Operátorelmélet
Matematikusok operátorelmélet választható előadása,
2025/2026 I. félévében.
Tárgykövetelmény: Operátorelmélet.
Az órák helye és ideje:
Vizsgakövetelmény: Tételsor. (A félév vége felé várható.)
Vázlatos tematika:
Az előadások tematikái:
| Hét: | Előadás anyaga: | ||
| 1. hét |
Definíció.
Topológia.
Nyílt halmaz és zárt halmaz.
Diszkrét és antidiszkrét topológia.
Topológia visszahúzása és előretolása.
Altértopológia.
Topológia bázisa.
Pont környezete és környezetbázisa.
M1 és M2 terek.
Halmaz belseje és lezártja.
Belső pont és torlódási pont.
Sűrű halmaz.
Szeparábilis topologikus tér.
Finomabb és durvább topológia. Tétel. Topológiák halmazának létezik infimuma és szuprémuma a topológiák körében. Definíció. Topológiák infimuma és szuprémuma. Projektív (iniciális) és induktív (finális) topológia. Szorzattopológia. Tétel. Topológiák infimumának és szuprémumának bázisa. Definíció. Hausdorff (T2), reguláris és normális topologikus terek. Tétel. Uriszon-tétel. Tietze-tétel. Definíció. Felfele irányított előrendezett halmaz. Általánosított sorozat és határértéke. Folytonos függvény. Kompakt halmaz. Tétel. Hausdorff térben minden kompakt halmaz zárt és normális. Hausdorff térben kompakt halmaz zárt részhalmaza kompakt. Cantor-tétel kompakt halmazokra. Kompakt halmaz folytonos függvény általi képe kompakt. Tyihonov-tétel. Definíció. Lokálisan kompakt és $\sigma$-kompakt halmaz. | ||
| 2. hét |
Definíció.
Skaláris szorzás, norma. Normák ekvivalenciája. Normált terek, Banach-terek és Hilbert-terek,
Ortogonális vektorok és halmazok. Sehol sem sűrű halmazok. Első és második kategóriájú halmazok.
Konvex, szimmetrikus, kiegyensúlyozott és elnyelő halmazok normált terekben. Tétel. Baire-féle kategória tétel. Nem létezik megszámlálhatóan végtelen dimenziós Banach-tér. Banach-térben minden zárt, konvex és elnyelő halmaz az origó környezete. Definíció. Folytonos lineáris operátor normája. Normált tér duálisa. Reflexív terek. Tétel. A folytonos lineáris operátorok tere az operátornormával ellátva normált tér. Ha $E$ Banach-tér és $\mathcal{L}(E)$ jelöli az $E\to E$ folytonos lineáris operátorok halmazát az operátornormával ellátva, akkor $\mathcal{L}(E)$ Banach-tér és az operátornoma szubmultiplikatív ezen a téren. Ha $\Hi$ Hilbert-tér, $W\subseteq\Hi$ konvex zárt nem üres halmaz és $x\in\Hi$, akkor létezik egyetlen olyan $y\in W$ vektor, melyre $\di\dist_{W}(x)=\inf_{z\in W}\norm{z-x}=\norm{x-y}$ teljesül. Ha $\Hi$ Hilbert-tér, $W\subseteq\Hi$ zárt lineáris altér és $x\in\Hi$, akkor jelölje $x_{W}\in W$ azt az egyértelműen meghatározott vektort, melyre $\di\inf_{z\in W}\norm{z-x}=\norm{x-x_{W}}$ teljesül. Ekkor $x_{W}$ az egyetlen olyan vektor a $W$ altérben, melyre $x-x_{W}\perp W$ teljesül.
Ha $\Hi$ Hilbert-tér és $W\subseteq\Hi$ zárt lineáris altér, akkor $W=W^{\perp\perp}$. Ha $\Hi$ Hilbert-tér és $L\subseteq\Hi$ lineáris altér, akkor $\overline{L}=L^{\perp\perp}$. Ha $\Hi$ Hilbert-tér és $\kz{0}\neq W\subseteq\Hi$ zárt lineáris altér és $P:\Hi\to\Hi$, $P(x)=x_{W}$, akkor $P$ lineáris, $\Ran P=W$, $\Ker P=W^{\perp}$, $P^{2}=P=P^{*}$ és $\norm{P}=1$. Definíció. Szubadditív, pozitív homohén és szublineáris funkcionál. Félnorma. Tétel. Hahn–Banach-tétel. Normált tér duálisa szétválasztó. Ha $E$ normált tér, akkor minden $x\in E$ vektorra teljesül az $\di\norm{x}=\sup_{f\in E', \norm{f}\leq 1}\abs{f(x)}$ egyenlőség. Banach nyílt leképezés tétele. Banach tétele a folytonos inverz létezéséről. Ha $E$ Banach-tér a $\norm{\cdot}_{1}$ és a $\norm{\cdot}_{2}$ normával, valamint létezik olyan $K$, hogy $\norm{\cdot}_{1}\leq K\norm{\cdot}_{2}$ teljesül, akkor a két norma ekvivalens. Ha $A:E\vto F$ zárt injektív leképezés Banach-terek között, akkor $A^{-1}$ is zárt. Banach egyenletes korlátosság tétele. | ||
| 3. hét |
Tétel.
