TEMATIKA

LINEÁRIS ALGEBRA

1. Lineáris tér alapfogalmai

Axiómák. Illusztráló példák: háromdimenziós vektorok tere, szám n-esek tere, végtelen sorozatok tere, adott intervallumon értelmezett függvények tere. Példa nem lineáris térre.

Elemi aritmetika: zéruselem egyértelmû, $\lambda \cdot 0 = 0$, $0 \cdot x = 0$, additív inverz egyértelmû, $- x = -1 \cdot x$.

Altér. Illusztráló példák alterekre: háromdimenziós vektorok terének 0-, 1-, 2- és 3-dimenziós alterei és ezek általánosításai a szám $n$-esek terére, korlátos és konvergens sorozatok tere és ezek alterei, folytonos függvények tere és alterei. Altér eltóltja.

Lineáris kombináció. Generált altér = lineáris burok $({\cal L}(X))$ és tulajdonságai: monotonitás és idempotencia.

Izomorfizmus.

2. Alterek

2.1 Lineáris függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Lineáris függés, függetlenség definíciója. Elemi tulajdonságok, speciálisan elemek összeadására és nem nulla skalárral való szorzásra való invariancia. Generátorrendszer.

Fôtétel: Lineárisan független vektorrendszer elemei kicserélhetôek egy generátorrendszer elemeivel a lineáris függetlenség megôrzésével.

Bázis és dimenzió definíciója, szükséges és elégséges feltételek arra, hogy egy lineáris tér n dimenziós legyen. Véges dimenziós lineáris tér. Nem véges dimenziós lineáris tér létezése. Bázisbeli elôállítás egyértelmûsége. Véges dimenziós lineáris terek izomorfak iff dimenzióik

megegyeznek.

2.2 Lineáris függetlenség, -függôség vizsgálata

Vektor oszlopvektora, elemi vektorrendszer- ill. sortranszformáció.

Fô algoritmus: bázisba való bevonás technikája.

Fôtétel: a $\sum_{i=1}^n \underline{\underline{a_i}} x_i = \underline{\underline{b}}$ egyenletrendszer megoldható iff $\underline{\underline{b}} \in {\cal L}\{ \underline{\underline{a_i}}\}_{i=1}^n$, és a megoldás egyértelmû iff $\{\underline{\underline{a_i}}\}_{i=1}^n$ lineárisan független.

Lineáris egyenletrendszer egy partikuláris megoldásának elôállítása. Mátrix definíciója, rangja. Lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa és kibôvitett mátrixa, összefüggésük az egyenletrendszer megoldásának exisztenciájával és unicitásával. Az egyenletek számának szerepe.

3. Mátrixalgebra

Jelölések, elnevezések, speciális mátrixok. Az $n \times m$-es mátrixok lineáris tere ( ${\bf R}^{n \times m}$) és az $n \times n$-es mátrixok egységelemes gyûrûje. Invertálhatóság és rang. Inverzmátrix elôállitása.

4. Determináns

Definíció, szemléletes jelentés. Elemi tulajdonságok. Determináns kifejtése, szorzástétel. Determináns és rang, inverz determinánsa. Példák.

5. Normált terek

5.1 Alapfogalmak

Metrikus-, normált-, unitér (skalár szorzatos) tér definíciói, elemi tulajdonságaik, összefüggéseik. Illusztráló példák: különbözö lineáris tereken ( ${\bf R}^3,{\bf R}^n, l_1, C[a,b]$) definálható különbözö normák (szuprémum, szumma /integrál, euklideszi) és skalár szorzatok.

Normált tér szerkezete: (kiszúrt) környezet, torlódási-, izolált-, belsô pont, zárt-, nyílt-, korlátos halmaz. Példák.

Normált tér geometriája: merôlegesség, Cauchy-Bunyakovszkij egyenlôtlenség, egyenes, sík, gömb és kúp normált téren. Pithagorasz-tétel. Projekció tétel.

5.2 Konvergencia normált téren

Konvergens-, divergens-, Cauchy-sorozat, részsorozat. Teljes normált tér. Példák: $C[a,b]$ teljes a szuprémum, de nem teljes az integrál-normában. Alapvetô (az egydimenziós esettel analóg) tulajdonságok. Különbségek a véges dimenziós esethez képest. Bolzano-Weierstrass tétel nem áll $l_1$-en. Kompaktság.

5.3 Függvények normált téren

Alapfogalmak, példák.

Függvény határértéke és folytonossága, egyenletes folytonosság, korlátosság. Példák. Alapvetô (az egydimenziós esettel analóg) tulajdonságok, kompakt halmazon folytonos függvények tulajdonságai.

Deriváltoperátor, gradiens. Illusztráló példák: lineáris operátor és norma deriváltja. Alapvetô (egydimenzióssal analóg) tulajdonságok, láncszabály. Különbségek a véges dimenziós esethez képest: példa deriválható nem folytonos függvényre.

