3.2 Korellacios hossz avagy keveresi ido= a spektralis res reciproka. l = \frac{1}{r}.

Miert igy definialjuk? Mert ekkor P^{l} masodik legnagyobb sajatertekenek abszoluterteke (1 − \frac{1}{l})^{l} ≈ \frac{1}{e}. Ha ez nem lenne eleg meggyozo, akkor definialhatnank a korellacios hosszt \frac{10}{r}-nek es akkor P^{l} masodik legnagyobb sajatertekenek abszoluterteke kabe e^{−10} lenne, ami mar tenyleg nagyon kicsi, tehat akkor mar X_{0} es X_{l} tenyleg “majdnem fuggetlen” lenne.

A heurisztikus tippjeink ezek voltak:

(a) Ugyanaz marad a korellacios hossz, tehat a spektralis res is.

(b) Ketszeresere no a korellacios hossz, tehat a spektralis res felere csokken.

(c) Felere csokken a korellacios hossz, tehat a spektralis res a ketszeresere novekszik.

(d) A korellacios hossz 1 − p-szeresere valtozik, tehat a spektralis res \frac{1}{1−p}-szeresere.

(e) Az uj Markov lanc korellacios hossza a ket korabbi maximuma, tehat az uj spektralis res a korabbi ket spektralis res minimuma.

Miert van az, hogy korulbelul jol tippeltunk? Az elso es utolso esetben jol tippeltunk es kesz, a tobbi eset viszont nagyon hasonlit a kovetkezoben: veszunk egy nemmnegativ egesz erteku valoszinusegi valtozot, jeloljuk mondjuk ν-vel, es az uj Markov lanc atmenetmatrixa E(P^{ν}) lesz.

A (b) esetben P(ν = 0) = P(ν = 1) = \frac{1}{2}.

A (c) esetben P(ν = 2) = 1

A (d) esetben P(ν = k) = p^{k−1}(1 − p), ha k = 1, 2, . . ..

Tehat ha F (z) = E(z^{ν}) a ν generatorfuggvenye, akkor az uj Markov lanc atmenetmatrixa F (P). Nyilvan ez egy sztochasztikus matrix.

A (b) esetben F (z) = \frac{1+z}{2} , a (c) esetben F (z) = z^{2}, a (d) esetben F (z) = \frac{z−pz}{1−pz}.

Mindharom esetben F′(1) = E(ν) megegyezik azzal a szammal, ahanyszorosara a heurisztikus tippunk szerint valtozik a spektralis res. Es valoban: ha feltesszuk, hogy a spektralis rest megvalosito λ sajatertek valos es 1 − λ = r nagyon kicsi, meg azt is, hogy F (λ) lesz az F (P) masodik legnagyobb abszoluterteku sajaterteke (azt hiszem ez tenyleg igy is lesz), akkor valoban \frac{1−F (λ)}{1−λ} ≈ F′(1)-szeresere fog megvaltozni a spektralis res. \frac{1}{E(ν)} pedig a ritkito pontfolyamat surusege, ennyiszeresere valtozik a korellacios hossz.