Riesz reprezentációs tétel.
Banach–Steinhaus-tétel. Definíció. Zárt és lezárható operátor. Definíció. Sűrűn értelmezett $A:\Hi\vto\Hi$ operátor adjungáltja. Normális, önadjungált, szimmetrikus, lényegében önadjungált és unitér operátor. Projekció. Tétel. Ha $A,B:\Hi\vto\Hi$ sűrűn értelmezett operátor, akkor az alábbiak teljesülnek. • Ha $\Dom(A+B)$ sűrű, akkor $A^{*}+B^{*}\subseteq (A+B)^{*}$. • Ha $\Dom(AB)$ sűrű, akkor $B^{*}A^{*}\subseteq (AB)^{*}$. • Ha $\Dom(A^{*})$ sűrű, akkor $A\subseteq A^{**}$. • Ha $A\subseteq B$, akkor $B^{*}\subseteq A^{*}$. • Ha $\lambda\in\C\setminus\kz{0}$, akkor $\overline{\lambda}=(\lambda A)^{*}$. Ha $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett operátor, akkor $A^{*}$ zárt. Ha $A\in\mc{L}(\Hi)$, akkor $\norm{A^{*}}=\norm{A}$ és $\norm{A^{*}A}=\norm{A}^{2}$. Definíció. A $D$, a $P_{\alpha}$ ($\alpha\in\C$, $\abs{\alpha}=1$) és a $P_{0}$ differenciáloperátor a $L^{2}\gz{\sz{-\pi,\pi},\C}$ téren, valamint a $P$ differenciáloperátor a $L^{2}\gz{\R,\C}$ téren. Tétel. $P_{0}^{*}=D\quad D^{*}=P_{0}\quad P_{\alpha}^{*}=P_{\alpha}\quad P^{*}=P$ | ||
| 4. hét |
Tétel.
Zárt gráf tétel. Ha $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett operátor, akkor $\gz{\Ran A}^{\perp}=\Ker A^{*}$ és $\overline{\Ran A}=\gz{\Ker A^{*}}^{\perp}$ . Ha $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett injektív operátor és $\Ran A$ sűrű, akkor $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$. Ha $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett zárt operátor, akkor $\Dom A^{*}$ sűrű. Egy $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett operátor pontosan akkor lezárható, ha $\Dom A^{*}$ sűrű és ebben az esetben $\overline{A}=A^{**}$. Komplex számtest feletti Hilbert-téren, egy sűrűn értelmezett $A\in L(\Hi)$ operátor pontosan akkor szimmetrikus, ha minden $x\in\Dom A$ esetén $\scal{x,Ax}\in\R$. Komplex számtest feletti Hilbert-téren, egy sűrűn értelmezett $A\in L(\Hi)$ operátor pontosan akkor zérusoperátor, ha minden $x\in\Dom A$ esetén $\scal{x,Ax}=0$. Ha $A\in\mc{L}(\Hi)$ önadjungált, akkor $\di \norm{A}=\sup_{\norm{x}\leq 1}\abs{\scal{x,Ax}}$. Definíció. Algebra, egységelemes algebra. Algebramorfizmus. Ideál, reguláris ideál, maximális ideál, valódi ideál. Karakter, karakter tér ($X(\mA)$). Tétel. Ha $m$ ideál az $\mA$ algebrában, akkor az $A/m$ halmaz természetesen módon látható el algebrai struktúrával. A $\pi:\mA\to\mA/m$, $a\mapsto a/\sim\ $ faktorleképezés algebramorfizmus. Algebra egységelemesítése. Definíció. Faktoralgebra, műveletek a faktoralgebrában. Standard egységelemesítés ($\tilde{\mA}$). Tétel. Az $m$ ideál pontosan akkor reguláris, ha $\mA/m$ egységelemes és nem nulla dimenziós. Karakter magja 1 kodimenziós reguláris ideál. A $\Ker:X(\mA)\to\kz{m\subseteq\mA : m\ \mbox{1 kodimenziós reguláris ideál}}$ leképezés bijekció. Egységelemes algebrában minden valódi ideál része egy maximális ideálnak. | ||
| 5. hét |
Tétel.