6. Lineáris operátorok

6.1 Alapfogalmak

Definíció, jelölés. Elemi aritmetika: ${\bf A} 0 = 0$ , ${\bf A}(-x) = -{\bf A} x$.

Illusztráló példák: Háromdimenziós vektorok terének fundamentális geometriai transzformációi (nyuzsorítás, forgatás, vetítés, tükrözés), az eltolás nem lineáris operátor. A limes mint lineáris operátor a konvergens sorozatok terén. Deriváltoperátor, a határozott integrál és az integrálfüggvény mint lineáris operátor.

Adjungált operátor. Alapvetô tulajdonságok. Önadjungált (szimmetrikus), antiszimmetrikus operátor, példák (elemi geometriai transzformációk, vektorinvariáns).

Képtér, magtér. Példák: fenti operátorok kép és magterei. Elemi tulajdonságok: kép- és magtér alterek, $\exists {\bf A}^{-1}$ iff Ker $\,{\bf A} = \{0\}$. Dimenziótétel és következménye: $\exists {\bf A}^{-1}$ iff Im $\,{\bf A} = \,L$ (ha $\dim L < \infty$).

A lineáris operátorok lineáris tere és egységelemes gyûrûje: mûveletek és tulajdonságaik. Inverz, nullosztó.

6.2 Operátorok és mátrixok

Operátor mátrixa, az elemi geometriai transzformációk mátrixa.

Fôtétel: $\underline{\underline{{\bf\rule[-0.2mm]{0mm}{1mm} A} x}} = \underline{\underl... ....2mm]{0mm}{1mm} A}}} \cdot \underline{\underline{ \rule[-0.2mm]{0mm}{1mm} x}}$ .

Operátorok és mátrixok egységelemes gyûrûjének illetve lineáris terének izomorfiája és ennek következményei: összeg-, szorzat-, skalárszoros-, inverz mátrixa, operátorok lineáris terének dimenziója.

Mátrixszal definiált operátor.

6.3 Az A$x = b$ egyenlet

A megoldás szerkezete: $x_p +$ Ker $\, {\bf A}$ . A lineáris egyenletrendszer összes megoldása: $\underline{\underline{ \rule[-0.2mm]{0mm}{1mm} x_p}} +$Ker $\,\underline{\underline{{\bf\rule[-0.2mm]{0mm}{1mm} A}}}$.

Ker $\,\underline{\underline{{\bf\rule[-0.2mm]{0mm}{1mm} A}}}$ elôállítása. Példák.

A lineáris differenciálegyenlet.

7. Bázistranszformáció

Definíció: identitás operátor mátrixa = bázistranszformáció mátrixa. Áttérés egyik bázisról a másikra, példa. Operátor mátrixának transzformációja, példa.

8. Sajátérték, sajátvektor

Definíció. Invariáns altér. Operátor és mátrix sajátvektora, -értéke. Az elemi geometriai transzformációk sajátvektorai és -értékei.

Sajátvektor, -érték meghatározása, példa. Racionális operátorkifejezések sajátvektorai, -értékei.

Spektrálfelbontás.

Kvadratikus alak. Definíció, osztályozás. Fôtengelytranszormáció: másodrendû görbék osztályozása.

VÉGTELEN SOROK

1. Numerikus sorok

1.1 Alapfogalmak

Definíció, konvergencia, divergencia, maradéktag, abszolút- és feltételes konvergencia. Példák.

1.2 Elemi tételek

Konvergens sorok lineáris tere. Konvergens sorok összefésülése is az. Pozitív tagú sor konvergens iff korlátos. Cauchy-kritérium. $\exists \sum a_n \, \, \leadsto \, \, \lim a_n = 0$.

1.3 Konvergenciakritériumok

Majoráns, minoráns, gyök, hányados, integrál.

Speciális kritériumok:

$(a_n \searrow 0) \, \, \leadsto \, \, (\exists \sum a_n$ iff $\exists \sum 2^n \cdot a_{2^n} )$,

$a_n \sim b_n \, \, \leadsto \, \, (\exists \sum a_n$ iff $\exists \sum b_n)$.

Leibniz kritérium.

Példák.

1.4 Speciális sorok

Geometriai, harmónikus, alternáló-harmónikus, $\sum \frac{1}{n^p}.$

1.5 Zárójelezés, zárójelfelbontás

Zárójelezés, zárójelfelbontás hatása konvergens ill. divergens sorokra. Elégséges feltételek arra, hogy a zárójelek elhagyása ne változtasson a konvergencián.

1.6 Átrendezés

Abszolút konvergens sorok átrendezhetôsége. Riemann tétel.

1.7 Hibabecslés

Geometriai sor, majoráns kritérium ill. integrál kritérium alkalmazása és Leibniz típusú sorok esetén.

2. Függvénysorozatok, -sorok

2.1 Alapfogalmak

Definíció, pontonkénti konvergencia, konvergenciatartomány, egyenletes konvergencia (tartomány). Példák.

