VIZSGATÉTELEK



 1. Direkt szorzat, szemidirekt szorzat, direkt szorzat részcsoportjai.

 2. Schur--Zassenhaus-tétel.

 3. Szimmetrikus csoportok, A_n egyszerűsége.

 4. Permutációcsoportok, orbit, stabilizátor, fixpontok, 
    permutációreprezentációk. 

 5. A permutációcsoportok két alkalmazása: a Cauchy-tétel bizonyítása;
    minden 4k+1 alakú prímszám előáll két négyzetszám összegeként.

 6. Kommutátor-részcsoportok, feloldható csoportok, Hall-részcsoportok.

 7. p-csoportok és nilpotens csoportok.

 8. Lineáris csoportok, csoportreprezentációk.

 9. Csoportalgebra, a Maschke-tétel és következményei.

10. Karakterek, karaktertábla, ortogonalitási relációk.

11. Csoporttulajdonságok megjelenése a karaktertáblán, faktorcsoport
    karaktertáblája, Abel-csoportok irreducibilis karakterei.

12. Egy reprezentációelméleti alkalmazás: kártyakeverés.




























\end
\feladat{1}
{Jelölje $A_1,\ldots,A_6$ az $O$ középpontú szabályos hatszög
csúcsait. Fejezzük ki az alábbi vektorokat az $\b a=\vect{A_1A_2}$ és
a $\b b=\vect{A_2A_3}$ vektorok segítségével:
$$\vect{A_2A_1},\ \vect{OA_1},\ \vect{A_3A_4},\ \vect{A_2A_4},\
\vect{A_2A_5},\ \vect{A_3A_5}.$$
}

\feladat{2}
{Tegyük föl, hogy a $C$ pont $m:n$ arányban osztja két részre az $AB$
szakaszt. Jelöljön $O$ egy tetszőleges pontot. Fejezzük ki az
$\vect{OC}$ vektort az $\vect{OA}$ és $\vect{OB}$ vektorok, valamint
$m$ és $n$ segítségével.
}

\feladat{3}
{Mely $\b a$ és $\b b$ vektorokra teljesülnek az alábbi összefüggések?
\itemskip
\item{a)} $\abs{\b a+\b b}=\abs{\b a}+\abs{\b b}$;
\item{b)} $\abs{\b a+\b b}=\abs{\b a}-\abs{\b b}$;
\item{c)} $\abs{\b a-\b b}=\abs{\b a}-\abs{\b b}$;
\item{d)} $\abs{\b a-\b b}=\abs{\b a}+\abs{\b b}$;
\item{e)} $\abs{\b a+\b b}=\abs{\b a-\b b}$;
\item{f)} $\abs{\b a}\b b-\abs{\b b}\b a=\b 0$;
\item{g)} $\abs{\b a}\b b+\abs{\b b}\b a=\b 0$.
}

\feladat{4}
{Jelölje az $ABC$ háromszög $AB$ oldalának felezőpontját $C_1$, az
$AC$ oldalét $B_1$ és a $BC$ oldalét $A_1$. 
\itemskip
\item{a)} Igazoljuk, hogy van olyan háromszög, melynek oldalai rendre 
az $AA_1$, $BB_1$ és $CC_1$ szakaszok.  
\item{b)} Igazoljuk, hogy tetszőleges $O$ pont esetén
$\vect{OA}+\vect{OB}+\vect{OC}=\vect{OA_1}+\vect{OB_1}+\vect{OC_1}$.\par 
}

\feladat{5}
{Legyen $O$ az $A_1,A_2,\ldots, A_n$ csúcspontok által meghatározott
szabályos $n$-szög középpontja. Határozzuk meg az
$\vect{OA_1}+\vect{OA_2}+\cdots+\vect{OA_n}$ vektorösszeget.
}

\feladat{6}
{Legyenek $\b a$ és $\b b$ egymással nem párhuzamos vektorok. Milyen
$\alpha,\beta,\gamma$ és $\delta$ együtthatók esetén lesz $\alpha
\b a+\beta \b b$ párhuzamos a $\gamma \b a+\delta\b b$ vektorral?
}

\feladat{7}
{Igazoljuk, hogy tetszőleges síknégyszög oldalfelezőpontjai
parallelogrammát alkotnak.
} 





\end