Sztochasztikus folyamatok 6. feladatsor Folytonos idejű Markov láncok

6.1 Az A és B üzletbe a vásárlók X_{t}, illetve Y_{t} független Poisson folyamatok szerint érkeznek, melyeknek paramétere λ, illetve μ. (Az időt órákban mérjük.) Mindkét üzlet reggel nyolckor nyit.

(a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy reggel előbb érkezik vásárló az A üzletbe, mint a B-be?

(b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a nyitás utáni első két órában a két üzletbe együttesen pontosan négy vásárló érkezik?

(c) Feltéve, hogy a két üzletbe együttesen a nyitás utáni első két órában összesen négy vásárló érkezett, mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek mindegyike az A üzletbe ment?

(d) Jelöljük T -vel a B üzletbe belépő első vásárló érkezésének (véletlen) idejét. Ekkor X_{T} azon vásárlók száma, akik az A üzletben jártak mielőtt az első vásárló a B üzletbe betette volna a lábát. Írjuk fel az X_{T} valószínűségi változó eloszlását.

6.2 Az A és B telefonokhoz a hívások X_{t}, illetve Y_{t} független Poisson folyamatok szerint érkeznek, melyeknek paraméterei λ, illetve μ. Legyen Z_{t} := X_{t} + Y_{t} a két telefonhoz együttesen érkező hívások folyamata.

(a) Mutassuk meg, hogy Z_{t} is Poisson folyamat. Mennyi a Z_{t} folyamat paramétere?

(b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első hívás az A telefonhoz érkezik?

(c) Jelölje T azt a (véletlen) időt, amikor az első hívás érkezik a későbben megszólaló telefonhoz. Tehát: T az a legkorábbi időpont, amikor már hívás érkezett mindkét telefonhoz. Írjuk fel a T valószínűségi változó sűrűségfüggvényét és eloszlásfüggvényét.

6.3 Legyen G egy véges állapotterű, irreducibilis, folytonos idejű Markov lánc infinitezimális generátora. Ekkor a G mátrix átlós elemei negatívak, nem-átlós elemei nem-negatívak és sorösszegei nullák.

(a) Legyen a olyan pozitív szám, amely (szigorúan) nagyobb a G mátrix minden átlós elemének abszolút értékénél. Legyen P := a^{−1}G + I. Mutassuk meg, hogy P ugyanazon véges állapottér feletti irreducibilis és aperiodikus diszkrét idejű Markov lánc átmenet valószínűségeinek mátrixa.

(b) A (a)-beli eredmény felhasználásával bizonyítsuk be, hogy a G mátrixnak 0 egyszeres sajátértéke, melyhez tartozó baloldali sajátvektor (sorvektor) valószínűségi eloszlás az állapottéren és G minden további sajátértékének negatív a valós része.

6.4 Legyen X_{t} folytonos idejű Markov lánc a {1, 2} állapottéren, melynek ugrási rátái: λ(1 → 2) = 1, illetve λ(2 → 1) = 4. Írjuk fel az átmenet valószínűségek P^{t} félcsoportját.

6.5 Legyen X_{t} irreducibilis folytonos idejű Markov lánc egy véges vagy megszámlálható S állapottéren. Bizonyítsuk be, hogy bármely α, β ∈ S és t > 0 esetén P(X_{t} = β|X_{0} = α) > 0.

6.6 Legyen X_{t} folytonos idejű Markov lánc az S = {1, 2, 3, 4} állapottéren, melynek infinitezimális generátora

G = ( \begin{matrix}−3 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & −3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & −4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) .

(a) Írjuk fel az X_{t} Markov lánc stacionárius (invariáns) eloszlását.

(b) Tegyük fel, hogy a Markov lánc az 1 állapotból indul. Mennyi az első ugrásig eltelt idő várható értéke?

(c) Újból tegyük fel, hogy a Markov lánc az 1 állapotból indul. Mennyi a 4 állapot első elérési idejének várható értéke?

6.7 Egy üzemben 3 gép és 2 szerelő van. A gépek hibátlan üzemelésének ideje λ paraméterű exponenciális eloszlású. Ha egy gép elromlik, és van legalább egy szabad szerelő, akkor egy szerelő azonnal elkezdi javítani a gépet. Ha nincs szabad szerelő, akkor várni kell addig, ameddig valamelyik szerelő felszabadul. A szerelés ideje exponenciális eloszlású 2λ paraméterrel. A működési és szerelési idők függetlenek egymástól. Legyen X(t) a t -kor működő gépek száma (t > 0).

(a) Adja meg ennek a folyamatnak az infinitezimális generátorát!

(b) Nagy idő eltelte után kb. mennyi a valószínűsége annak, hogy egy adott pillanatban pontosan k gép üzemel (k = 0, 1, 2, 3) ?

