GEOMETRIA II TEMATIKA
(matematikus hallgatóknak 2022 május)

Az abszolút és axiomatikus geometria:

-Axiomatika, az euklideszi geometria axióma rendszerének áttekintése.

-Abszolút lemmák, Legendre tételei.

Hiperbolikus síkgeometria, modellek:

-Egyenesek sugársorai, ciklusok, a hiperbolikus párhuzamosság, a párhuzamossági axióma átfogalmazásai.
-Hiperbolikus síkgeometria modelljei. (Cayley-Klein modell, Poincare körmodell)

-Poincare féltér modell és a hiperbolikus egyenesek kölcsönös helyzete a hiperbolikus térben. ( Segédlet a kitérő egyenesekhez. )
A 3-dimenziós (abszolút) tér:
-Szintetikus felépítés. (Térelemek kölcsönös helyzete, merőlegesség, távolságok-hajlásszögek. Hiperbolikus geometriában is!)
-Egybevágóságok mint kollineációk. Tükrözések, mint az egybevágóság csoport generátorai. Abszolút alaptételek. Az egybevágóságok típusai.
Transzformációk analitikus kezelése:

-Kollineációk analitikus kezelése. (Tükrözések, vetítések, vektoriális szorzás fix vektorral, forgatás egyenes körül.)
-Homogén koordináták, a geometriai transzformációk egyöntetű kezelése. Affinitások, hasonlóságok, egybevágóságok analitikus alakja.

-Inverzió és sztereografikus projekció.

Másodrendű görbék, kúpszeletek:

-Térbeli definíció, Dandelin tételei, síkbeli definíciók, fokális alapábrák.

-Az ellipszis, mint kör affin képe, Rytz szerkesztés.

-Parabola metrikus tulajdonságai, szerkesztés két érintőből és a rajtuk levő érintési pontokból. -Hiperbola aszimptotái. Adott ponton átmenő és adott iránnyal párhuzamos érintő.

-Kúpszeletek és egyenes metszéspontjai.

-Másodrendű felületek osztályozása az n-dimenziós térben, másodrendű görbék típusai. (Segédlet az osztályozáshoz. )

Konvex poliéderek:
-Poliéder definiálása az n-dimenziós térben (affin alterek, konvexitás, standard testek (szimplex, kocka, keresztpolitóp).
-Szabályos poliéderek. (Konvex poliéder fogalma, az öt típus realizálása a 3-dimenziós térben.)

-Az n-dimenziós szabályos poliéderek osztályozása. (Egy négydimenziós nem triviális példa szabályos testre.)

Ajánlott irodalom:

Reimann István: A geometria és határterületei.

G. Horváth Ákos: Csodálatos geometria

G.Horváth Ákos