Sztochasztikus folyamatok 7. feladatsor Martingálok I.

7.1 Legyenek X_{1}, …, X_{n} együttesen abszolút folytonos eloszlású valószínűségi változók, legyen az együttes sűrűségfüggvényük f(x_{1}, …, x_{n}) és F_{k} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{k}) az általuk generált természetes filtráció. Milyen feltételeknek kell teljesülnie f-re hogy X_{1}, …, X_{n} martingált alkosson?

7.2 Legyen M_{1}, M_{2}, … martingál (F_{n})_{n=1}^{∞}-re nézve. Legyen G_{k} = σ(M_{1}, M_{2}, …, M_{k}) az általuk generált természetes filtráció. Mutassa meg, hogy M_{n} martingál (G_{n})_{n=1}^{∞}-re nézve is.

7.3 Legyenek X_{1}, …, X_{n} független valószínűségi változók és F_{k} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{k}) az általuk generált természetes filtráció. Legyen φ olyan n változós függvény, hogy tetszőleges x_{1}, …, x_{n}-re és 1 ≤ k ≤ n-re és x̂_{k}-ra

|φ(x_{1}, …, x_{k}, …, x_{n}) − φ(x_{1}, …, x̂_{k}, …, x_{n})| ≤ 1

Mutassa meg, hogy ha M_{k} = E(φ(X_{1}, …, X_{n})|F_{k}), akkor

P( |M_{k} − M_{k−1}| ≤ 1) = 1

7.4 Legyenek X_{1}, X_{2}, X_{3}, … független és azonos eloszlású valószínűségi változók és F_{k} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{k}) az általuk generált természetes filtráció. Legyen m(γ) := E(e^{γX_{i}}) e valószínűségi változók (közös) momentum generáló függvénye. Tegyük fel, hogy valamely rögzített γ ∈ ℝ-re m(γ) véges. Legyen S_{0} = 0 és S_{n} = X_{1} + ⋯ + X_{n}, ha n > 0. Értelmezzük az

M_{n} := m(γ)^{−1} exp(γS_{n})

valószínűségi változókat. Bizonyítandó, hogy M_{n} martingál az F_{n} természetes filtrációra nézve.

7.5 Legyen X_{0}, X_{1}, X_{2}, … Markov lánc az S véges állapottéren, jelöljük P -vel az átmenetmátrixát. Legyen F_{n} := σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) a sztochasztikus folyamat által generált természetes filtráció. Legyen f : S → ℝ. Mutassa meg, hogy az alább definiált M_{n} martingál erre a filtrációra nézve.

M_{n} = f(X_{n}) + ∑_{k=1}^{n−1}((I − P)f)(X_{k}) − (P f)(X_{0})

7.6 (a) Lássa be, hogy ha M_{0}, …, M_{n} martingál, akkor

Var(M_{n}) = Var(M_{0}) + ∑_{k=1}^{n} Var(M_{k} − M_{k−1})

(b) Legyen X_{0}, X_{1}, X_{2}, … irreducibilis, aperiodikus, stacionárius Markov lánc az S véges állapottéren, jelöljük P -vel az átmenetmátrixát, π-vel a stacionárius eloszlását. Legyen F_{n} := σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) a sztochasztikus folyamat által generált természetes filtráció. Legyen f : S → ℝ. Tegyük föl, hogy ⟨11, f⟩_{π} = 0. Lássa be, hogy van olyan g : S → ℝ, hogy ⟨11, g⟩_{π} = 0 és g − P g = f. A 5. feladat és az előző részfeladat segítségével lássa be a Green-Kubo-formulát, azaz a következő két egyenlőséget:

lim_{N→∞} Var(\frac{∑_{n=0}^{N−1} f(X_{n})}{\sqrt{N}}) = ⟨g, g⟩_{π} − ⟨P g, P g⟩_{π} = 2⟨f, (I − P)^{−1}f⟩_{π} − ⟨f, f⟩_{π}

7.7 Legyen X_{i}, i = 1, 2, … véges várhatóértékű valószínűségi változók sorozata adaptált az (F_{n})_{n=1}^{∞} filtrációra nézve, ahol F_{0} = {∅, Ω}. Bizonyítandó, hogy a

M_{0} := 0, M_{n} := ∑_{i=1}^{n} (X_{i} − E(X_{i}|F_{i−1}))

valószínűségi változó sorozat nulla várhatóértékű martingál.

