2. félév: 4/2/0/v/6
2005-02-10
Tárgyfelelős: Rónyai Lajos
A tárgy képzési célja
A tárgy tematikájában szereplő három nagy matematikai témakör oktatása a közös célokon, nevezetesen az absztrakt matematikai gondolkodásmód fejlesztésén és a szaktárgyakhoz szükséges matematikai alapok elsajátításához való hozzájáruláson kívül, lehetőséget teremt bizonyos speciális képzési célok megvalósítására is.
(a) A lineáris algebra, mint a matematikai törzsanyagban (A1-A4) szereplő egyetlen algebrai tárgy oktatása betekintést enged az algebra speciális módszereinek világába és lehetővé teszi sajátos szemléletmódjának ismertetését, egyszersmind bemutatja a matematikában oly fontos axiomatikus módszer elemeit is. Másrészt keretéül szolgál az analízisben tanult fogalmak általánosításának, ezen keresztül a matematikai fogalmak genezisének megértését segíti. Túl tehát azon, hogy a tárgy anyagának elsajátítása során a hallgatók megismerik a lineáris algebra alapfogalmait és gyakorlati szempontból is fontos eljárásait (pl. lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrix invertálása), a tárgy fejleszteni hivatott általánosítási képességüket is, azt, hogy több látszólag különböző dologban a közöset megtalálják.
(b) A végtelen sorok elmélete - amellett, hogy az infinitezimális kalkulus fontos alapfogalmainak elmélyítését szolgálja - összekapcsolja a matematikai elmélet mély precíz fogalmait a numerikus számítások gyakorlatával, megadva ez utóbbiak elméleti megalapozását. Másrészt, a gyakorlati számítási eljárások elvi alapjainak tisztázása hozzájárul az absztrakt elméleti fogalmak jobb megértéséhez. Ebből adódóan a képzési cél a hallgatók azon képességének fejlesztése, mely lehetővé teszi, hogy az analízis elméleti eredményeit konkrét numerikus vizsgálatokban alkalmazzák.
(c) A többváltozós függvények elméletének elsajátítása azt a speciális célt szolgálja, hogy a hallgatók konkrét matematikai objektumok tanulmányozása során, általánosabb szinten összekapcsolva az egyváltozós analízis eredményeit a lineáris algebrában tanultakkal, lássák azt, hogyan hozható létre látszólag messze eső matematikai diszciplínákból egy új általánosabb elmélet és ezen keresztül hogyan szintetizálhatóak egyes speciális elméletek az alkotó elemek megértését mélyebben magyarázó átfogó elméleti keretbe. A tárgy elsajátítása elősegíti a hallgatók azon képességeinek fejlesztését, hogy bizonyos matematikai jelenségeket egyszerre több - egymástól sokszor radikálisan eltérő - szempont szerint vizsgáljanak.
A tárgy tematikája
Együttható- és kibővített mátrix. Elemi sorműveletek. Gauss-Jordan és Gauss-kiküszöbölés. Az általános megoldás, mint az oszlopvektorok lineáris kombinációja. Lineáris egyenletrendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása. A megoldáshalmaz geometriai szemléltetése. Homogén lineáris egyenletrendszer. Kerekítési hibák.
Alkalmazások: Lineáris egyenletrendszerek a globális helymeghatározásban (GPRS), Kirchoff-törvények, hálózatok analízise, polinom-interpoláció.
Speciális mátrixok, sor- és oszlopvektorok. Mátrixműveletek és tulajdonságaik. A mátrixszorzás, mint lineáris kombináció. Transzponált, nyom. Mátrix rangja. Mátrix inverze és ennek meghatározása. Egyenletrendszer megoldása mátrixinvertálással. Az egyenletek számának szerepe.
Determináns. Kifejtés 2×2-es és 3×3-as esetben. A determináns geometriai jelentése. Speciális alakú determinánsok értéke. A determináns kifejtése. Determinánsok tulajdonságai. Determináns kiszámítása Gauss-kiküszöböléssel. Formula mátrix inverzére. Cramer-szabály. Polinom-interpoláció és Vandermonde-determináns.
Lineáris tér axiómái és geometriai jelentesük. Mátrixterek, függvényterek. Lineáris függetlenség, altér, kifeszített altér, generátorrendszer, bázis. Báziscsere, az áttérés mátrixa. Nem véges dimenziós lineáris tér létezése. Euklideszi terek. Metrikus és normált tér. Normált tér szerkezete és geometriája. Ortogonális és ortonormált bázis. Cauchy-Bunyakovszkij egyenlőtlenség, Pithagorász-tétel.
Alkalmazások: Normák és approximációk, legjobb közelítés. Görbe illesztése mért adatokra. Legkisebb négyzetek módszere.
Lineáris operátor és transzformáció definíciója. Operátor mátrixa. Geometriai transzformációk (forgatás, tükrözés, vetítés) és mátrixuk. Limes, deriválás, integrálás, mint lineáris operátorok. Magtér, képtér. Dimenziótétel. Inverz. Mátrixtranszformáció. Lineáris transzformáció és lineáris egyenletrendszer kapcsolata. Sajátérték, sajátvektor. Speciális mátrixok sajátértékei és sajátvektorai. Hasonlóság. Diagonalizálhatóság. Jordan-alak és Gram-Schmidt ortogonalizáció.