Ha $m$ reguláris maximális ideál $\mA$-ban, akkor létezik olyan $\tilde{m}$ maximális ideál
$\tilde{\mA}$-ban, hogy $m=\tilde{m}\cap\mA$. Ha $m$ reguláris maximális ideál a $K$ test feletti kommutatív $\mA$ algebrában, akkor $\mA/m$ testbővítése $K$-nak. Ha $V$ normált tér, $m\subseteq V$ lineáris altér akkor a $p:V/m\to\R$, $\eta\mapsto\inf\kz{\norm{x}: x\in\eta}$ leképezés pontosan akkor norma a $V/m$ faktortéren, ha $m$ zárt. Ha $V$ normált tér, $m\subseteq V$ zárt lineáris altér akkor a $p:V/m\to\R$, $\eta\mapsto\inf\kz{\norm{x}: x\in\eta}$ leképezés folytonos és nyílt. Ha $V$ Banach-tér és $m$ zárt lineáris altér, akkor $V/m$ is Banach-tér. Definíció. Normált algebra, Banach-algebra. Tétel. Ha $A$ normált algebra és $m$ zárt ideálja, akkor $A/m$ is normált algebra. Ha $A$ Banach-algebra és $m$ zárt ideálja, akkor $A/m$ is Banach-algebra. Definíció. Elem spektrálsugara ($\rho(a)$). Tétel. Ha $\mA$ normált algebra és $a\in\mA$, akkor $\di\rho(a)=\lim_{n\to\infty}\root{n}\of{\norm{a^{n}}}$. Ha $\mA$ normált algebra, $a,b\in\mA$, $\lambda\in\K$ és $k\in\N^{+}$, akkor $\rho(\lambda a)=\abs{\lambda}\rho(a)$, $\rho(a^{k})=\rho(a)^{k}$ és $ab=ba$ esetén $\rho(ab)\leq\rho(a)\rho(b)$. Carl Neumann-sorfejtés: Ha $\mA$ egységelemes Banach-algebra és az $a\in\mA$ elemre $\rho(a)<1$ teljesül, akkor $(1-a)$ invertálható és $\di\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}=(1-a)^{-1}$. Ha $G(\mA)$ jelöli az $\mA$ egységelemes Banach-algebra invertálható elemeinek halmazát, akkor minden $a\in G(\mA)$ esetén $\di B_{\frac{1}{\Vert a^{-1}\Vert}}(a)\subseteq G(\mA)$ teljesül; $G(\mA)$ nyílt halmaz; továbbá az $i:G(\mA)\to G(\mA)$, $i(a)=a^{-1}$ invertálás folytonos művelet. Ideál lezártja ideál. Banach-algebrában minden reguláris maximális ideál zárt. Definíció. Egységelemes algebrában elem spektruma illetve tetszőleges algebrában elem vesszős spektruma. Tétel. Rickart-tétel: Ha $\mA$ nem nulladimenziós egységelemes komplex normált algebra és $a\in\mA$, akkor létezik olyan $z\in\Sp(a)$, melyre $\abs{z}\geq\rho(a)$ teljesül. Gelfand–Mazur-tétel: Ha $\mA$ olyan egységelemes komplex normált algebra, melyben a nullán kívül minden elem invertálható, akkor $A=\C\cdot 1$. | ||
| 6. hét |
Tétel.
Kommutatív $\C$ feletti Banach-algebrában minden reguláris maximális ideál $1$ kodimenziós. Ha $\mA$ egységelemes algebra, akkor minden $a\in\mA$ és $\chi\in X(\mA)$ esetén $\chi(a)\in \Sp(a)$. Ha $\mA$ és $\mc{B}$ egységelemes algebra, valamint $\pi:\mA\to\mc{B}$ egységelemtartó algebra morfizmus, akkor minden $a\in\mA$ esetén $\Sp(\pi(a))\subseteq\Sp(a)$ teljesül. Ha $A$ egységelemes Banach-algebra és $a\in\mA$, akkor $\Sp(a)\subseteq\K$ kompakt halmaz, valamint $\Sp(a)\subseteq\overline{B_{\rho(a)}(0)}$. Spektrálsugár minimalitási tulajdonsága: Ha $\mA$ $\C$ feletti Banach-algebra, akkor minden $a\in\mA$ esetén $\rho(a)=\min\kz{r\in\R\vert\ \Sp'(a)\subseteq\overline{B_{r}(0)}}$. Ha $\mA$ Banach-algebra, akkor minden $a\in\mA$ elemre és $\chi\in X(\mA)$ karakterre $\vert\chi(a)\vert\leq\rho(a)\leq\Vert a\Vert$ teljesül. Tétel. Egészfüggvény számítás: Legyen $\mA$ egységelemes $\C$ feletti Banach-algebra, $a\in A$ és jelölje $\mathscr{E}$ a $\C\to\C$ holomorf függvények halmazát. Ekkor létezik olyan $\mathscr{E}\to\mA$, $f\mapsto f(a)$ egységelem tartó algebra morfizmus, melyre minden $f\in\mathscr{E}$ esetén $f(\Sp(a))\subseteq\Sp(f(a))$ teljesül. Definíció. Involúció, valódi involúció. *-algebra, normált *-algebra, Banach-*-algebra. *-Algebrában: önadjungált, normális, pozitív, idempotens és projektor elem, egységelemes *-algebrában unitér elem. *-algebra-morfizmus. Komplex számtest feletti *-algebrában lineáris funkcionál adjungáltja, pozitív és önadjungált funkcionálok. Tétel. Komplex számtest feletti *-algebrán értelmezett funkcionál pontosan akkor önadjungált, ha minden önadjungált elemen valós az értéke. Definíció. Pre-C*-algebra és C*-algebra. Tétel. C*-algebra