8.7 Megoldása: Az 5b.12 megoldása (lásd a kedden kiosztott fénymásolt lapokon a 7.5 megoldását) alapján tudjuk, hogy

E(11_{{X_{i}=y}} | F_{i−1}) = P_{X_{i−1},y} = ∑_{x∈S} 11_{{X_{i−1}=x}}P_{x,y}

Vegyük észre, hogy X_{T} = X_{0} = z miatt ∑_{i=1}^{T} 11_{{X_{i}=y}} = ∑_{i=0}^{T −1} 11_{{X_{i}=y}}.

A 8.7 végén írt segítség és a martingál-megállítási tétel alapján alapján

E (∑_{i=1}^{T} (11_{{X_{i}=y}} − E(11_{{X_{i}=y}} | F_{i−1}))) = E(M_{0}) = 0

Átrendezve ezt: E( ∑_{i=1}^{T} 11_{{X_{i}=y}}) = E (∑_{i=1}^{T} E(11_{{X_{i}=y}} | F_{i−1})), tehát

r(y) = E( ∑_{i=0}^{T −1} 11_{{X_{i}=y}}) = E( ∑_{i=1}^{T} 11_{{X_{i}=y}}) = E (∑_{i=1}^{T} E(11_{{X_{i}=y}} | F_{i−1})) =

E (∑_{i=1}^{T} ∑_{x∈S} 11_{{X_{i}=x}}P_{x,y}) = ∑_{x∈S} E( ∑_{i=1}^{T} 11_{{X_{i−1}=x}}P_{x,y}) = ∑_{x∈S} E( ∑_{i=0}^{T −1} 11_{{X_{i}=x}}P_{x,y}) = ∑_{x∈S} r(x)P_{x,y}

8.10 Megoldása: Legyen X_{i} = 11[ az i-ediknek felmutatott lap piros ], ahol 1 ≤ i ≤ 52.

Egyrészt ”most piros” játék egy stratégiája egy T ”jósolható megállási idő”, a következő értelemben: P(1 ≤ T ≤ 52) = 1 és {T = i} ∈ σ(X_{1}, …, X_{i−1}), hiszen az első i − 1 lapot látva hozza meg a játékos azt a döntést, hogy az i-edik lapnál mondja, hogy ”most piros”.

Másrészt vegyük észre, hogy tetszőleges 1 ≤ i ≤ 52-ra E(X_{i} | X_{1}, …, X_{i−1}) = E(X_{52} | X_{1}, …, X_{i−1}), hiszen ha egy jól megkevert kártyapakli első i − 1 kártyáját megmutatják, akkor a maradék is egy jól megkevert kártyapakli.

Így a feltételes várhatóértéket definiáló azonosság miatt (lásd TB szto.foly. jegyzetének 62. oldalán) E(X_{i}11_{{T =i}}) = E(X_{52}11_{{T =i}}), azaz P(X_{i} = 1 és T = i) = P(X_{52} = 1 és T = i).

Emiatt annak a valószínűsége, hogy a T stratégiával pirosat talál a játékos:

P(X_{T} = 1) = ∑_{i=1}^{52} P(X_{i} = 1 és T = i) = ∑_{i=1}^{52} P(X_{52} = 1 és T = i) = P(X_{52} = 1) = \frac{1}{2}

Tehát akármi a stratégia, a nyerési valószínűség \frac{1}{2}.