Alkalmazások: 3-dimenziós grafika. Komputer grafika. Lineáris differenciálegyenletek elméletének alapjai. Kvadratikus alakok, kúpszeletek osztályozása.
Konvergencia, divergencia, maradéktag, abszolút- és feltételes konvergencia. Összefésülés. Konvergenciakritériumok. Speciális sorok. Zárójelezés, zárójelfelbontás. Sorok átrendezése, Riemann tétel. Hibabecslés Leibniz-sorok esetén.
Alkalmazások: Elemi függvények értékeinek kiszámítása, becslése.
Pontonkénti és egyenletes konvergencia. (Egyenletes) konvergenciatartomány és meghatározása. Az egyenletesen konvergens sorozatok és sorok alapvető tulajdonságainak invarianciája a limesre ill. a sorösszegzésre. Kritériumok egyenletes és nem egyenletes konvergenciára.
Konvergenciaintervallum. Taylor-sorok. Sorfejtés fogalma. Formális Taylor-sor. Hatványsor és Taylor-sor. Taylor polinom, Lagrange maradéktag. Függvény és Taylor-sora: formális Taylor-sor konvergenciája, függvény előállítása Taylor-sorával. Taylor-sor egyértelműsége. Elemi függvények Taylor-sora. Taylor-sorfejtés technikája.
Alkalmazások: Taylor-sor a közelítő számításokban. Az elemi függvények értékeinek kiszámítása és fontos matematikai állandók numerikus értékeinek meghatározása, a zsebszámológépek működése. Integrálás, határértékszámítás, differenciálegyenletek közelítő megoldása sorfejtéssel.
Trigonometrikus és Fourier-sor fogalma. Elégséges feltétel arra, hogy Fourier-sora előállítsa a függvényt. Páros és páratlan függvény Fourier-sora. Sorfejtés technikája. Fourier-sor n-edik szelete, mint a négyzetesen legjobban közelítő trigonometrikus polinom. Nevezetes numerikus sorok összegének kiszámítása.
Alkalmazások: Periódikus mozgások vizsgálata. Tranziensek és felharmónikusok. Hangtani alkalmazások: hang felbontása, szintetizálása.
Távolság, környezet, nyílt halmaz, zárt halmaz, korlátos halmaz, összefüggő halmaz. Konvergencia. Koordinátánkénti konvergencia. Bolzano-Weierstrass tétel több dimenzióban. Vektorfüggvények és megadásuk. Többváltozós függvény fogalma és szemléltetése. Többváltozós függvények és vektorfüggvények határértéke és folytonossága.
Alkalmazások: Skalár-vektor függvény (pl. hőmérséklet), vektor-skalár függvény (pl. mozgás pályája idő függvényeként), vektor-vektor függvény (pl. erőtér, folyadék, gáz áramlási sebessége a tér pontjaiban, geometriai transzformációk).
Vektorfüggvények differenciálhatósága. Speciális esetek: gradiens, deriváltvektor. A Jacobi mátrix, Jacobi determináns. Többváltozós függvények deriválása. Gradiens és parciális deriváltak kapcsolata. Geometriai szemléltetés. Szintfelületek. Másodrendű felületek szemléltetése szintvonalaikkal. Folytonos deriválhatóság. Láncszabály, középértéktétel, Young tétel. Differenciál, függvény lineáris közelítése. Függvény közelítése adott rendben. Iránymenti derivált fogalma, kiszámítása, a parciális deriváltakkal és a gradienssel való kapcsolata, geometriai jelentése. Lokális és tartományi szélsőérték. Létezésükre vonatkozó szükséges, illetve elégséges feltételek. Nyeregpont. Inverz függvény és implicit függvény tétel.
Alkalmazások: A természet- és humán tudományok által vizsgált mennyiségek vizsgálata a deriváltak segítségével. Ekvipotenciális felületek. Optimumszámítási modellek.
Jordan mérhetőség és terület, tulajdonságaik. Területi és térfogati integrál. Integrálhatóság elégséges feltételei. Kettős és hármas integrál kiszámítása: kétszeres és háromszoros integrál. Integrálási sorrend megváltoztatása. Integráltranszformáció. Fontosabb transzformációk: polárkoordinátákra való áttérés. Jacobi-determináns.
Alkalmazások: Alakzatok területének, testek térfogatának kiszámítása. Tömeg kiszámítása nem egyenletes anyagsűrűség esetén. Nyomaték, tömegközéppont, súlypont.
Tantárgyfelelős: Dr. Rónyi Lajos egyetemi tanár
Ügyintézők: Dr. Horváth Erzsébet egyetemi docens és Dr. Wettl Ferenc egyetemi docens
A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: Az egyváltozós valós függvények, integrál- és differenciálszámítás elemei, 2- és 3-dimenziós vektoralgebra.
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: Az új képzések jegyzetei, példatárai előkészületben vannak. További irodalom: Babcsányi – Gyurmánczy – Wettl – Zibolen: Matematikai feladatgyűjtemény II., Műegyetemi Kiadó 1998. Horváth Erzsébet: Lineáris algebra, Műegyetemi Kiadó 1998. Howard A. Anton, Robert C. Busby: Contemporary Linear Algebra, Wiley, 2003.