egységelemesítése: Legyen $\mA$ C*-algebra és $\tilde{\mA}=\C\times\mA$ az egységelemesítésnél bevezetett algebrai műveletekkel ellátva. Ha $\mA$ egységelemes, akkor $\tilde{\mA}$ a $\norm{(\lambda,a)}=\max\kz{\abs{\lambda},\norm{\lambda+a}}$ normával egységelemes C*-algebra; ha $\mA$ nem egységelemes, akkor $\tilde{\mA}$ a $\di\norm{(\lambda,a)}=\sup_{\norm{x}\leq 1}\norm{\lambda x+ax}$ normával egységelemes C*-algebra. Ha $\mA$ C*-algebra, akkor minden normális $a\in\mA$ elemre $\rho(a)=\norm{a}$ teljesül. Az $\mA$ egységelemes C*-algebrában minden untér $u\in\mA$ elemre $\Sp(a)\subseteq\T$ teljesül. Az $\mA$ C*-algebrában minden önadjungált $a\in\mA$ elemre $\Sp(a)\subseteq\R$ teljesül. Ha $\mA$ C*-algebra, akkor minden $\chi\in X(\mA)$ karakterre $\chi^{*}=\chi$ teljesül. Definíció. Gelfand-transzformáció: $\mc{G}:\mA\to\mc{F}(X(\mA),\K)$, $a\mapsto\gz{\chi\mapsto \chi(a)}$. Tétel. Ha $\mA$ C*-algebra, akkor a Gelfand-transzformáció *-algebra morfizmus. | ||
| 7. hét |
Tétel.
Legyen $(T,\tau)$ topologikus tér és $A\subseteq T$.
Egy $t\in T$ pontra pontosan akkor teljesül, hogy $t\in\overline{A}$, ha létezik olyan $x:I\to A$ általánosított
sorozat, mely a $t$ ponthoz konvergál. Legyen $(T_{1},\tau_{1})$, $(T_{2},\tau_{2})$ topologikus tér és $f:T_{1}\to T_{2}$. Az $f$ függvény pontosan akkor folytonos, ha minden $t\in T_{1}$ pontra és minden $t$ ponthoz konvergáló $(x_{i})_{i\in I}$ általánosított sorozatra $\di f\gz{\lim_{i,I} x_{i}}=\lim_{i\in I}f(x_{i})$ teljesül. Legyen $T$ halmaz, valamint $\tau_{1}$ és $\tau_{2}$ topológia a $T$ halmazon. Pontosan akkor teljesül a $\tau_{1}=\tau_{2}$ egyenelőség, ha minden $t\in T$ pontra és $(x_{i})_{i\in I}$ általánosított sorozatra $\di\lim_{i,I,\tau_{1}}x_{i}=t\quad\Leftrightarrow\quad \lim_{i,I,\tau_{2}}x_{i}=t$. Tetszőleges $T$ halmaz esetén a $\K^{T}$ téren értelmezett szorzattopológia megegyezik a pontonkénti konvergencia topológiájával. Definíció. Ekvifolytonos függvényhalmaz. Tétel. Ascoli 1. tétele: Legyen $V$ normált tér és $H\subseteq\mc{F}(V,\K)$ ekvifolytonos függvényhalmaz. A $H$ pontokénti konvergencia szerinti lezártja szintén ekvifolytonos függvényhalmaz. Legyen $V$ normált tér és $H\subseteq\mc{F}(V,\K)$. A $H$ halmaz pontosan akkor relatív kompakt a pontokénti konvergencia topológiája szerint, ha minden $x\in V$ esetén a $\kz{u(x)\in\K\vert\ u\in H}$ halmaz relatív kompakt. Legyen $V$ normált tér és $H\subseteq\mc{L}(V,\K)$ ekvifolytonos függvényhalmaz. A $H$ halmaz pontosan akkor relatív kompakt a $\mc{L}(V,\K)$ térben a pontokénti konvergencia topológiája szerint, ha minden $x\in V$ esetén a $\kz{u(x)\in\K\vert\ u\in H}$ halmaz relatív kompakt. Alaoglu–Bourbaki-tétel: Ha $V$ normált tér és $H\subseteq\mc{L}(V,\K)$ ekvifolytonos függvényhalmaz, akkor $H$ relatív kompakt a pontokénti konvergencia topológiája szerint. Banach–Alaoglu-tétel: Ha $V$ normált tér, $\Omega\subseteq V$ a $0$ környezete és $K\subseteq\K$ kompakt halmaz, akkor a $H=\kz{u\in\mc{L}(V,\K)\vert\ u(\Omega)\subseteq K}$ függvényhalmaz kompakt a pontonkénti konvergencia topológiája szerint. Definíció. Gelfand-topológia a karaktertéren. Tétel. A Gelfand-topológia szerinti konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergencia topológiájával. Tétel. A Gelfand-transzformáció algebra morfizmus és a Gelfand-transzformált folytonos függvény. Ha $\mA$ Banach-algebra, akkor $X(\mA)$ lokálisan kompakt topologikus tér, valamint ha $\mA$ egységelemes is, akkor $X(\mA)$ kompakt. Ha $\mA$ Banach-algebra és $a\in\mA$, akkor $\mc{G}(a)\in\overline{\scrK(X(\mA),\K)}$ és $\norm{\mc{G}(a)}\leq\rho(a)$. Ha $\mA$ egységelemes kommutatív $\C$ feletti Banach-algebra, akkor minden $a\in\mA$ elemre $\Ran(\mc{G}(a))=\Sp(a)$, valamint $\norm{\mc{G}(a)}=\rho(a)$. Gelfand–Naimark-tétel: Ha $\mA$ kommutatív C*-algebra, akkor a $\mc{G}:\mA\to\overline{\scrK(X(\mA),\C)}$ Gelfand-transzformáció izometrikus *-algebra izomorfizmus. | ||
| 8. hét |
Tétel.
