Szigorlati feladatok  1997. szeptember

1. Határozzuk meg az u(x, y) = \frac{x^{3}}{3} +x^{2}y +xy^{2} −x+3y kétváltozós valós függvény szélsőértékeinek helyét és minőségét! Van-e olyan komplex reguláris függvény, amelynek valós vagy képzetes része az u(x, y) függvény? (12 pont)

2. Legyenek az A tenzor vektorkoordinátái: a_{1} = 2i + 5j − k, a_{2} = 3i + 4j + 2k és a_{3} = −i + j − 3k. Mutassuk meg, hogy ha c = 3i + 4j + c · k (c ∈ R), akkor az Ar = c egyenlet r = xi + yj + zk megoldásai a c = 2 esetben egy e egyenes pontjainak a helyvektorai, a c ≠ 2 esetekben pedig nincs megoldás! Adjuk meg a z = x^{2} + y^{2} egyenletű forgási paraboloid e-re merőleges érintősíkjának az egyenletét! (14 pont)

3. Jelölje I_{n} a v(r) = x^{3}i + y^{3}j + z^{3}k vektor-vektorfüggvénynek az x^{2} + y^{2} + z^{2} = n − \sqrt{n^{2} − 1} egyebletű F_{n} gömbfelületen vett zárt felületi integrálját kifelé mutató felületi normávektorral! Határozzuk meg a ∑_{n=1}^{∞} I_{n}(z + i)^{n} komplex hatványsor konvergencia-középpontját és konvergenciasugarát! (15 pont)

4. Mutassuk meg, hogy az

f(x) = \{ \begin{matrix}y(x) & ha x ∈ (0, 1) \\ 0 & ha x ∉ (0, 1) \end{matrix}

függvény valamely ξ folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, ahol y(x) az

y′′′ − y′′ + y′ − y = 2e^{x}

differenciálegyenletnek az y(0) = 0, y′(0) = 1 és y′′(0) = 2 kezdeti feltételekhez tartozó partikuláris megoldása! Határozzuk meg a ξ eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását.

(19 pont)