Szigorlati feladatok  1997. június

1. Oldja meg az

x^{3}y′′′ + 4x^{2}y′′ + xy′ − y = ∫_{1}^{x} t(1 + 2 ln t)dt

differenciálegyenletet. (15 pont)

2. Legyen f(x) = \frac{a}{1 + x^{2}} egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, A és (A, b) pedig az

\begin{aligned}x & + & aπy & − & \frac{1}{6}z & = & 1 \\ −x & − & 2y & + & z & = & 0 \\ 2x & − & 2aπy & + & 3z & = & −2 \end{aligned}

lineáris egyenletrendszer mátrixa, illetve kibővített mátrixa. Adjuk meg a

P (\frac{1}{2} Rang A ≤ ξ < \frac{1}{\sqrt{3}} Rang(A, b))

valószínűséget, s számítsuk ki az M(ξ) várható értéket, ha létezik. (15 pont)

3. Számítsa ki a

v(r) = xi + \frac{1}{x} cos xzj + (y − z)k

vektor-vektorfüggvény skalárértékű görbementi integrálját a

g : r(t) = \sqrt{1 − t^{2}}i + t^{2}j + k ; 0 ≤ t ≤ \sqrt{1 − arccos^{2} \frac{\sqrt{3}}{2}}

görbe mentén a paraméter növekedése szerinti irányban. Számítsa ki a g görbe t_{0} = \frac{\sqrt{3}}{2} pontjában a binormális egységvektort. (15 pont)

4. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f_{1}(x) = x ln x és az f_{2}(x) = \frac{1}{x} függvények Wronskideterminánsának abszolút értékén az [\frac{1}{\sqrt{e}}, ∞) intervallum felett. (15 pont)