Ha $\mA$ Banach-*-algebra, $\mc{B}$ pre-C*-algebra és $\pi:\mA\to\mc{B}$ *-algebra morfizmus, akkor
minden $a\in\mA$ esetén $\norm{\pi(a)}\leq\norm{a}$. Ha $\mA$ *-algebra C*-algebra a $\norm{\cdot}_{1}$ és a $\norm{\cdot}_{2}$ normával, akkor $\norm{\cdot}_{1}=\norm{\cdot}_{2}$. Ha $1\in\mc{B}\subseteq\mA$, ahol $\mA$ egységelemes Banach-algebra, $\mc{B}$ zárt részalgebra, akkor minden $b\in\mc{B}$ elemre $\Fr(\Sp_{\mc{B}}(b))\subseteq \Fr(\Sp_{\mA}(b))$ teljesül, ahol $\Fr(\Omega)=\overline{\Omega}\setminus \Int(\Omega)$. Az $\mA$ egységelemes C*-algebra és $\mc{B}$ ennek olyan C*-részalgebrája, melynek eleme $\mA$ egységeleme, akkor $\forall b\in\mc{B}$ elemre $\Sp_{\mc{B}}(b)=\Sp_{\mA}(b)$. Folytonosfüggvény-számítás: Legyen $\mA$ egységelemes C*-algebra, $a\in\mA$ normális elem és jelölje $\mc{B}$ az $1,a,a^{*}$ elemek által generált C*-részalgebrát. Ekkor létezik egyetlen $C_{a}:C(\Sp(a),\C)\to\mA$ egységelemtartó *-algebra morfizmus a $C_{a}(\mathrm{id}_{\Sp(a)})=a$ tulajdonsággal, továbbá $C_{a}$ izometria, valamint $\Ran(C_{a})=\mc{B}$ teljesül. Ha $\mA$ egységelemes C*-algebra, $a\in\mA$ normális elem és $\varphi\in C(\Sp(a),\C)$, akkor $\Sp\varphi(a)=\varphi(\Sp(a))$. Egységelemes C*-algebrában minden elem előáll négy unitér elem lineáris kombinációjaként. Legyen $T$ lokálisan kompakt topologikus tér, $\mA=\overline{\scrK(T,\C)}$ és minden $F\subseteq T$ esetén legyen $m_{F}=\kz{a\in\mA\vert\ \forall t\in F:\ a(t)=0}$. Ekkor $$\kz{ F\subseteq T\vert\ F\ \text{zárt}}\to\kz{m\subseteq\mA\vert\ m\ \text{zárt ideál}} \qquad F\mapsto m_{f}$$ bijekció, $$\kz{ F\subseteq T\vert\ F\neq\emptyset,\ F\ \text{kompakt}}\to \kz{m\subseteq\mA\vert\ m\ \text{zárt reguláris ideál}} \qquad F\mapsto m_{f}$$ bijekció és ha minden $t\in T$ esetén $\varepsilon_{t}:\mA\to\C$, $a\mapsto a(t)$, akkor $\varepsilon:T\to X(\mA)$, $t\mapsto\varepsilon_{t}$ homeomorfizmus. Ha $T$ és $S$ lokálisan kompakt topologikus tér, akkor minden $\pi:\overline{\scrK(T,\C)}\to \overline{\scrK(S,\C)}$ algebra izomofizmushoz létezik egyetlen $\sigma:S\to T$ homeomorfizmus, melyre $\sigma^{\sharp}=\pi$ teljesül, ahol $\sigma^{\sharp}:\overline{\scrK(T,\C)}\to \overline{\scrK(S,\C)}$, $\varphi\mapsto\varphi\circ\sigma$. Ha $T$ és $S$ lokálisan kompakt topologikus tér, akkor a $\overline{\scrK(T,\C)}$, $\overline{\scrK(S,\C)}$ C*-algebrák pontosan akkor izomorfak, ha a $T$, $S$ terek homeomorfak. | ||
| 9. hét |
Definíció.
