Sztochasztikus folyamatok 11. feladatsor Brown-mozgás II., Gauss-folyamatok

11.1 Konstruáljon olyan végtelen bináris fát, aminek a 0-dik szintjén van egy N(m = 0, σ^{2} = 1) eloszlású ős, az n-edik szinten 2^{n} darab független N(m = 0, σ^{2} = 2^{−n}) eloszlású leszármazott, és minden csúcsra igaz, hogy az ott ülő valószínűségi változó a két gyerekének az összege. Miért ekvivalens ez a Brown-mozgás megkonstruálásával?

11.2 Legyen X_{t} standard Brown mozgás. Határozzák meg – lehetőleg szenvedés nélkül – a

P(X_{2} > 0|X_{1} > 0)

feltételes valószínűséget. Függetlenek-e az {X_{1} > 0} és {X_{2} > 0} események?

11.3 A Brown mozgás horizontális tükrözése Legyen B(t) standard Brown mozgás a [0, 1] intervallumon és W (t) := B(1 − t) − B(1), Bizonyítandó, hogy W is standard Brown mozgás.

11.4 Ha g folytonosan differenciálható és f folytonos függvény, akkor az ∫_{0}^{t} f(s)dg(s) előjeles Riemann-Stieltjes integrál megegyezik a ∫_{0}^{t} f(s)g′(s)ds Riemann-integrálal. Mivel a Wiener-folyamat deriváltja a fehér zaj, így ezzel az eljárással nem definiálható ∫_{0}^{t} f(s)dB(s). Használja helyette a Riemann-integrál definícióját, és közelítse f-et lépcsős függvényekkel! Lássa be, hogy X(t) = ∫_{0}^{t} f(s)dB(s) Gauss-folyamat és számítsa ki a Cov(X(s), X(t)) autokovariancia-függvényt.

11.5 A stacionárius Ornstein-Uhlenbeck-folyamat ekvivalens jellemzései

(a) Jelölje B(t), t ≥ 0 a standard Brown-mozgást. Lássa be a Brown-mozgás önhasonlóságának felhasználásával, hogy β ∈ ℝ_{+} esetén az X(t) := e^{−βt}B(e^{2βt}), t ∈ ℝ folyamat egy stacionárius sztochasztikus folyamat.

(b) Lássa be, hogy X(t) időben homogén Markov folyamat, és határozza meg az átmenenetmagfüggvényét, azaz azt a p_{t}(x, y) függvényt, amire

P(X(s + t) ∈ A | X(s) = x) = ∫_{A} p_{t}(x, y)dy

(c) Legyen Y (0) ∼ N(0, 1), α ∈ ℝ_{+} és t ≥ 0-ra

Y (t) := e^{−αt}Y (0) + e^{−αt} ∫_{0}^{t} e^{αs}dB(s)

Lássa be, hogy Y (t) stacionárius Gauss-folyamat.

(d) Mely α, β értékek esetén azonos eloszlásúak az X és Y sztochasztikus folyamatok?

11.6 Legyenek X, Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{n} együttesen normális eloszlásúak. Legyen E(Y_{i}) = E(X) = 0. Jelölje C ∈ ℝ^{n×n} az Y_{1}, …, Y_{n} kovarianciamátrixát és a c ∈ ℝ^{n} oszlopvektor i-edik eleme legyen Cov(Y_{i}, X). Legyen 0 < σ^{2} = Var(X). Lássa be, hogy az Y_{1}, …, Y_{n} együttes feltételes eloszlása az X = 0 feltétel mellett együttesen normális, melynek várható érték vektora azonosan nulla és kovarianciamátrixa C − \frac{1}{σ^{2}} cc^{T}. Segítség: Cholesky-felbontás: minden pozitív szemidefinit szimmetrikus mátrix felírható AA^{T} alakban, ahol A egy alsó háromszög mátrix.

11.7 A Brown-híd ekvivalens jellemzései Jelölje B(t) a standard Brown-mozgást a [0, 1] intervallumon. Mutassa meg, hogy az alábbi három sztochasztikus folyamat eloszlása azonos:

(a) B(t) amellett a feltétel mellett, hogy B(1) = 0.

(b) B(t) − tB(1).

(c) (1 − t)B(1/(1 − t)).

11.8 A Cauchy-folyamat konstrukciója Legyenek X(t) és Y (t) független standard Brown-mozgások. x > 0 esetén jelölje T_{x} azt a véletlen időpontot, amikor X először éri el x-et.

(a) Lássa be, hogy Y (T_{1}) standard Cauchy eloszlású.

(b) Lássa be, hogy Z(x) = Y (T_{x}) standard Cauchy-folyamat.