2.2 Egyenletes konvergencia

Függvényhatárérték, folytonosság, deriválhatóság és integrálhatóság invarianciája a határértékképzésre és sorösszegzésre.

Kritériumok egyenletes konvergenciára:

$\bullet$ Függvénysorozatok: $\exists (a_n): \, \vert r_n(x)\vert\leq a_n \longrightarrow 0$

$\bullet$ Függvénysorok: majoráns kritérium.

Kritériumok nem egyenletes konvergenciára:

$\bullet$

Határ (összeg) függvény nem örökli a tagok valamely, az egyenletes konvergencia által garantált tulajdonságát.

$\bullet$

Függvénysorozatok: $\exists (x_n) \, : \, r_n(x_n) \hspace{2mm} \not \hspace{-2mm}\longrightarrow 0$.

$\bullet$

Függvénysorok: $(f_n (x))$ nem egyenletesen konvergens $\, \, \leadsto \, \, \sum f_n (x)$ nem egyenletesen konvergens

Példák, a $\sum \frac{x^n}{n}$ sor vizsgálata.

3. Hatványsorok

3.1 Alapfogalmak

Definíció, jelent“ôség. Konvergenciaintervallum. Egyenletes konvergencia. Analicitás.

3.2 Taylor sorok

Sorfejtés fogalma. Formális Taylor sor. Taylor sor egyértelm–ûsége: hatványsor és Taylor sor. Taylor polinom, Lagrange maradéktag. Függvény és Taylor sora: formális Taylor sor konvergenciája, függvény elôállítása Taylor sorával.

Elemi függvények Taylor sora. Taylor sorfejtés technikája.

Taylor sorfejtés alkalmazásai:

$\bullet$

Közelítô számítások: függvényérték, határozott integrál, függvény durva közelítés.

$\bullet$

Függvény analicitás bizonyítása.

4. Fourier sorok

Trigonometrikus és Fourier sor fogalma. Elégséges feltétel arra, hogy Fourier sora el“ôállítsa a függvényt. Sorfejtés technikája. Példák.

TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

1. Alapfogalmak

${\bf R}^n$ definíciója. ${\bf R}^n$ szerkezete: távolság, szög és nagyság ${\bf R}^n$-en. ${\bf R}^n$-en való konvergencia alapfogalmai. Bolzano-Weierstrass tétel ${\bf R}^n$-en. Koordinátánkénti konvergencia.

${\bf R}^n$-bôl ${\bf R}^n$-be képezô (vektor)függvények, alapfogalmak, példák. Többváltozós függvény fogalma és szemléltetése (kétváltozós: felület, háromváltozós: szintfelület). Vektorfüggvény folytonos iff koordinátánként az.

Példák kétváltozós függvények határértékére és folytonosságára.

2. Differenciálszámítás

Definíció. Speciális esetek : gradiens, deriváltvektor. Illusztráló példák. Vektorfüggvény differenciálható iff koordinátánként az. A Jacobi mátrix.

Többváltozós függvények deriválása. Gradiens és parciális derivált összefüggése. Szint(equipotenciális) felületek. Geometriai szemléltetés. Folytonos deriválhatóság.

Többváltozós függvények deriválására vonatkozó elemi tételek: láncszabály, középértéktétel, Young tétel. Differenciál.

Példák kétváltozós függvények deriválhatóságának vizsgálatára.

Iránymenti derivált fogalma, kiszámítása, a parciális deriváltakkal és a gradienssel való kapcsolata, geometriai jelentése

Lokális- és tartományi szélsôérték. Létezésükre vonatkozó szükséges illetve elégséges feltételek. Nyeregpont. Illusztráló példák.

Az inverzfüggvény tétel mint az egyváltozós függvények inverzének létezésére vonatkozó tétel többdimenziós általánosítása.

Implicitfüggvény probléma. Példák, melyek esetén a lokális problémának nincs megoldása vagy több folytonos megoldása van. Az implicitfüggvény tétel kétváltozós esetben és fennállásának szemléletes magyarázata.

3. Integrálszámítás

Jordan mérhetôség és terület, tulajdonságaik. A mérhetôségre vonatkozó alapvetô kritérium, példa mérhetô és nem mérhetô halmazra.

Területi integrál. Definíció, tulajdonságok, integrálhatóság elégséges feltételei. Példa mérhetô halmazon nem integrálható függvényre. Kettôs integrál kiszámítása: kétszeres integrál, példák. Integrálási sorrend megváltoztatása. Példák.

Területi integrál helyettesítéssel, integráltranszformáció. A fontosabb transzformációk: polár- és módosított polártranszformációk (elliptikus és hiperbólikus) és az $(xy,x/y)$ transzformáció. Példák.

Jordan térfogat és térfogati integrál. Példák térfogati integrálra, az $n$-dimenziós tetraéder térfogata. Fontosabb térkoordinátatranszformációk: gömbi koordináták és módosításaik, példák, a négydimenziós gömb térfogata.