Mérnök-fizikus
matematika szigorlat
A szigorlat szóbelibõl
és írásbelibõl áll. Ezekre 50-50 pontot lehet kapni. Az
összesített pontok alapján a szigorlati jegy 1, 2, 3, 4,
Tételek :
1. Valós és komplex
számok, elemi
függvények. Monoton és konvergens sorozatok, a folytonossági axióma.
Nevezetes
határértékek. Végtelen sorok,
hatványsorok, az exponenciális függvény.
2. Egyváltozós valós függvények. Folytonos és differenciálható
függvények alaptulajdonságai,
lokális szélsőérték
feltételei. Riemann-integrál és alkalmazásai.
3. Többváltozós függvények
folytonossága, differenciálása,
érintősík és a
gradiens. Implicit függvények.
Lokális és feltételes
szélsõ
értékek. Többváltozós függvények
integrálása. Fubini tétel,
integrálás helyettesítéssel,
alkalmazások.
4. Görbék és felületek. Skalár-vektor és vektor-vektor függvények differenciálása. Gradiens, divergencia, rotáció. Laplace operátor. Görbevonalú koordinátarendszerek.
5. Vektor-vektor függvények vonal- és felületi integráljai. Integrál átalakító tételek (Gauss-Osztrogradszkij, Stokes, Green). Potenciál létezésének feltételei.
7. Mátrixok, sajátérték,
sajátvektor,
karakterisztikus polinom, minimálpolinom, mátrixok hasonlósága,
Jordan-féle normálalak,
mátrix függvények, speciális mátrixok, önadjungált mátrixok
spektrálfelbontása,
szimmetrikus mátrixok és kvadratikus alakok osztályozása.
8. Közönséges
differenciálegyenletek
és rendszerek. Egzisztencia, unicitás, folytonos függés. Elemi úton
integrálható
egyenletek. Közelítő megoldási módszerek. Stabilitás, Ljapunov
függvények,
Ljapunov-tétele.
9. Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek. Egyensúlyi helyzet stabilitásvizsgálata linearizálással. Laplace transzformáció és alkalmazásai differenciálegyenletek megoldására. Fourier sorok. Hővezetési- és hullámegyenlet peremértékfeladatainak megoldása változók szétválasztásával. D’Alambert formula.
10. Komplex függvénytan.
Cauchy-Riemann egyenletek, analitikus függvények. Komplex
vonalintegrálok, Cauchy tétele és formulái. Laurent sor,
rezidumszámítás. Laplace és Fourier transzformáció.
------------------------------------
11. Topológiai alapfogalmak és Banach terek, példák. A Weierstrass-féle approximációs tétel és következményei, a folytonos függvények tere.
12. L_p-terek, dualitás, nevezetes egyenlőtlenségek.
14. Ortogonális polinomrendszerek és Fourier-sorok.
15. Lineáris operátorok
spektruma, példák.
A spektrum részei.
16. Önadjungált operátorokra
vonatkozó spektráltétel.
Kompakt operátorok.
17. Feltételes
valószínűség – teljes esemény-rendszerek, teljes valószínűség tétele
–Bayes-tétel és torony-szabály – páronkénti és teljes függetlenség –
kombinatorikus és geometriai problémák. Diszkrét valószínűségi
változók,
nevezetes eloszlások (bináris, hipergeometrikus,
binomiális, Poisson, geometriai [örökifjúság!], negativ-binomiális) –
binomiális eloszlás Poisson-approximációja.
Példák és alkalmazások.
18. Valószínűségi
változó általános fogalma, eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény
alaptulajdonságai. Nevezetes abszolút folytonos eloszlások (egyenletes,
exponenciális [örökifjúság!], normális, Cauchy, log-normális).
Valószínűségi
változók jellemzői: várható érték, szórásnégyzet, momentumok –
Steiner-tétel.
Valószínűségi változó és eloszlásfüggvény/sűrűségfüggvény
transzformálása.
Valószínűségi változók várható értékének és szórásnégyzetének
számolása.
Gauss-integrálok, a normális és az
exponenciális eloszlás momentumai.
19.
Több
valószínűségi változó együttes eloszlása, többdimenziós
eloszlásfüggvények –
nevezetes együttes eloszlások (polinomiális, polihipergeometrikus,
többdimenziós normális). Perem- és feltételes eloszlások,
valószínűségi változók függetlensége. A
várható érték vektor és a kovariancia mátrix, Schwarz-tétele. A
többdimenziós
normális eloszlás.
20. Markov-
és Csebisev-egyenlőtlenség, a nagy számok gyenge
törvénye (második momentummal). Normális fluktuációk nagyságrendjének
számolása, Stirling-formula,
DeMoivre-Laplace tétel, alkalmazások.