Matematika B4 2003.10.18. ZH megoldásai

1. Feladat

Szabályos érmével, illetve szabályos dobókockával dobunk. X := ahány dobás kell az első fejig. Y := ahány dobás kell az első hatosig. Mennyi ekkor P (X = Y) és P (X < Y)?

1. Megoldás

Mivel mind a fej-, mind a 6-os-dobás siker-kudarc típusú esemény, így mind az X, mind az Y valószínűségi változó eloszlása geometriai, méghozzá az alábbi paraméterekkel:

\begin{matrix}p_{X} = \frac{1}{2} & q_{X} = \frac{1}{2} \\ p_{Y} = \frac{1}{6} & q_{Y} = \frac{5}{6} \end{matrix}

Tehát

P (X = a) = (\frac{1}{2})^{a−1} · \frac{1}{2},

és

P (Y = b) = (\frac{5}{6})^{b−1} · \frac{1}{6}.

2 pont

A együttes eloszlást a valószínűségi változók függetlensége miatt szorzással kapjuk:

P (X = a, Y = b) = (\frac{1}{2})^{a−1} · \frac{1}{2} · (\frac{5}{6})^{b−1} · \frac{1}{6}.

1 pont

P (X = Y) = ∑_{i=1}^{∞} P (X = Y = i) = ∑_{i=1}^{∞} P (X = i és Y = i) =

2 pont

= ∑_{i=1}^{∞} (\frac{1}{2})^{i−1} · \frac{1}{2} · (\frac{5}{6})^{i−1} · \frac{1}{6} =

= \frac{1}{12} · ∑_{i=1}^{∞} (\frac{5}{12})^{i−1} = \frac{1}{12} · \frac{\frac{5}{12}}{1 − \frac{5}{12}} = \frac{1}{7}.

1 pont

P (X < Y) = ∑_{i=1}^{∞} P (X < Y |X = i) · P (X = i) = ∑_{i=1}^{∞} P (Y > i|X = i) · P (X = i) =

= ∑_{i=1}^{∞} P (Y > i) · P (X = i) = ∑_{i=1}^{∞} ∑_{j=i+1}^{∞} P (Y = j) · P (X = i) =

= ∑_{i=1}^{∞} ∑_{j=i+1}^{∞} (\frac{5}{6})^{j−1} · \frac{1}{6} · (\frac{1}{2})^{i−1} · \frac{1}{2} =

2 pont

= \frac{1}{12} ∑_{i=1}^{∞} (\frac{5}{6})^{i−1} (\frac{1}{2})^{i−1} ∑_{j=i+1}^{∞} (\frac{5}{6})^{j−i} =

= \frac{1}{12} ∑_{i=1}^{∞} (\frac{5}{12})^{i−1} ∑_{k=1}^{∞} (\frac{5}{6})^{k} =

= \frac{1}{12} ∑_{i=1}^{∞} (\frac{5}{12})^{i−1} · \frac{\frac{5}{6}}{1 − \frac{5}{6}} =

= \frac{5}{12} ∑_{i=1}^{∞} (\frac{5}{12})^{i−1} = \frac{5}{12} · \frac{1}{1 − \frac{5}{12}} = \frac{5}{7}.

2 pont

2. Feladat

Egy ládában 2 piros és 4 fehér golyó van. Visszatevés nélkül húzunk az első pirosig. Adja meg a húzások számának az eloszlását és a várható értékét!

2. Megoldás

Legyen X = a húzások száma az első pirosig (a pirosat is beleértve). Ekkor X értéke 1, 2, 3, 4 vagy 5 lehet, azaz az eseményterünk az {1, 2, 3, 4, 5} halmaz.

A kérdezett eloszlás könnyen számolható:

P (X = 1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},

P (X = 2) = \frac{4}{6} · \frac{2}{5} = \frac{4}{15},

2 pont

P (X = 3) = \frac{4}{6} · \frac{3}{5} · \frac{2}{4} = \frac{1}{5},

P (X = 4) = \frac{4}{6} · \frac{3}{5} · \frac{2}{4} · \frac{2}{3} = \frac{2}{15},

P (X = 5) = \frac{4}{6} · \frac{3}{5} · \frac{2}{4} · \frac{1}{3} · \frac{2}{2} = \frac{1}{15}.

3 pont

És a várható érték:

E(X) = ∑_{k=1}^{5} P (X = k) · k =

= \frac{1}{3} · 1 + \frac{4}{15} · 2 + \frac{1}{5} · 3 + \frac{2}{15} · 4 + \frac{1}{15} · 5 =

3 pont

= \frac{35}{15} = 2, 33

1 pont

3. Feladat

Ha egy városban délidőben egy óra alatt átlagosan 7 baleset történik, akkor negyed óra alatt hány baleset a legvalószínűbb? A használt eloszlás jogosságát indokolja!

3. Megoldás

Legyen a valószínűségi változónk, X = a városban 1/4 óra alatt bekövetkező balesetek száma.

1 pont

Ekkor X eloszlását modellezhetjük Poisson-eloszlással, mivel

sok autó közlekedik a városban,

2 pont

egy adott autó balesetének valószínűsége igen kicsi, és

2 pont

a balesetek jó közelítéssel egymástól függetlenül történnek.

1 pont

Mivel az 1 óra alatt bekövetkező balesetek számának várható értéke 7, így az 1/4 óra alatt bekövetkező balesetek számának várható értéke, mely egyben az X Poisson-eloszlásának paramétere:

E(X) = 7 · \frac{1}{4} = \frac{7}{4} = λ_{X}.

2 pont

És, mivel Poisson-eloszlásról van szó, a valószínűségi változó legvalószínűbben kapott értéke, azaz a módusz:

m = ⌊λ⌋ = ⌊\frac{7}{4}⌋ = 1.

2 pont