Szigorlati feladatok (1998.január 27.)

1. Adja meg az y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = 0 differenciálegyenlet általános megoldását! Mutassa meg, hogy az y(x) = e^{x} + sin 2x függvény az y(0) = 1, y′(0) = 3 és az y′′(0) = 1 kezdeti feltételekhez tartozó partikuláris megoldás! Számítsa ki a függvény grafikonjának x-tengely körüli forgatásával kapott test térfogatát a [0, π] intervallumban! (14 pont)

2. Számítsa ki az I_{n} = ∮_{G} \frac{sin nz}{z^{2}+4} dz komplex integrálokat a |z − 1 − i| = 3 egyenletű G görbe mentén pozitív

forgásiránnyal! Határozza meg a ∑_{n=1}^{∞} I_{n}z^{n} komplex hatványsor konvergenciasugarát! (12 pont)

3. Számítsa ki az f(x, y) = detA függvény szélsőértékeinek helyét, minőségét és értékét, ha:

A = [ \begin{matrix}x & y & 1 \\ 1 & x & y \\ y & 1 & x \end{matrix} ] .

Határozza meg ezeken a helyeken az A mátrix sajátértékeit és az egész sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat! (12 pont)

4. Számítsa ki a v(r) = x^{2}y ln zi + xzj + \frac{z}{z+1}k vektor-vektorfüggvény felületi integrálját a 4x^{2} + 4y^{2} = z egyenletű forgási paraboloid, a z = 1 és a z = 4 egyenletű síkok által meghatározott zárt felületen kifelé mutató felületi normálvektorral! (12 pont)

5. A ξ folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{a}{x^{2}+1}, & ha x ∈ (−1, 1); \\ 0, & ha x ∉ (−1, 1). \end{matrix}

Határozza meg az a paraméter értékét és ξ eloszlásfüggvényét! Számítsa ki ξ várható értékét, szórását és a P (ξ > \frac{1}{\sqrt{3}}) valószínűséget! (10 pont)

Szigorlati feladatok (1998.február 2.)

1. Mutassa meg, hogy az f(x) = ln \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} függvény a ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{2n}}{2n} hatványsor összegfüggvénye. Határozza meg

a sor konvergenciatartományát! Végezze el az összegfüggvény teljes vizsgálatát! (15 pont)

2. Oldjuk meg az (AB)r = 0 egyenletet, ahol

A = [ \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 0 & −3 \end{matrix} ] és B = [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} ] ,

az r = xi + yj + zk vektor pedig oszlopvektorként van megadva. Mutassuk meg, hogy a megoldások egy origón átmenő egyenes pontjainak koordinátái! (8 pont)

3. Számítsuk ki az x^{2}+y^{2}+z^{2} = 4 egyenletű gömbfelület azon részének felszínét, amelyet az x^{2}+y^{2}−2x = 0 egyenletű hengerpalást metsz ki belőle! (12 pont)

4. Számítsa ki az y′′′ − 2y′′ − 4y′ + 8y = e^{−2x} differenciálegyenletnek azt az y(x) partikuláris megoldását, amely kielégíti a y(0) = 1 és lim_{x→∞} y(x) = 0 feltételeket! (13 pont)

5. Mutassa meg, hogy

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} cos \frac{π−x}{2}, & ha x ∈ (0, π); \\ 0, & ha x ∉ (0, π) \end{matrix}

függvény egy ξ folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye! Számítsa ki az A(ξ, 1, −1), B(1, 0, 1) és C(0, −1, 1) pontok által meghatározott síkok és az x = 4 − t, y = \frac{ξ}{2} + t, z = 2t egyenletrendszerű egyenesek metszéspontjainak várható értékét! (12 pont)