Előadások: Hétfő 10:15-11:45, T605.
Fogadóóra: Hétfő 14:00-15:00, H503a, illetve emailes megbeszélés alapján.
Email: keresztnevem kukac math pötty bme pötty hu.
Feb 11: Csatolások. Nagyeltérés korlát aszimmetrikus bolyongásra Z-n. Véges Markov láncok stacionárius eloszláshoz tartása, kvantitatívan, feltéve, hogy létezik m, hogy p_m(x,y)>\eps minden x,y csúcspárra.
Feb 18: Pólya tétel (1920): Z^2 rekurrens, Z^3 tranziens, n^{-d/2} hőmag-lecsengés (Stirling formula és nagyeltérés lemma segítségével). \sqrt{n} távolodási sebesség. Tranzitív gráfok és végesen generált csoportok Cayley gráfjai.
Feb 25: T_d reguláris fán \lim_{n\to\infty} p_n(o,o)^{1/n}=\rho_d spektrálsugár kiszámolása Green generátor-fgv segítségével. Martingálok és diszkrét harmonikus függvények. Liouville tulajdonság megléte rekurrens gráfokon, illetve nemmegléte reguláris fákon.
Márc 4: Liouville tulajdonság megléte Z^d-n (Blackwell '55) és alacsony dimenziós lámpagyújtogató csoportok Cayley-gráfján, csatolással, illetve nemmegléte magasabb dimenziós lámpagyújtogató csoportokon. Aszimptotikus sebesség létezése tranzitív gráfokon Fekete-lemmából. A nulla sebesség és a Liouville tulajdonság ekvivalenciájának kimondása (Kaimanovich-Vershik '83). A bolyongó legvalószínűbb helye a kiindulópont egy Cauchy-Schwarz miatt, és így az exponenciálisan pici visszatérési valszín implikálja a pozitív sebességet. A lámpagyújtogató gráfok exponenciális térfogatnövekedésűek, de Folner-amenábilisok. Nemamenabilitás és exponenciálisan pici visszatérési valszín ekvivalenciájának kimondása (Kesten '59, Cheeger '70, Dodziuk '84, Mohar '88).
Márc 11: Spektrálsugár-tétel és Kesten tétel nem-bizonyítása, majdnem-invariáns halmazok fogalma. Kváziizometriák, amenabilitás kváziizometria-invarianciája, sejtés a pozitív sebesség invarianciájára. Ami a visszatérési valszín és a spektrálsugár a végtelen gráfokon, az a keverési idő és a spektrálrés a végeseken. Teljes variancia távolság, L^1-távolság, csatolási távolság. Hiperkockán teljes variancia keverés csatolással: kupongyűjtés.
Márc 18: Alon-Milman tétel kimondása: spektrálrés és Cheeger-konstans. Nagy spektrálrésből következik gyors L^\infty-keverés. Hiperkocka spektruma. Expander gráfok definíciója.
Márc 25: Sejtés: nincs végtelen expander. Expanderek konstrukciója egy véletlen gráfmodellel. Erdős-Rényi gráfmodell (1960), standard csatolás, fázisátmenetek, első és második momentum módszer a háromszög-tartalmazásra.
Ápr 1: Húsvét.
Ápr 8: GW kritikussága explorációs bolyongás rekurranciájával. Óriás komponensek létének összehasonlítása Galton-Watson fák kihalásával. Kritikus Erdős-Rényi fürtök: n^{2/3} méret.
Ápr 15: Bollobás-Thomason (1987) tétel kimondása, Russo formula, éles és tompa átcsapások. GW kritikussága martingálokkal. Barabási-Albert véletlen gráfmodellek.
Ápr 22: Perkoláció végtelen gráfokon, Harris-FKG egyenlőtlenség. Benjamini-Schramm (1996) sejtések, Benjamini-Lyons-Peres-Schramm (1999) tétel kimondása: nemamenábilis csoportokon kritikus perkoláció kihal. 1/3 \leq p_c(\Z^2) \leq 2/3. Öndualitás, Russo-Seymour-Welsh becslések és konforminvarianca kimondása.
Ápr 29: Yu Zhang bizonyítása p_c(\Z^2) \geq 1/2-re, föltéve a végtelen fürt unicitását (Burton-Keane tétel). Ising és Potts(q) modellek. Gibbs mértékek, fázisátmenetek.
Máj 6: Ising és Potts(q) modellek, Fortuin-Kasteleyn random cluster modellek, Edwards-Sokal csatolás, Glauber dinamikák, FKG egyenlőtlenség dinamikus csatolásos bizonyítása. sztochasztikus dominancia. FK modell végtelen fürtje adja a Potts modell fázisátmenetét.
Máj 13: Néhány modell bizonyítások nélkül: Heisenberg O(n) modell, Vicsek-féle madárvonulás, homokszemmodellek, TASEP kizárásos folyamat, véletlen mátrixok sajátértékei.
Geoffrey Grimmett. Probability on graphs. Cambridge University Press, 2010. http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/pgs.html.
Remco van der Hofstad. Random graphs and complex networks. Book in preparation, http://www.win.tue.nl/~rhofstad/NotesRGCN.pdf
David Levin, Yuval Peres, Elizabeth Wilmer. Markov chains and mixing times. American Mathematical Society, 2008. http://pages.uoregon.edu/dlevin/MARKOV/.
Russ Lyons with Yuval Peres. Probability on trees and networks. Book in preparation, to appear at Cambridge University Press. http://mypage.iu.edu/%7Erdlyons/prbtree/prbtree.html
Gábor Pete. Probability and geometry on groups. Book in preparation. PGG.pdf