Norma ($\tau_{n}$), erős ($\tau_{s}$) és gyenge ($\tau_{w}$) operátortopológia. Ha $(a_{n})_{n\in\N}$ lineáris operátorok sorozata a $\Hi$ Hilbert-téren, akkor $\di\lim_{n\to\infty}a_{n}$, $\di\slim_{n\to\infty}a_{n}$ és $\di\wlim_{n\to\infty}a_{n}$ értelmezése. Tétel. $\tau_{w}\subseteq\tau_{s}\subseteq\tau_{n}$ Ha $\Hi$ végtelen dimenziós Hilbert-tér és $(a_{n})_{n\in\N}$ lineáris operátorok sorozata, akkor $$\exists \lim_{n\to\infty}(a_{n})\ \Rightarrow\ \exists \slim_{n\to\infty}(a_{n}) \ \Rightarrow\ \exists \wlim_{n\to\infty}(a_{n}),\qquad \exists \wlim_{n\to\infty}(a_{n})\ \nRightarrow\ \exists \slim_{n\to\infty}(a_{n}) \ \nRightarrow\ \exists \lim_{n\to\infty}(a_{n}).$$ Ha $\Hi$ végtelen dimenziós Hilbert-tér és $(a_{n})_{n\in\N},(b_{n})_{n\in\N}$ lineáris operátorok sorozata. • Ha $\di A=\lim_{n\to\infty} a_{n}$ és $\di B=\lim_{n\to\infty} b_{n}$, akkor $\di AB=\lim_{n\to\infty} a_{n}b_{n}$. • Ha $\di A=\slim_{n\to\infty} a_{n}$ és $\di B=\slim_{n\to\infty} b_{n}$, akkor $\di AB=\slim_{n\to\infty} a_{n}b_{n}$. • Ha $\di A=\wlim_{n\to\infty} a_{n}$ és $\di B=\wlim_{n\to\infty} b_{n}$, akkor nem feltétlenül teljesül az $\di AB=\wlim_{n\to\infty} a_{n}b_{n}$ egyenlőség. • Ha $\di A=\lim_{n\to\infty} a_{n}$ és $C\in\mc{L}(\Hi)$, akkor $\di AC=\lim_{n\to\infty} a_{n}C$ és $\di CA=\lim_{n\to\infty} Ca_{n}$. • Ha $\di A=\slim_{n\to\infty} a_{n}$ és $C\in\mc{L}(\Hi)$, akkor $\di AC=\slim_{n\to\infty} a_{n}C$ és $\di CA=\slim_{n\to\infty} Ca_{n}$. • Ha $\di A=\wlim_{n\to\infty} a_{n}$ és $C\in\mc{L}(\Hi)$, akkor $\di AC=\wlim_{n\to\infty} a_{n}C$ és $\di CA=\wlim_{n\to\infty} Ca_{n}$. • Az operátornomra folytonos $\tau_{n}$ szerint, de nem folytonos a $\tau_{s}$ és a $\tau_{w}$ topológia szerint. • Az adjungálás $\tau_{n}-\tau_{n}$ és $\tau_{w}-\tau_{w}$ folytonos, de nem $\tau_{s}-\tau_{s}$ folytonos. Legyen $(A_{n})_{n\in\N}$ az $\mc{L}(\Hi)$ térben haladó erősen konvergens sorozat és legyen $\di\slim_{n\to\infty}A_{n}=A$. Ekkor $A\in\mc{L}(\Hi)$. Definíció. Rendezés a korlátos önadjungált operátorok halmazán. Pozitív operátorok. Tétel. Ha $A\in\mc{L}(\Hi)$ pozitív, akkor minden $x,y\in\Hi$ esetén $\di\abs{\scal{y,Ax}}^{2}\leq\scal{y,Ay}\scal{x,Ax}$ és $\norm{Ax}^{2}\leq\norm{A}\scal{x,Ax}$. Legyen $A\in\mc{L}(\Hi)$ önadjungál operátor, $\di m=\inf_{\norm{x}=1}\scal{Ax,x}$ és $\di M=\sup_{\norm{x}=1}\scal{Ax,x}$. Ekkor $\Sp A\subseteq\sz{m,M}$, valamint $m,M\in\Sp A$. Legyen $T$ és minden $n\in\N$ esetén $S_{n}$ folytonos önadjungált operátor a $\Hi$ Hilbert-téren., Ha minden $n\in\N$ esetén $S_{n}\leq S_{n+1}\leq T$, akkor létezik a $\di\slim_{n\to\infty} S_{n}=S$ határérték, valamint $S$ folytonos önadjungált operátor és $S\leq T$. Ha $S\in\mc{L}(\Hi)$ pozitív önadjungált operátor, akkor létezik egyetlen $\sqrt{S}$ pozitív önadjungált operátor, melyre $\gz{\sqrt{S}}^{2}=S$ teljesül. Továbbá, ha valamilyen $T\in\mc{L}(\Hi)$ operátorra $\sz{T,S}=0$ teljesül, akkor $\sz{T,\sqrt{S}}=0$. Definíció. Folytonos lineáris $A$ operátorra $\abs{A}$ értelmezése. Tétel. Ha $A\in\mc{L}(\Hi)$, akkor van olyan $V$ izometrikus operátor, hogy $A=V\abs{A}$. Továbbá, ha $A=WS$, ahol $S$ folytonos pozitív önadjungált operátor és $W$ izometrikus, akkor $S=\abs{A}$ és $V\vert_{\overline{\Ran{\abs{A}}}}=W\vert_{\overline{\Ran{\abs{A}}}}$. | ||
| 10. hét |
Tétel.
