]>
Szokás szerint, a kiindulási pontunk egy véletlen kísérlet az alapjául szolgáló mintatérrel és egy valószínűségi mértékkel. Az alap statisztikai modellben van egy megfigyelhető valószínűségi változó, ami halmazbeli értékeket vesz fel. Általánosságban elég bonyolult struktúrájú lehet. Például, ha a kísérlet objektum mintavételezése egy populációból, és különböző mérőszámokat jegyzünk fel, akkor
ahol az -edik objektum mérőszámainak vektora. A legfontosabb speciális eset, mikor függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben egy elemű véletlen mintánk van a közös eloszlásból.
Az előző részekben különböző paraméterekre természetes próbafüggvényeken alapuló próbákat fejlesztettünk. Viszont más esetekben a próbák nem feltétlenül paraméteresek, vagy nem találunk egy nyilvánvaló statisztikát, amivel kezdhetünk. Így egy általánosabb módszerre van szükségünk próbafüggvények konstruálásához. Továbbá nem tudjuk, hogy az eddigi próbáink a legjobbak-e abban az értelemben, hogy maximalizálják az erőt az alternatívák halmazára. Ebben és a következő részben mindkét gondolatot megvizsgáljuk. A likelihood függvények hasonlóak azokhoz, mint amiket a maximum likelihood becslés esetén használtunk; és ezek kulcsszerepet fognak játszani.
Tegyük fel, hogy -nek két lehetséges eloszlása lehet. Az egyszerű hipotézisünk:
Alsó indexeket fogunk használni a valószínűségi mérték esetén, hogy jelöljük a két hipotézist. A próba, amit konstruálni fogunk, a következő egyszerű ötleten alapul: ha a megfigyelésünk , akkor az feltétel bizonyíték az alternatív hipotézis mellett; az ellenkező egyenlőtlenség bizonyíték az alternatív hipotézis ellen. Így legyen
Az függvény a likelihood hányados függvény a hipotézisre és a likelihood hányados statisztika. Újra megfogalmazva korábbi megállapításunkat, jegyezzük meg, hogy kis értékei bizonyítékok mellett. Így elfogadhatónak látszik, hogy a likelihood statisztika egy jó próbafüggvény lehet, és a következő alakú próbákat kell megvizsgálnunk, ahol egy konstans:
Mutassuk meg, hogy a próba szignifikancia szintje !
Szokás szerint megpróbálhatunk megkonstruálni egy próbát olyan választásával, hogy egy előre megadott érték legyen. Ha diszkrét eloszlású, ez csak akkor lehetséges, ha az eloszlásfüggvényének egy értéke.
Fontos speciális esete a modellnek, amikor eloszlása egy olyan paramétertől függ, aminek két lehetséges értéke van. Így a paramétertér , és jelöli sűrűségfüggvényét, amikor , és jelöli sűrűségfüggvényét, amikor . Ebben az esetben a hipotézis ekvivalens a következővel:
A következő feladatok megalapozzák a Neyman-Pearson lemmát, ami Jerzy Neymanról és Egon Pearsonról van elnevezve. Az eredmény megmutatja, hogy a fent adott próba a legerősebb. Legyen
Használjuk fel és definícióját, hogy megmutassuk:
Mutassuk meg: ha , akkor
Útmutatás: Használjuk fel, hogy és ! Használjuk a valószínűség additivitását és a 2. feladat eredményeit!
Tekintsük a próbákat az illetve az elutasítási tartományokkal! Idézzük fel, az elutasítási tartomány mérete a próba szignifikancia szintje azzal a tartománnyal! Használjuk a 3. feladatot, hogy megmutassuk, hogy ha mérete legalább akkora, mint mérete, akkor a próba az elutasítási tartománnyal erősebb, mint a próba az elutasítási tartománnyal:
A Neyman-Pearson lemma egy szép eredmény és fontosabb, mint ahogy elsőre látszódhat. Sok fontos esetben ugyanaz a legerősebb próba működik alternatívák egész sorára, így ez egy egyenletesen legerősebb próba ezen alternatívákra. A következő részekben néhány ilyen speciális esetet tanulmányozunk ezek közül.
Tegyük fel, hogy egy véletlen minta az exponenciális eloszlásból skálaparaméterrel. A mintaváltozók reprezentálhatnak valamilyen típusú eszközök mintájára vonatkozó élettartamokat. A következő egyszerű hipotézist tesztelnénk: versus , ahol és különböző megadott értékek.
Idézzük fel, hogy a változók összege elégséges statisztika -re:
Idézzük fel azt is, hogy gamma eloszlású alak- és skálaparaméterrel. esetén -val jelöljük ezen eloszlás rendű kvantilisét.
Mutassuk meg, hogy a likelihood hányados statisztika
Mutassuk meg, hogy a következő próbák a legerősebbek szinten:
Jegyezzük meg, hogy a 6. feladatban szereplő próbák nem függnek értékétől. Ez a tény, kiegészítve az erőfüggvény monotonitásával, felhasználható arra, hogy megmutassuk, hogy a próba egyenletesen legerősebb a szokásos egyoldali próbák közül.
Mutassuk meg, hogy
Tegyük fel, hogy egy elemű véletlen minta a Bernoulli eloszlásból sikerparaméterrel. A minta reprezentálhatja egy érme feldobásának eredményét, ahol a fej valószínűsége. A versus egyszerű hipotézist kívánjuk tesztelni, ahol és különböző megadott értékek. A pénzfeldobásos modellben tudjuk, hogy a fej valószínűsége vagy vagy , de nem tudjuk, melyik.
Idézzük fel, hogy a sikerek száma elégséges statisztika -re:
Idézzük fel azt is, hogy binomiális eloszlású és paraméterekkel. esetén -val jelöljük az eloszlás rendű kvantilisét, bár mivel az eloszlás diszkrét, csak bizonyos értékek lehetségesek.
Mutassuk meg, hogy a likelihood hányados statisztika
Mutassuk meg, hogy a következő próbák a legerősebb próbák szinten:
Figyeljük meg, hogy a 9. feladatban szereplő próbák nem függnek értékétől! Ez a tény, kiegészítve az erőfüggvény monotonitásával, felhasználható arra, hogy megmutassuk, hogy a próba egyenletesen legerősebb a szokásos egyoldali próbák közül.
Mutassuk meg, hogy
Az egyoldali próbák, amiket a normál modellből származtattunk - -re ismert, -re ismeretlen és -ra ismeretlen - mind egyenletesen legerősebbek. Másrészt a kétoldali próbák egyike sem egyenletesen legerősebb.
Tegyük fel, hogy egy véletlen minta, vagy a Poisson eloszlásból 1 paraméterrel vagy a geometriai eloszlásból -en paraméterrel. Így a következő hipotézist szeretnénk tesztelni:
Mutassuk meg, hogy a likelihood hányados statisztika
Mutassuk meg, hogy a legerősebb próbák a következő alakúak konstans esetén: Elutasítjuk -t akkor és csak akkor, ha
A likelihood hányados statisztika általánosítható összetett hipotézisekre. Tegyük fel ismét, hogy az adatváltozó sűrűségfüggvénye a paramétertől függ, ami paramétertérbeli értékeket vesz fel. Tekintsük a versus hipotézist, ahol . Definiáljuk
Az függvény a likelihood hányados függvény és a likelihood hányados statisztika. Az előző okok miatt kis értékei bizonyítékként szolgálnak az alternatív hipotézis mellett.