7.8 Diszkrét idejű Doob-Meyer-dekompozíció Egy Y_{1}, Y_{2}, … sztochasztikus folyamatról azt mondjuk, hogy jósolható az (F_{n})_{n=0}^{∞} filtrációra nézve, ha Y_{n} mérhető F_{n−1}-re nézve (F_{0} legyen a triviális szigma-algebra). Lássa be, hogy ha az X_{1}, X_{2}, … az F_{n}-hez adaptált sztochasztikus folyamatra teljesül E(|X_{n}|) < +∞, akkor X_{n} egyértelműen állítható elő egy jósolható Y_{n} folyamat és egy 0 várható értékű M_{n} martingál összegeként.

7.9 m (1-től m -ig számozott) golyót helyezünk el k (1-től k-ig számozott) urnában. Diszkrét időegységenként véletlenszerűen (egyenletes eloszlással) kiválasztunk egy golyót, kiemeljük a helyéről és áthelyezzük egy másik urnába, melyet véletlenszerűen (egyenletes eloszlással) választunk ki. Legyen X_{n} az első urnában lévő golyók száma az n-edik lépés után és F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n})

(a) Határozzuk meg E(X_{n+1}|F_{n})-et.

(b) Értelmezzünk Z_{n} valószínűségi változókat, melyek martingált alkotnak F_{n}-re nézve.

7.10 Legyen Z_{n}, n = 0, 1, 2 … elágazó folyamat. Tegyük fel, hogy egy szülő gyermekei számának μ várható értéke és σ^{2} szórásnégyzete véges. Jelöljük F_{n}-nel a természetes filtrációt.

(a) Bizonyítandó, hogy

M_{n} := \frac{Z_{n}}{μ^{n}}

martingál.

(b) Bizonyítsák be, hogy

E(Z_{n+1}^{2} | F_{n}) = μ^{2}Z_{n}^{2} + σ^{2}Z_{n}.

(c) A (b) pontbeli eredmény felhasználásával bizonyítsák be, hogy

N_{n} := M_{n}^{2} − \frac{σ^{2}}{μ^{n+1}} \frac{μ^{n} − 1}{μ − 1}M_{n}

szintén martingál.

(d) Az előző pont eredményének felhasználásával bizonyítsák be, hogy μ > 1 esetén az M_{n} martingál egyenletesen korlátos L^{2}-ben (azaz sup_{n} E(M_{n}^{2}) < ∞), míg μ ≤ 1 esetén E(M_{n}^{2}) → ∞.

7.11 Legyen X_{1}, X_{2}, … az F_{1}, F_{2}, … filtrációhoz adaptált valószínűségi változó sorozat és a_{n}, b_{n} valós számok sorozata. Tegyük fel, hogy

E(X_{n+1}|F_{n}) = a_{n}X_{n} + b_{n}.

Találjunk A_{n}, B_{n} valós szám sorozatot úgy, hogy Z_{n} := A_{n}X_{n} + B_{n} martingál legyen.

7.12 A log-optimális portfólió Az n-edik fogadás során egységnyi fogadási összeg nyereménye ξ_{n}, ahol (ξ_{n})_{n∈ℕ} független és azonos eloszlású valószínűségi változók, melyeknek közös eloszlása P(ξ_{n} = +1) = p, P(ξ_{n} = −1) = q, q + p = 1, p > 1/2. Magyarul: q < 1/2 valószínűséggel elveszítjük a befizetett összeget és p = 1−q > 1/2 valószínűséggel a dupláját nyerjük vissza. Az n-edik fogadás során C_{n} összegre fogadunk. Y_{0} a kezdeti vagyonunk és Y_{n}-el jelöljük az n-edik fogadás eredményhirdetése utáni teljes vagyonunkat. Nyilván: 0 ≤ C_{n} ≤ Y_{n−1}, n > 0. Célunk: rögzített N számú fogadás során maximalizálni az E(log Y_{N} − log Y_{0}) várható nyereség rátánkat. F_{n} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) a folyamat természetes filtrációja.

(a) Bizonyítandó, hogy tetszőleges jósolható C_{n} fogadási stratégia mellett Z_{n} := log Y_{n} − nα szupermartingál, ahol α = p log p + q log q + log 2. Ebből következik, hogy E(log Y_{N} − log Y_{0}) ≤ Nα.

