]>
Ebben az alfejezetben a kétmintás normál modellben és a kétváltozós normál modellben fellépő becslési problémákat fogjuk vizsgálni. Ez az alfejezet megfelel a Hipotézisvizsgálat a kétmintás normál modellben alfejezetnek a Hipotézisvizsgálat fejezetben.
Tegyük fel, hogy egy elemű véletlen minta a várható értékű és szórású normális eloszlásból, és hogy egy elemű véletlen minta a várható értékű és szórású normális eloszlásból. Továbbá tegyük fel, hogy az és az minták függetlenek. Rendszerint a paraméterek ismeretlenek, így a paramétervektorunk paramétertere:
Ez a szituáció gyakran fellép, amikor a valószínűségi változók a populáció objektumainak minket érdeklő mérőszámait reprezentálják, és a mintákat két különböző eljárásnak vetettük alá. Például páciensek egy csoportjának a vérnyomása érdekel minket. Az vektor a kontrolcsoport vérnyomásadatait tartalmazza, míg az vektor azok vérnyomásadatait tartalmazza, akik egy új gyógyszert kapnak. Hasonlóan, a kukorica hozama érdekel minket. Az vektor tartalmazza a hozam adatokat, ahol minta az egyik féle műtrágyát kapta, míg az vektor egy más műtrágyát kapott minta adatait tartalmazza.
Rendszerint a két minta eloszlásparamétereinek (várható érték, szórás) összehasonlítása a célunk. Ebben az alfejezetben konfidencia halmazokat fogunk konstruálni a paramétervektorra, amik a szórások hányadosára illetve a várható értékek különbségére vonatkozó konfidencia intervallumokhoz fognak vezetni. Ahogy a megelőző becslési problémáknál, a konstrukció a megfelelő pivot változóktól függ.
Egy általános minta esetén, ami egy várható értékű eloszlásból származik, a szokásos jelöléseinket fogjuk használni a mintaközépre és a tapasztalati szórásnégyzetre. Emlékezzünk vissza ezen statisztikák speciális tulajdonságaira, ha a mintavételezett eloszlás normális.
Mutassuk meg, hogy a következő valószínűségi változó eloszlású szabadságfokkal a számlálóban és szabadságfokkal a nevezőben! Mutassuk meg, hogy a változó egy pivot változó -ra és -ra!
Most , és esetén jelölje az eloszlás -ed rendű kvantilisét, ahol a szabadságfok a számlálóban és a szabadságfok a nevezőben. , és kiválasztott értékeire kiszámítható a kvantilis applet vagy a legtöbb statisztikai és matematikai szoftvercsomag segítségével.
Használjuk az 1. feladatban szereplő pivot változót, hogy megmutassuk, hogy tetszőleges és esetén szintű konfidencia halmaz -ra:
Nem túl sok betekintést kaphatunk ezen konfidencia halmaz mint a négydimenziós paramétertér részhalmaza struktúrájába. A halmaz természetesen nem korlátos, mivel négy paramétert becslünk egy pivot változóval. Ha és ismertek (ismerjük be, ez mesterséges feltételezés), a halmaz szintű konfidencia halmaz lesz -ra. Ez a halmaz szintén nem korlátos, az általános alakja a lenti ábrán látható:
Megjegyezzük, hogy ha és ismertek, a konfidencia halmaz egy korlátos konfidencia intervallumot ad -re, és négyzetgyököt vonva, egy korlátos konfidencia intervallumot ad -ra. Ahogy mindig, a szám határozza meg a pivot változó eloszlása jobb-farkának arányát -hoz viszonyítva (ahogy a bal-farok arányát). Szokás szerint, a legfontosabb speciális esetek a következők:
Ez a rész megfelel az előzőnek, azzal a különbséggel, hogy a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet használjuk a speciális változata helyett.
