokás szerint az (a) részbeli kétoldali próbák közül a torzítatlan próba ( ) a leggyakrabban használt:
Elutasítjuk a versus hipotézist akkor és csak akkor, ha vagy .
Amikor nagy, eloszlása közelítőleg normális a centrális határeloszlás tétel szerint. Így egy közelítő normál próba konstruálható a
próbafüggvény felhasználásával.
Jegyezzük meg, hogy az standardizáltja, ha . Szokás szerint esetén jelölje a standard normális eloszlás rendű kvantilisét. kiválasztott értékeire megkapható a eloszlás táblázat utolsó sorából, a standard normális eloszlás táblázatból, a kvantilis appletből, vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból. Szimmetria okok miatt
Mutassuk meg, hogy tetszőleges és esetén a következő próbák szignifikancia szintje :
Szokás szerint az (a) részbeli kétoldali próbák közül a torzítatlan próba ( ) a leggyakrabban használt:
Elutasítjuk a versus hipotézist akkor és csak akkor, ha vagy
Az arány próba kísérletben legyen , és legyen a mintanagyság 10, a szignifikancia szint 0,1 és ! Minden esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, és jegyezzük fel a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát! Ábrázoljuk a tapasztalati erőfüggvényt!
Az arány próba kísérletben ismételjük meg az előző gyakorlatot 20-as mintanagysággal!
Az arány próba kísérletben legyen , és legyen a mintanagyság 15, a szignifikancia szint 0,05 és ! Minden esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, és jegyezzük fel a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát! Ábrázoljuk a tapasztalati erőfüggvényt!
Az arány próba kísérletben ismételjük meg az előző gyakorlatot 30-as mintanagysággal!
A arány próba kísérletben legyen , és legyen a mintanagyság 20, a szignifikancia szint 0,01 és ! Minden esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, és jegyezzük fel a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát! Ábrázoljuk a tapasztalati erőfüggvényt!
Az arány próba kísérletben ismételjük meg az előző gyakorlatot 50-es mintnagysággal!
Egy bizonyos körzetben 1000 regisztrált szavazó közül 427 preferálta az X jelöltet. Elégséges-e a bizonyíték arra, hogy 0,1 szinten a regisztrált szavazók több, mint 40%-a preferálja X-et?
Egy pénzérmét feldobtunk 500-szor és 302 fej lett. Teszteljük le, hogy 0,05 szinten az érme szabálytalan!
Egy gyártósornál 400 memória chipet teszteltek és 32 hibás volt. Teszteljük le 0,05 szinten, hogy a hibás chipek aránya kisebb, mint 0,1!
50 pácienst egy új gyógyszerrel kezeltek, és 42 esetben hatásos volt a kezelés. Teszteljük le 0,1 szinten, hogy az új gyógyszer sikeraránya nagyobb, mint 0,8!
Az M&M adatok felhasználásával teszteljük a következő alternatív hipotéziseket 0,1 szignifikancia szinten:
Tegyük fel, hogy van egy alap véletlen kísérletünk egy valós értékű valószínűségi változóval. Feltételezzük, hogy folytonos eloszlású valamilyen intervallumán. Legyen , és jelölje az eloszlásának -ed rendű kvantilisét. Így definíció szerint:
Tegyük fel, hogy ismeretlen, és hogy -re akarunk próbát készíteni. Egy adott próbaértékre legyen
Mutassuk meg, hogy
Szokás szerint megismételjük az alapkísérletet alkalommal, hogy generáljunk egy elemű véletlen mintát eloszlásából. Legyen az esemény indikátorváltozója -re.
Mutassuk meg, hogy egy elemű, paraméterű Bernoulli eloszlású véletlen minta!
A 14. és a 15. feladat alapján az ismeretlen kvantilisre vonatkozó próbák átalakíthatók a Bernoulli paraméter próbáivá, és így az előző alfejezetben kifejlesztett próbák használhatók. Ezt az eljárást előjelpróbának hívjuk, mivel lényegében csak előjelét kell feljegyezni minden -re. Ez az eljárás példa egy nemparaméteres próbára is, mivel eloszlásáról nem tételeztünk fel semmit (a folytonosságon kívül). Speciálisan, nem kellett feltételezni, hogy eloszlása egy speciális paraméteres családhoz tartozik.
Az előjelpróba legfontosabb speciális esete az az eset, amikor ; ez a medián előjelpróbája. Ha eloszlása szimmetrikus, akkor a medián és a várható érték egybeesik. Ebben az esetben a medián előjelpróbája a várható értéket is teszteli.
Az előjelpróba kísérletben legyen a minta eloszlás normális 0 várható értékkel és 2 szórással. Legyen a mintanagyság 10 és a szignifikancia szint 0,1. mind a kilenc értékére futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal!
Az előjelpróba kísérletben legyen a mintaeloszlás egyenletes eloszlás a intervallumon! Állítsuk be a mintanagyságot 20-ra és a szignifikancia szintet 0,05-re! mind a kilenc értékére futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal!
Az előjelpróba kísérletben legyen a mintaeloszlás gamma eloszlás 2 alakparaméterrel és 1 skálaparaméterrel! Legyen a mintanagyság 30 és a szignifikancia szint 0,025! mind a kilenc értékére futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal!
Felhasználva az M&M adatokat, teszteljük, hogy a medián tömeg meghaladja-e a 47,9 grammot 0,1 szinten!
Felhasználva a Fisher írisz adatokat, hajtsuk végre a következő próbákat 0,1 szinten!