B1        RÉSZLETES MATEMATIKA TEMATIKA

Villamosmérnök hallgatók részére

Bevezetés

Axióma, definíció, tétel fogalma.

Tételek állításának feltételei: szükséges; szükséges és elégséges; elégséges feltételek.

Néhány bizonyítási módszer (indirekt, indukció).

Binomiális tétel.

Valós számok

Valós számok axiómarendszere.

Egyenlőtlenségek. (Bernoulli-, számtani-mértani-harmonikus közép).

Vektoralgebra

Sík- és térvektorok, vektorműveletek, koordináta-mentes és koordinátás értelmezés.

Műveleti tulajdonságok. Analitikus geometriai alapfeladatok.

Komplex algebra

Komplex számok értelmezése ; szemléltetése.

Algebrai, trigonometrikus, exponenciális alak.

Műveletek komplex számokkal. (Összeadás, kivonás, szorzás, osztás, komplex konjugálás, hatványozás, gyökvonás és tulajdonságaik).

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmaz, halmaz eleme, univerzális halmaz, üres halmaz, részhalmaz, hatványhalmaz értelmezése, jelölése.

Halmazalgebrai műveletek: AČB; AÇB; ; A\ B; ADB jelentése, szemléltetése  Venn-diagrammal.

Alapvető halmazalgebrai összefüggések és azok duálisai (DeMorgan azonosságok, elnyelési tételek).

Halmazok direkt szorzata. 

Korlátos számhalmazok maximuma, minimuma; suprémuma, infimuma.

Valós számsorozatok

Valós számsorozat definíciója, jelölése, megadási módjai.

Részsorozat, monoton sorozat, korlátos sorozat értelmezése és tulajdonságai.

Számsorozat határértéke; határérték *s műveletek felcser*lhet*s*ge.

Konvergens, divergens sorozatok. Konvergencia-kritériumok.

(Szükséges; szükséges és elégséges; elégséges feltétel).

Konvergencia-vizsgálatot könnyítő néhány tétel. (Rendőrelv; Stolz-tétel stb.)

Néhány nevezetes határérték.

(lim an; ; ; ;  ; ).

Számsorozat sűrűsödési értékei; sűrűsödési értékeinek halmaza és annak tulajdonságai.

(sup an, inf an; lim an; lim sup an; lim inf an)

Valós számsorok

Valós számsor definíciója, megadási módjai.

Részletösszeg; részletösszeg-sorozat határértéke; sorösszeg. Feltételes és abszolút konvergencia. Divergens sorok.

Általános sorok konvergencia kritériumai (szükséges; szükséges és elégséges; elégséges).

Pozitív tagú sorok és konvergencia-kritériumaik. (majoráns, minoráns; hányados-; gyök-kritérium).

Váltakozó előjelű sorok és konvergenciájuk elégséges feltétele: Leibniz-tétel.

Konvergens sorok összegének meghatározása. Hibabecslés.

Sorok műveleti tulajdonságai (tagok sorrendjének megváltoztatása; zárójel-elhagyás, berakás. Riemann-féle átrendezési tétel feltételesen konvergens sorokra).

Algebrai műveletek sorokkal. (Összeadás, kivonás, számmal szorzás, két sor szorzása: négyzetes és Cauchy-szorzás).

Egyváltozós valós függvények

Valós számhalmazon értelmezett való értékű függvények értelmezése, szemléltetése; műveletek függvények körében (algebrai műveletek; összetett függvény, inverz függvény).  Függvények néhány globális tulajdonsága (korlátosság, monotonitás, periodikusság, páros-páratlanság, konvexitás-konkávitás).

Határérték 

Egyváltozós valós függvény határértéke a végesben és a végtelenben. Jobb- és baloldali határérték. Műveletek határértékkel (algebrai műveletek, összetett függvény határértéke).

Néhány nevezetes függvény határérték

Pontbeli folytonosság; intervallumbeli folytonosság és egyenletes folytonosság értelmezése.

Jobb- és bal-oldali folytonosság.

Műveletek folytonos függvényekkel (algebrai műveletek; összetett és inverz-függvény folytonossága). Korlátos, zárt intervallumban folytonos függvények néhány tulajdonsága.

(Weierstrass I. és II.; Bolzano-tétel; Heine-tétel)

Szakadási hely értelmezése, osztályozása (megszüntethető szakadási hely, ugráshely, másodfajú szakadás).

Differenciálszámítás

Differenciálhatóság fogalma: pontban, intervallumban.

Jobb- és baloldali differenciálhatóság; végtelen differenciálhányados értelmezése; differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata.

Differenciál fogalma.

Differenciálási szabályok.

 

Differenciálszámítás középértéktételei (Rolle, Lagrange, Cauchy középértéktétel; Darboux-tétel).

Deriváltfüggvény és tulajdonságai. Magasabbrendű deriváltak értelmezése, szabályai;

Elemi függvények és inverzeik értelmezése, fontosabb tulajdonságai és differenciálása

(hatványfüggvény, gyökfüggvény; exponenciális függvény, logaritmusfüggvény;  trigonometrikus függvények, arcus függvények; hiperbolikus függvények, area függvények).

Differenciálszámítás néhány alkalmazása.

Határérték meghatározás differenciálható függvények esetén: L˘Hospitál-tétel.

Aszimptota egyenes a

Lokális és globális függvényvizsgálat differenciálható függvények esetén (növekedés-csökkenés; konvexitás-konkávitás; inflexió; lokális és abszolút szélsőérték).

Paraméter és polárkoordináta

Síkgörbék paraméteres és polárkoordinátás megadása.

Paraméteresen és polárkoordinátásan adott görbék érintő egyenesének egyenlete.

Integrálszámítás

Primitív függvény és határozatlan integrál fogalma és fontosabb tulajdonságai Primitív függvény keresés néhány egyszerű módja.

Alapintegrálok;

Határozott integrál

Alapfogalmak. (Felosztás és annak finomítása; alsó, felső közelítő összeg, oszcillációs összeg; integrálközelítő-összeg és azok tulajdonságai).

Határozott integrál definíciója (alsó, felső közelítő összeggel) .

Létezésének szükséges és elégséges feltétele.

(Oszcillációs összeggel, integrálközelítő összeggel).

Létezésének elégséges feltételei.

Integrál mint az integrálközelítő összegek határértéke.

Határozott integrál kiszámítása; Newton-Leibniz tétel.

Határozott integrál néhány tulajdonsága.

Határozott integrál középértéktételei.

Az integrálfüggvény fogalma, folytonossága, differenciálhatósága.

Integrálfüggvény és primitív függvény kapcsolata.

Improprius integrálok értelmezése.

Abszolút és feltételes konvergenciája.

Improprius integrálokra vonatkozó Cauchy-kritérium, majoráns és minoráns kritérium.

Az integrálási szabályok általánosítása improprius integrálokra.

Integrálási módszerek

Trigonometrikus függvények szorzatának integrálása.

Parciális integrálás.

Teljes négyzetté való kiegészítéssel alapintegrálokra való visszavezetés.

Racionális törtfüggvények integrálása.

Helyettesítéses integrálok.

Integrálszámítás geometriai alkalmazásai. Jordan-féle terület és térfogat értelmezése.

Görbe alatti, görbék közti, ill. szektorterület.

Forgástest térfogata. Ívhossz értelmezése és meghatározása.