Mutassuk meg, hogy a következő valószínűségi változó eloszlású szabadságfokkal a számlálóban és szabadságfokkal a nevezőben! Mutassuk meg, hogy a változó pivot változó -ra, -ra és -ra:
Használjuk a 3. feladatban szereplő pivot változót, hogy megmutassuk, hogy és esetén szintű konfidencia halmaz -ra:
Ez a konfidencia halmaz a konstrukcióból adódóan nem ad semmilyen információt -ről és -ről. Mint egy -ra vonatkozó konfidencia halmaz, az alakja hasonló az előzőhöz:
Továbbá a konfidencia halmazunk korlátos konfidencia intervallumot ad -re, és négyzetgyököt vonva, korlátos konfidencia intervallumot ad -ra. Ahogy mindig, a szám határozza meg a pivot változó eloszlása jobb-farkának arányát -hoz viszonyítva (ahogy a bal-farok arányát -hoz). Szokás szerint, a legfontosabb speciális esetek:
A következőkben egy olyan pivot változót tanulmányozunk, amely konfidencia halmazai jobbak a várható értékek különbségét tekintve.
Mutassuk meg, hogy normál eloszlású várható értékkel és szórásnégyzettel!
Mutassuk meg, hogy a következő valószínűségi változó standard normális eloszlású! Mutassuk meg, hogy a változó pivot változó -ra és -ra:
Szokás szerint, esetén -vel jelöljük a standard normális eloszlás -ed rendű kvantilisét. Idézzük fel, hogy
Használjuk a 6. feladatban szereplő pivot változót, hogy megmutassuk, hogy tetszőleges és esetén szintű konfidencia halmaz -ra:
Újfent nem túl sok betekintést kaphatunk ezen konfidencia halmaz - mint a négydimenziós paramétertér részhalmaza - struktúrájába. A halmaz természetesen nem korlátos, mivel négy paramétert becslünk egy pivot változóval. Ha és ismertek, akkor a halmaz szintű konfidencia halmaz -re. Ez a halmaz szintén nem korlátos, de könnyű megérteni; a határoló görbék 1 meredekségű egyenesek. A halmaz általános alakja a lenti ábrán látható. Jegyezzük meg, hogy a konfidencia sáv szélessége determinisztikus.
Továbbá, ha és ismertek, a konfidencia halmaz korlátos konfidencia intervallumokat ad a várható értékek különbségére, -re, és gyakran ez az érdeklődésre számot tartó paraméterünk. Az a feltételezés, hogy és ismertek, rendszerint mesterséges, de kevésbé, mint az első részbeli feltevésünk, hogy és ismertek.
Ahogy mindig, a szám határozza meg a pivot változó eloszlása jobb-farkának -hoz viszonyított arányát (ahogy a bal-farok arányát -hoz). Szokás szerint, a legfontosabb speciális esetek:
Az utolsó konstrukciónk olyan pivot változó létrehozására irányul, ami hasznos a várható értékek különbségének, -nek, a becsléséhez, anélkül, hogy a és szórásokat ismernünk kellene. Viszont ennek ára van, fel kell tételeznünk, hogy a szórások megegyeznek, , de a közös érték ismeretlen. Ez a feltételezés elfogadható, ha a mért változó olyan belső változékonysággal rendelkezik, ami nem módosul akkor sem, ha különböző eljárásoknak vetjük alá a populáció objektumait.
Mutassuk meg, hogy a 6.feladatban szereplő pivot változó a következő lesz:
Hogy megkonstruáljuk a pivot változót, először is szükségünk lesz pontbecslésére. Természetes megközelítés, ha az és korrigált tapasztalati szórásnégyzetek szabadságfokaikkal súlyozott átlagát vesszük (ezt összesített becslésének hívjuk). Így legyen
Mutassuk meg, hogy a következő változó khi-négyzet eloszlású szabadságfokkal! Útmutatás: Fejezzük ki a változót, mint független khi-négyzet változók összegét!
Mutassuk meg, hogy és függetlenek! Útmutatás: Mutassuk meg vagy idézzük fel a következő változópárok függetlenségét:
Mutassuk meg, hogy a következő valószínűségi változó -eloszlású szabadságfokkal! Mutassuk meg, hogy a változó pivot változó -ra, -re és -re:
Útmutatás: Mutassuk meg, hogy a valószínűségi változó felírható, mint , ahol a 8. feladatban szereplő valószínűségi változó és a 9. feladatban szereplő valószínűségi változó, továbbá és függetlenek a 10. feladat szerint.