6.8 Egy pénzváltó irodához 3 -paraméterű homogén Poisson folyamat szerint érkeznek az ügyfelek. Az irodában egyetlen kiszolgáló dolgozik, és egy-egy ügyfél kiszolgálásának az időtartama 5 - paraméterű exponenciális eloszlást követ. Az iroda olyan kicsi, hogy egyidejűleg csak 2 ügyfél lehet az irodában. Ha az iroda tele van, akkor az újabb ügyfelek a konkurens céghez mennek. Az iroda nyitásától számítva sok idő eltelte után érek oda.

(a) Mi a (közelítő) valószínűsége annak, hogy az irodában van hely a számomra?

(b) Tegyük fel, hogy bejutok az irodába. Emellett a feltétel mellett az irodában eltöltött időmnek mennyi a várható értéke, és

(c) mi az időtartam eloszlásának a sűrűségfüggvénye?

6.9 Egy boltba λ -paraméterű homogén Poisson folyamat szerint érkeznek a vásárlók. A boltban egyetlen eladó dolgozik. Egy-egy ügyfél kiszolgálásának az időtartama μ-paraméterű exponenciális eloszlást követ, μ > λ. Sok idő eltelte után betoppanok én és beállok a sorba. Mi az eloszlása annak az időtartamnak, amit a boltban töltök?

6.10 A Yule-folyamat Egy petricsészében t = 0-kor van egy amőba. Egy amőba EXP (1) idő elteltével kettéosztódik, és lesz belőle két ugyanolyan amőba, mint az eredeti. Lássa be, hogy a t időpontban a petricsészében lévő amőbák száma GEO(e^{−t}) eloszlású (az a fajta geometriai, amikor nemcsak a kudarcokat számoljuk, hanem beleszámítjuk a sikeres próbálkozást is).

6.11 Legyen X_{t} folytonos idejű születési/halálozási folyamat, melynek születési rátái λ_{n} = 1+(n+1)^{−1}, halálozási rátái μ_{n} = 1. Tranziens-, null rekurrens- vagy pozitív rekurrens-e ez a folyamat? És ha λ_{n} = 1 − (n + 2)^{−1}?

6.12 Az X_{t} ∈ ℕ Markov folyamat egy populáció méretének időbeli fejlődését modellezi. A populáció minden egyes egyede a többiektől függetlenül λ rátával szül egy új egyedet és μ rátával elhal. Azaz: X_{t} születési/halálozási folyamat, melynek születési rátái λ_{n} = nλ, halálozási rátái μ_{n} = nμ.

(a) Mely λ és μ paraméter értékek mellett hal ki egy valószínűséggel a populáció?

(b) Legyen f : ℕ → ℝ. Lássa be, hogy

lim_{h→0_{+}} \frac{1}{h}E(f(X_{t+h}) − f(X_{t})|X_{t}) =

(f(X_{t} + 1) − f(X_{t})) · X_{t} · λ + (f(X_{t} − 1) − f(X_{t})) · X_{t} · μ

(c) Legyen μ = λ = 1, legyen X_{0} = 1. Lássa be, hogy ha G(t, z) := E(z^{X_{t}}), akkor G(t, z) megoldja az alábbi elsőrendű homogén lineáris parciális differenciálegyenletet:

∂_{t}G(t, z) = (z − 1)^{2}∂_{z}G(t, z)

Segítség: alkalmazza az előző részfeladat gondolatmenetét az f(x) = z^{x} függvényre.

(d) Oldja meg az egyenletet a G(0, z) = z kezdeti feltétellel. Segítség: ha ż(t) = − (z(t) − 1)^{2}, akkor \frac{d}{dt}G(t, z(t)) = 0. Ennek segítségével lássa be, hogy X_{0}, X_{1}, X_{2}, … az egy kritikus Galton-Watson-féle elágazó folyamat, melynek utódeloszlása GEO(\frac{1}{2})!

6.13 Módosítsuk az előbbi populáció modellt úgy, hogy a populáció egyedeinek születése és elhalása mellett ν rátával egy bevándorló érkezik kívülről. Így olyan születési/halálozási folyamatot kapunk, melynek születési rátái λ_{n} = nλ + ν, halálozási rátái pedig változatlanul μ_{n} = nμ. Mely λ, μ, ν paraméter értékek mellett lesz a folyamat tranziens, null rekurrens, illetve pozitív rekurrens?

6.14 Tekintsünk egy születési/halálozási folyamatot, melynek születési rátái λ_{n} = 1/(n+1), halálozási rátái pedig μ_{n} = 1. Mutassuk meg, hogy a folyamat pozitív rekurrens és találjuk meg a stacionárius (invariáns) eloszlását.

6.15 Jelöljön X_{t} egy folytonos idejű, irreducibilis, stacionárius Markov láncot a véges S állapottéren. Jelölje G az infinitezimális generátorát, π a stacionárius eloszlását. Lássa be, hogy ha f : S → ℝ, akkor

−⟨f, Gf⟩_{π} = \frac{1}{2} lim_{h→0_{+}} \frac{1}{h}Var(f(X_{t+h}) − f(X_{t}))