Sztochasztikus folyamatok 5b. feladatsor A feltételes várhatóérték

5b.1 Két kockával dobunk. Legyen X az egyik kocka eredménye, Z pedig a kettő összege. Számolják ki E(X | Z)-t.

5b.2 Lássa be, hogy az X valószínűségi változó által generált σ(X) szigmaalgebra szerint mérhető Y valószínűségi változók felírahatóak Y = φ(X) alakban, ahol φ : ℝ → ℝ Borel-mérhető-függvény.

5b.3 Legyenek X és Y valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn értelmezve, és jelölje F az X által generált σ-algebrát. Tegyük fel, hogy E(|X|) < +∞. Bizonyítandó, hogy X es Y akkor és csak akkor függetlenek, ha tetszőleges φ : ℝ → ℝ korlátos, mérhető függvényre

E(φ(Y)|F) = E(φ(Y))

5b.4 Legyen X és Y együttesen abszolút folytonos eloszlású, legyen az együttes sűrűségfüggvényük f(x, y). Lássa be, hogy

E(Y |X) = E(Y |σ(X)) = \frac{∫ yf(X, y)dy}{∫ f(X, y)dy}

5b.5 Legyen Y mérhető a G szigma-algebra szerint. Bizonyítandó, hogy

E(X|G) ≥ Y ⟺ ∀A ∈ G E(11_{A}X) ≥ E(11_{A}Y)

5b.6 Legyenek X_{1}, X_{2}, …, X_{n} függetlenek és azonos eloszlásúak. Legyen m ≤ n esetén S_{m} = ∑_{k=1}^{m} X_{k}. Határozza meg E(S_{m}|S_{n}) értékét!

5b.7 Legyen D^{2}(X|G) := E((X − E(X|G))^{2}|G). Lássa be, hogy D^{2}(X) = E(D^{2}(X|G)) + D^{2}(E(X|G)).

5b.8 Legyen X es Y együttes sűrűségfüggvénye

f(x, y) = \frac{exp(−x/y) exp(−y)}{y}11[0 < x, 0 < y]

Számítsa ki D^{2}(X) értékét!

5b.9 Egy metró elindulási időpontja egyenletes a [0, t] intervallumon. Az utasok egy λ paraméterű Poisson-folyamat szerint érkeznek. Számítsa ki a metróra felszálló utasok számának szórásnégyzetét!

5b.10 Legyenek X_{1}, X_{2}, … függetlenek és azonos eloszlásúak és ν tőlük független ℕ-értékű valószínűségi változó. Legyen Y = ∑_{k=1}^{ν} X_{k}. Fejezze ki D^{2}(Y) értékét E(X_{1}), E(ν), D^{2}(X_{1}), D^{2}(ν) segítségével!

5b.11 A ketyeregyár n darab ketyerét gyártott, mindegyik ψ valószínűséggel hibás. A minőségellenőrzés minden hibás ketyeréről δ valószínűséggel állapítja meg, hogy hibás. Jelölje X a hibás ketyerék számát, Y pedig a minőségellenőrzés által hibásnak nyilvánítottak számát. Mutassa meg, hogy

E(X|Y) = \frac{nψ(1 − δ) + (1 − ψ)Y}{1 − δψ}

5b.12 Legyen X_{1}, X_{2}, … homogén Markov lánc a véges S állapottéren, aminek az átmenetmátrixa P. Legyen f : S → ℝ.

E(f(X_{n})|σ(X_{1}, …, X_{n−1})) =?