és esetén jelölje a szabadságfokú -eloszlás -ed rendű kvantilisét. és kiválasztott értékeire értékeit megtaláljuk a Student-féle -eloszlás tábázatban, megkaphatjuk a kvantilis appletből vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból. Szimmetria miatt
Használjuk a 11. feladatban szereplő pivot változót, hogy megmutassuk, hogy tetszőleges és esetén szintű konfidencia halmaz -ra:
A konfidencia halmaz konstrukciójából adódóan nem ad semmilyen információt -ról és -ról. Mivel egy szintű konfidencia halmaz -re, a halmaz alakja megfelel az előző részben szereplő általános alaknak, kivéve, hogy a sáv szélessége véletlen.
Végül természetesen a konfidencia halmaz korlátos konfidencia intervallumot ad a várható értékek különbségére, -re, és sokszor ez a minket érdeklő paraméter.
Ahogy mindig, a szám határozza meg a pivot változó eloszlása jobb-farkának arányát -hoz viszonyítva (ahogy a bal-farok arányát -hoz). A legfontosabb speciális esetek:
Ebben a részben egy olyan modellt vizsgálunk, ami látszólag hasonlít a kétmintás normál modellhez, de sokkal egyszerűbb. Tegyük fel, hogy
egy elemű valószínűségi minta az kétváltozós normális eloszlásból , , , , és jellemzőkkel.
Így mintapár helyett páros minta áll rendelkezésünkre. Ez a típusú modell gyakran fellép előtte és utána kísérletekben, ahol egy populáció objektumáról gyűjtünk adatokat egy eljárás előtt és után. Például páciens vérnyomás adatait jegyezzük fel egy bizonyos gyógyszer használata előtt és után. Ahogy a kétmintás normál modell esetén, a cél rendszerint itt is a várható értékek különbségének becslése.
A szokásos jelöléseket fogjuk használni és mintaközepére és szórásnégyzetére. Emlékezzünk vissza, az minta kovarianciája
Mutassuk meg, hogy egy elemű véletlen minta eloszlásából, ami normális eloszlású a következő paraméterekkel:
Mutassuk meg, hogy
Az különbségekből vett minta beleillik az egyváltozós normál modellbe. A Becslés a normál modellben alfejezetben leírtak alkalmazhatók a paraméterekre vonatkozó konfidencia halmazok és intervallumok képzésére.
Tegyük fel, hogy és független minták normális eloszlásból. Ezek az adatok mindkét modellhez illeszkednek - a kétmintás normál modellhez és a kétváltozós normál modellhez is. Melyik eljárás működik jobban a várható értékek különbségének ( ) becslésére,
Egy új orvosságot fejlesztenek a vér bizonyos vegyi anyagának csökkentésére. Páciensek egy 36 fős mintája placebot kap, míg egy 49 fős minta a gyógyszert kapja. Jelölje a placebot kapó páciensek adatait és a gyógyszert kapó páciensek adatait (mg-ban). A statisztikák a következők: , , , .
Egy cég azt állítja, hogy egy bizonyos növényi táplálékkiegészítő növeli az intelligenciát. Egy 25 főből álló minta standard IQ-tesztet végzett a kiegészítő használata előtt és után. Jelölje a kísérlet előtti IQ-t és a kísérlet utáni IQ-t. A használat előtti és utáni statisztikák , , , , . Hihető-e a cég állítása?
A Fisher írisz adatok esetén jelölje a Versicolor írisz sziromhosszát és a Virginica írisz sziromhosszát.
Egy üzem két gépe körkeresztmetszetű rudakat gyárt, melyek átmérője (cm-ben) kritikus. Jelölje az első gép által gyártott rudak átmérőjét és a második gép által gyártott rudak átmérőjét. Az első gépről való 100 elemű mintára az átlag 10,3 és a szórás 1,2. A második gépről való 100 elemű mintára az átlag 9,8 és a szórás 1,6.