(b) Ám létezik olyan fogadási stratégia, amely mellett a fenti Z_{n} martingál. Tehát a várható nyereség ráta fenti optimális felső korlátja megfelelő stratégia választással elérhető.

7.13 A Pólya féle urna modell Egy urnában piros és kék golyók vannak. Kezdetben egy-egy mindkét színből. Minden egyes n ∈ ℕ diszkrét időpontban kihúzunk egy véletlenszerűen (egyenletes eloszlással) kiválasztott golyót az urnából, majd visszatesszük a kihúzottat és még egy ezzel azonos színű golyót is beteszünk az urnába. Így az n-edik menet után n + 2 golyó lesz az urnában. Jelöljük ρ_{n}-nel, illetve β_{n}-nel az első n húzás során kihúzott piros, illetve kék golyók számát. (ρ_{0} = β_{0} = 0 és ρ_{n} + β_{n} = n. Az n-edik húzás után ρ_{n} + 1, illetve β_{n} + 1 piros, illetve kék golyó van az urnában.) A folyamat természetes filtrációja F_{n}. Legyen M_{n} := (β_{n} +1)/(n+2) az urnában lévő kék golyók aránya az n-edik menet után.

(a) Bizonyítsuk be, hogy M_{n} martingál.

(b) Bizonyítsuk be, hogy P(β_{n} = k) = 1/(n + 1), k = 0, 1, …, n. Azaz a piros/kék golyók száma minden egyes lépés után egyenletes eloszlású.

(c) Hamarosan belátjuk az u.n. martingál konvergencia tételt, amelyből következik, hogy lim_{n→∞} M_{n} =: M_{∞} egy valószínűséggel létezik. Ezt feltéve, milyen eloszlású M_{∞}?

7.14 SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓ. Írjanak egy szimuláló programot a Pólya féle urnamodell szimulálására. Egy-egy kék és piros golyóval indulva végezzenek 1000 húzást és jegyezzék fel a kék golyók arányát az ezredik menet után. E kísérletet végezzék el 2000-szer és végezzenek elemi statisztikai elemzést: az esetek hanyad részében esik a kék golyók végső aránya a [0, 0.1), [0.1, 0.2), …, [0.9, 1] részintervallumokba? Igazolja-e a kompjuteres vizsgálat az előző feladat (d) pontjában kapott eredményt?

7.15 (Pólya-féle urnamodell, még egyszer.) Az 5. feladat feltételeit és jelölését használjuk. Legyen θ ∈ [0, 1] rögzített paraméter. Bizonyítandó, hogy

N_{n}(θ) := \frac{(n + 1)!}{β_{n}!(n − β_{n})!}θ^{β_{n}}(1 − θ)^{n−β_{n}}

martingál.

7.16 Bayes urna — hamis érmék Érmedobást játszunk a következő képpen: először választok egy Θ véletlen számot egyenletes eloszlással a [0, 1] intervallumból. A Θ számot nem közölve adok magának egy olyan hamis érmét, amely Θ valószínűséggel mutat fejet és (1 − Θ) valószínűséggel mutat írást. Maga a Θ értéket nem ismeri, csak a fej-írás sorozatot figyeli meg. Legyen β_{n} az első n dobás során megfigyelt ‘fej’-ek száma.

(a) Bizonyítandó, hogy az itt leírt β_{n}, n = 1, 2, … folyamat eloszlása azonos az 13. feladatban szintén β_{n}-el jelölt folyamatéval.

(b) Bizonyítandó, hogy a 15. feladatban bevezetett N_{n}(θ) pontosan a Θ valószínűségi változó reguláris feltételes sűrűségfüggvénye, β_{1}, β_{2}, …, β_{n} megfigyelés mellett. (Bayes statisztika)

7.17 (Kis statisztika)

Egy érme θ valószínűséggel mutat FEJet és 1 − θ valószínűséggel mutat ÍRÁSt. A θ ∈ (0, 1) értéket nem ismerjük. Legyen a, b ∈ (0, 1) és két lehetséges hipotézisünk:

A := {θ = a}, B := {θ = b}

Legyen

Z_{n} := \frac{P(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}|A)}{P(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}|B)},

ahol P(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}|A) (illetve P(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}|B)) az x_{1}, x_{2}, …, x_{n} FEJ-ÍRÁS sorozat megjelenésének valószínűsége az A (illetve B) hipotézis mellett. Mutassuk meg, hogy a Z_{n} sorozat pontosan akkor martingál, ha a B hipotézis igaz.