Legyen $S,T\in\mc{L}(\Hi)$ olyan önadjungált operátor, hogy $\sz{S,T}=0$ és $S^{2}=T^{2}$, valamint jelölje
$P$ a $\ker(S − T)$ altérre való projekciót. Ekkor az alábbiak teljesülnek. • Minden $A\in\mc{L}(\Hi)$ esetén, ha $\sz{S-T,A}=0$, akkor $\sz{P,A}=0$. • $\ker S\subseteq\ker P$, $P(S+T)=S+T$, $P(S−T)=0$ Legyen $S\in\mc{L}(\Hi)$ önadjungált operátor, valamint jelölje $E_{+}$ a $\ker(S−\abs{S})$ altérre való projekciót. Ekkor az alábbiak teljesülnek. • Minden $A\in\mc{L}(\Hi)$ esetén, ha $\sz{S,A}=0$, akkor $\sz{E_{+},A}=0$. • $0\leq SE_{+}$, $S(I-E_{+}S)\leq 0$, $\ker A\subseteq\ker E_{+}$ Definíció. Folytonos önadjungált operátor pozitív és negatív része. Az $\sz{a,b}\subseteq\R$ intervallum $\Pi$ partíciója, a partíció mérete ($\abs{\Pi}$). Az $\varphi:\sz{a,b}\to\K$ függvény totális variációja ($V_{\sz{a,b}}(\varphi)$). Korlátos változású függvények tere $\mf{B}(\sz{a,b},\K)$. Balról, illetve jobbról folytonos $f:\R\vto\R$ függvény. Az $\sz{a,b}$ intervallum $\Pi$ partciójához tartozó $\mu$ ponthalmaz, illetve a hozzájuk tartozó $S_{\Pi,\mu}$ közlítő összeg. Tétel. Ha $\varphi\in\mf{B}(\sz{a,b},\K)$ és $c\in\left]a,b\right[$, akkor $V_{\sz{a,b}}(\varphi)=V_{\sz{a,c}}(\varphi)+V_{\sz{c,b}}(\varphi)$. Ha $\varphi\in\mf{B}(\sz{a,b},\R)$ és $\varphi$ balról folytonos a $c\in\left]a,b\right[$ pontban, akkor a $\sz{a,b}\to\R$, $x\mapsto V_{\sz{a,x}}(\varphi)$ függvény is balról folytonos a $c$ pontban. Legyen $f\in C(\sz{a,b},\R)$ és $\varphi\in\mf{B}(\sz{a,b},\R)$. Ekkor létezik egy egyértelműen meghatározott $I\in\R$ szám, hogy minden $\varepsilon\in\R$ számhoz létezik $\delta>0$, hogy az $\sz{a,b}$ intervallum minden $\Pi$ partíciójára, ha $\abs{\Pi}<\delta$, akkor minden hozzá tartozó $\mu$ ponthalmaz esetén $\abs{S_{\Pi,\mu}-I}<\varepsilon$. Definíció. Folytonos függvény korlátos változású függvény szerinti Riemann–Stieltjes-integrálja ($\di\int_{a}^{b}f\dint\varphi$). Tétel. Legyen $f,g\in C(\sz{a,b},\R)$, $c\in\left]a,b\right[$, $\varphi,\psi\in\mf{B}(\sz{a,b},\R)$ és $\lambda\in\R$. Ekkor az alábbiak teljesülnek. • $\di\int_{a}^{b}f\dint\varphi=\int_{a}^{c}f\dint\varphi+\int_{c}^{b}f\dint\varphi$ • $\di\int_{a}^{b}\lambda f\dint\varphi=\lambda\int_{a}^{b}f\dint\varphi$ • $\di\int_{a}^{b}f+g\dint\varphi=\int_{a}^{b}f\dint\varphi+\int_{a}^{b}g\dint\varphi$ • $\di\int_{a}^{b}f\dint(\varphi+\psi)=\int_{a}^{b}f\dint\varphi+\int_{a}^{b}f\dint\psi$ • $\di\abs{\int_{a}^{b}f\dint\varphi}\leq\norm{f}V_{\sz{a,b}}(\varphi)$ Ha $\varphi\in\mf{B}(\sz{a,b}\to\R)$ és $(f_{n})_{n\in\N}$ a $C(\sz{a,b},\R)$ halmazban haladó egyenletesen konvergens függvénysorozat, akkor $$\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\dint\varphi=\int_{a}^{b}\lim_{n\to\infty}f_{n}\dint\varphi.