Fizikus BSC matematika szigorlat

A szigorlat szóbelibõl és  írásbelibõl áll. Ezekre 50-50 pontot lehet kapni.  Az összesített pontok alapján a szigorlati jegy 1, 2, 3, 4, 5, a ponthatárok rendre 0-39,  40-54, 55-69, 70-84, 85-100 pont. Az írásbeli vizsga 90 perces,  4 példát kell ez alatt az idõ alatt megoldani. A  40 %-ot mindkét vizsgarészbõl el kell  érni, ez speciálisan azt is jelenti, hogy 20 pontos írásbelivel már belépõt lehet szerezni a szóbeli vizsgára. A szóbeli vizsgán két tételt kap mindenki.

Tételek :

1. Valós és komplex számok, elemi függvények. Monoton és konvergens sorozatok, a folytonossági axióma. Nevezetes határértékek. Abszolút és feltételesen konvergens sorok, hatványsorok, az exponenciális függvény. Taylor sorfejtés.

2. Egyváltozós valós függvények. Folytonos és differenciálható függvények alaptulajdonságai, inverz függvény. Függvényvizsgálat, lokális szélsőérték feltételei. Riemann-integrál és alkalmazásai.

3. Többváltozós függvények folytonossága, differenciálása, érintősík és a gradiens. Implicit függvények. Lokális és feltételes szélsõ értékek. Többváltozós függvények integrálása. Fubini tétel, integrálás helyettesítéssel, alkalmazások.

4. Görbék és felületek. Skalár-vektor és vektor-vektor függvények differenciálása. Gradiens, divergencia, rotáció. Laplace operátor.

5. Vektor-vektor függvények vonal- és felületi integráljai.  Integrál átalakító tételek (Gauss-Osztrogradszkij, Stokes, Green). Potenciál létezésének feltételei.

6. A lineáris algebra alapfogalmai. Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, determinánsok. Euklideszi tér, geometria, a skaláris és a vektoriális szorzat. Lineáris transzformációk típusai.

7. Mátrixok, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, minimálpolinom. Mátrixok hasonlósága, Jordan-féle normálalak, mátrix függvények. Speciális mátrixok, önadjungált mátrixok spektrálfelbontása, szimmetrikus mátrixok és kvadratikus alakok osztályozása.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

8. Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek.  Laplace transzformáció és alkalmazásai differenciálegyenletek megoldására. Hővezetési- és hullámegyenlet peremértékfeladatainak megoldása a változók szétválasztásával, Fourier sorok.

9. Közönséges differenciálegyenletek és rendszerek. Egzisztencia, unicitás, folytonos függés. Elemi úton integrálható egyenletek. Közelítő megoldási módszerek. Stabilitás, Ljapunov függvények, Ljapunov-tétele.

10. Komplex függvénytan. Cauchy-Riemann egyenletek, analitikus függvények. Komplex vonalintegrálok, Cauchy tétele és formulái. Laurent sor, rezidumszámítás. Laplace és Fourier transzformáció.

11. Feltételes valószínűség – teljes esemény-rendszerek, teljes valószínűség tétele –Bayes-tétel és torony-szabály – páronkénti és teljes függetlenség – kombinatorikus és geometriai problémák. Diszkrét valószínűségi változók, nevezetes eloszlások (bináris, hipergeometrikus, binomiális, Poisson, geometriai [örökifjúság!], negativ-binomiális) – binomiális eloszlás Poisson-approximációja. Példák és alkalmazások.

12. Valószínűségi változó általános fogalma, eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény alaptulajdonságai. Nevezetes abszolút folytonos eloszlások (egyenletes, exponenciális [örökifjúság!], normális, Cauchy, log-normális). Valószínűségi változók jellemzői: várható érték, szórásnégyzet, momentumok – Steiner-tétel. Valószínűségi változó és eloszlásfüggvény/sűrűségfüggvény transzformálása. Valószínűségi változók várható értékének és szórásnégyzetének számolása. Gauss-integrálok, a normális és az exponenciális eloszlás momentumai.

13. Több valószínűségi változó együttes eloszlása, többdimenziós eloszlásfüggvények – nevezetes együttes eloszlások (polinomiális, polihipergeometrikus, többdimenziós normális). Perem- és feltételes eloszlások, valószínűségi változók függetlensége. A várható érték vektora és a kovariancia mátrix, Schwarz-tétele. A többdimenziós normális eloszlás.

14. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség, a nagy számok gyenge törvénye (második momentummal). Normális fluktuációk nagyságrendjének számolása, Stirling-formula, DeMoivre-Laplace tétel, alkalmazások.