$$ Ha $\varphi\in\mf{B}(\sz{a,b}\to\R)$ balról folytonos és minden $f\in C(\sz{a,b},\R)$ esetén $\di\int_{a}^{b}f\dint\varphi=0$, akkor minden $x\in\sz{a,b}$ esetén $\varphi(x)=\varphi(a)$. Definíció. Természetes rendezés $\preceq$ az $\mA$ *-algebra projektorainak a halmazán ($P(\mA)$). Elemek szuprémuma ($\di\bigvee_{i\in I}a_{i}$) és infimuma ($\di\bigwedge_{i\in I}a_{i}$). Tétel. Ha $\mA$ *-algebra, akkor $\preceq$ rendezés a $P(\mA)$ halmazon. Ha $\mA$ *-algebra, $e,f\in P(\mA)$, akkor $e\preceq f\ \Leftrightarrow\ f-e\in P(\mA)$. Van olyan $\mA$ *-algebra, ahol az önadjungált elemeken bevezetett $\leq$ reláció nem antiszimmetrikus. Ha $\mA$ C*-algebra, akkor $\leq\vert_{P(\mA)}=\preceq$. Definíció. Adott halmaz feletti halmazgyűrű, $\sigma$-gyűrű és $\sigma$-algebra. Projektor értékű additív halmazfüggvény. Tétel. Ha $\mc{R}$ halmazgyűrű, $\mA$ *-algebra és $p:\mc{R}\to P(\mA)$ additív halmazfüggvény, akkor az alábbiak teljesülnek. • Ha $E,F\in\mc{R}$ és $E\subseteq F$, akkor $p(E)\preceq p(F)$. • Minden $E,F\in\mc{R}$ halmazra $p(E\cap F)=p(E)p(F)=p(E)\land P(F)$. • A $\Ran P$ kommutatív halmaz. • Minden $E,F\in\mc{R}$ halmazra $p(E\cup F)=p(E)+p(F)-p(E\cap F)=p(E)\lor P(F)$. Definíció. Korlátos, relatív korlátos és korlátos változású additív halmazfüggvény. Spektrális család és $ m < M $ korlátokkal rendelkező $E:\R\to\mc{L}(\Hi)$ spektrális család. Tétel. Legyen $f\in C(\sz{a,b},\C)$, $E:\R\to\mc{L}(\Hi)$ spektrális család, $r\in\left]0,1\right[$ és $\tilde{f}:\sz{a,b+r}\to\C$ folytonos kiterjesztése az $f$ függvénynek. Ekkor létezik egy egyértelműen meghatározott $A\in\mc{L}(\Hi)$ operátor, hogy minden $\varepsilon\in\R$ számhoz létezik $\delta>0$, hogy az $\sz{a,b+r}$ intervallum minden $\Pi$ partíciójára, ha $\abs{\Pi}<\delta$, akkor minden hozzá tartozó $\mu$ ponthalmaz esetén $\abs{S_{\Pi,\mu}-A}<\varepsilon$. Továbbá az $A$ operátor független az $r$ paramétertől. Definíció. Folytonos függvény korlátos változású függvény szerinti Riemann–Stieltjes-integrálja ($\di\int_{a}^{b}f\dint\varphi$). Definíció. Adott $m,M\in\R$, $ m < M $ korlátokkal rendelkező $E:\R\to\mc{L}(\Hi)$ spektrális család és $f\in C(\sz{m,M},\C)$ függvény esetén az $f$ függvény $(E_{\lambda})_{\lambda\in\R}$ spektrális család szerinti integrálja ($\di\int_{m}^{M+\varepsilon}f(\lambda)\dint E_{\lambda}$ vagy $\di\int_{m}^{M+\varepsilon}f\dint E$). Spektráltétel 1. Legyen $A\in\mc{L}(\Hi)$ önadjungált operátor, $\di m=\inf_{\norm{x}=1}\scal{Ax,x}$ és $\di M=\sup_{\norm{x}=1}\scal{Ax,x}$. Ekkor létezik az $m,M$ korlátokkal rendelkező $E:\R\to\mc{L}(\Hi)$ spektrális család az alábbi tulajdonságokkal. • Ha az $S\in\mc{L}(\Hi)$ operátorra $\sz{S,A}=0$ teljesül, akkor minden $\lambda\in\R$ esetén $\sz{S,E_{\lambda}}=0$. • Minden $x\in\Hi$ és $\mu\in\R$ esetén létezik a $\di \lim_{\lambda\to\mu+0}E_{\lambda}x=E_{\mu+0}x$ határérték. • $\di S=\int_{m}^{M+\varepsilon}\lambda\dint E_{\lambda}$ Definíció. Folytonos lineáris önadjungált operátor spektrálfelbontása. |
Szabadon letölthető anyagok a témában: