Felsőbb Matematika Villamosmérnököknek - Sztochasztika -- 2020 ősz

ÉV VÉGE, JEGYEK SZÁMÍTÁSA:

• A félév nem ért véget a ZH-val. Mostanra a ZH utáni anyagrészhez is van jegyzet, videó és gyakorló feladatsor. (Kivéve persze azt, ami időhiány miatt kimaradt.) Olvassátok, nézzétek, oldjátok!!!
• A ZH utáni anyagból is lesznek házi feladatok (amint eljutok odáig), hogy legyen valami jutalma annak, aki hajlandó megérteni.
• A HF-ekből legfeljebb 50 pont szerezhető. Ehhez jön hozzá a legfeljebb 50 ZH-pont.
• A HF-ekre kapható 50 pontot elvileg úgy kellene számolnom, hogy CSAK A LEGJOBBAN SIKERÜLT 70 SZÁZALÉKOT veszem figyelembe (a TVSZ miatt), és EZUTÁN normálok 50 pontra úgy, hogy aki 70 százalékot hibátlanul megoldott, az 50 pontot érjen el. Ezzel az a fő baj, hogy nagyon bonyolult. Ezért
• Könnyített HF-szabály: A félév során legalább 72 pont értékű HF-et adok fel. MINDEN megoldást figyelembe veszek átskálázás/normálás nélkül, de legfeljebb 50 pont érhető el.

pótZH: Ugyanúgy, mint a ZH volt. Idő: 2020.12.09 szerda 18:00-20:00. Bárki írhat. Javítani szabad, de rontani is lehet (viszont sikeres ZH-t sikertelenre lerontani nem lehet).

pótpótZH: Ugyanúgy, mint a ZH volt. Idő: 2020.12.14 hétfő 10:00-12:00. Bárki írhat. Javítani szabad, de rontani is lehet (viszont sikeres ZH-t sikertelenre lerontani nem lehet).

HÁZI FELADATOK a VIK Moodle szerverén: https://edu.vik.bme.hu. Részleteket lásd lentebb.

ZH FELADATSOROK és megoldások:
Ez volt a ZH feladatsor, itt vannak a megoldások, itt pedig a pontozási útmutató.
Ez volt a pótZH feladatsor, itt vannak a megoldások, itt pedig a pontozási útmutató.

EREDMÉNYEK: A Moodle-ben mindenki megnézheti a kijavított ZH-ját, pótZH-ját és az eredményeket.
Az összesített eredménylistát (nevek nélkül) mindenki megnézheti itt (végleges eredmények, 2021.01.12).

ZH EREDMÉNYEK REKLAMÁLÁSA: A ZH javítását reklamálni KIZÁRÓLAG AZ ELŐADÓNÁL lehet. Aki reklamálni szeretne, az még előtte nézze meg a megoldókulcsot és a pontozási útmutatót.

TUDNIVALÓK A ZH-RÓL: Az egyetlen "ZH"-t távolléti formában írjuk 2020:12.02-én 18:00-tól. A megoldásokat papírra, kézzel kell leírni, és szkennelve vagy fényképezve beküldeni. 5 feladat lesz, ezek megoldására 90 perc tiszta munkaidő áll rendelkezésre (vagyis ebben nincs benne a szkennelésre/fényképezésre és beküldésre fordított idő). Minden segédeszköz használata megengedett, de más emberrel kommunikálni nem szabad: a feladatokat önállóan kell megoldani.

RÉSZLETES TUDNIVALÓK A ZH-RÓL itt.

Az egyetlen ZH anyaga: Minden, ami az előadáson/gyakorlaton szerepelt, a 11. előadás (folytonos idejű Markov láncok) anyagával bezárólag. Kivétel az "opcionális"-ként megjelölt anyagrészek. A ZH-ban csak számolási feladatok lesznek, direkt elméleti kérdés nem. Ennek ellenére lehet olyan kérdés, ami lényegében elméleti, vagyis az elmélet ismeretében sokkal könnyebb, mint anélkül. Ezen felül minden megoldásnál elvárás az alkalmazott elméletre való helyes hivatkozás.

Minta ZH feladatsor itt.

A tárgy kódja: BMETE90MX55
Előadás kurzuskód: V0
A tárgy hivatalos adatlapja: TE90MX55

Előadások: online, szabadon letölthető jegyzet és videók formájában
Előadó: Tóth Imre Péter.
Konzultációk az előadóval: online MS Teams-en, minden kedden 09:15-10:00 között ezen a linken. A konzultáció nyilvános, nem kell hozzá semmiféle Teams csoport tagjának lenni. (Persze Teams hozzáférés kell, de az minden hallgatónak van (1 kivétellel :( ).) A tárgyhoz kapcsolódóan bármit bátran szabad kérdezni: nem csak az előadás anyagáról, és nem csak az aktuális heti anyagról. Nincs sértődés, ha valaki le van maradva és régebbi anyagról kérdez. (Már csak azért se, mert az első anyagot az utolsó pillanatban tettem fel.)
Ha bármi gond van (szokott lenni, pl. hálózati), akkor lehet, hogy még telefonon elérhető vagyok: +36205372256

Gyakorlatok: online, MS Teams-en megnézhető videók formájában
Gyakorlatvezető: Prokaj Rudolf Dániel.
Konzultációk a gyakorlatvezetővel: online MS Teams-en, a gyakorlatvezető által meghirdetett időpontokban (fő szabályként: amikor az eredeti gyakorlatok lettek volna, vagyis csütörtök 8-10, csütörtök 10-12, péntek 10-12, péntek 12-14). A Teams csoportot létrehoztam, mindenkit hozzáadok, amint sikerül.

Házi feladatok: a HF-ek online kitöltendő kvízek: a válasz minden kérdésre egy szám, és csak a helyes válaszra jár pont. Cserébe akárhányszor lehet próbálkozni (más-más adatokkal).
A HF-ek megoldásához a VIK Moodle szerverére kell belépni, és ott megkeresni a megfelelő tantárgyat. Elvileg mindenkinek van hozzáférése: ha valakinek mégsincs, szóljon!
A feladatoknak nincs száma, csak címe. Az adott HF-re kattintva már lehet is válaszolni - részletes instrukciók ott helyben.
Pontszámok és határidők az egyes feladatokhoz:

HF cím	pontérték	határidő
Neutronok a reaktorban	10	okt.9
Sajtóhubák	3	okt.23
Hibás kérések kiszolgálóhoz	4 helyett 5	okt.23
Radioaktív sugárzás detektor	3	okt.23
Bolha ugrál a számegyenesen	2	nov.20
Kockadobásra CHT	2	nov.20
ATM	1	nov.20 dec. 4., mert az elfogadott megoldás némileg önkényes - lásd ott.
áramszolgáltató	1	nov.20
Sikeres vizsgázók	1	nov.20 dec. 4., mert hibás volt
nagy eltérések Bernoullira	4	nov.20
Mari néni befolyásolható	6	dec.4
Sor a fagyis bácsinál	6	dec.4
Egyszerű jelfeldolgozó	2	dec.4
Mérnök Mari gyermeke	3	dec.4
Villanykörték a lépcsőházban	3	dec.4
M/M/1/N sor	2	dec.4
M/M/1 sor	2 helyett 5	dec.4
Maximum likelihood becslés normális eloszlás szórására	2	jan.10
Ellenállások összehasonlítása 1	6	jan.10
Ellenállások összehasonlítása 2	6	jan.10

Ha bármi gond van, szóljatok!

Oktatási anyagok:

• előadás-jegyzetek
• előadás-videók ezen az oldalon
• gyakorló feladatsorok
• gyakorló feladatsorok megoldásai: a megoldást mindenki csak akkor nézze meg, ha már megpróbálta megoldani a feladatot.

Az előadások menete:

• Mindenki töltse le az adott órához tartozó jegyzetet,
• töltse le az adott órához tartozó előadás-videót,
• nézze meg, amikor ráér. Közben legyen előtte a jegyzet, mert a tábla kicsi és a videók minősége is nagyon hullámzó (látszik rajtuk az amatőrség).

Megjegyzés 1: A kurzus deklaráltan ASZINKRON, ezért nem törekszem minden áron az órarendhez igazodásra, és nem erőltetem, hogy az anyagot pontosan 90 perces egységekre bontsam. Helyette tematikus egységenként lesznek az "előadások", amik jellemzően 90 percnél hosszabbak :(

Megjegyzés 2: A jegyzetek és a videók egy része a 2020 tavaszi "Tömegkiszolgálás" kurzushoz készült, aminek az anyaga jelentősen átfed a Sztochasztikával. Ez látszik is rajtuk: van néhány utalás ide nem illő dolgokra. Ezeket kérem figyelmen kívül hagyni - ettől még szerintem jól használhatók.

FELHÍVÁS HIBAKERESÉSRE
A jegyzetekben és a videókban is biztosan vannak hibák. Kérem, hogy aki hibát talál, az jelezze! Nem megsértődni fogok, hanem hálás leszek. A becsületes megtalálók piros pont jutalomban részesülnek.

HIBALISTA
A jegyzetekben és az előadás-videókban természetesen vannak/voltak hibák. Ezekért elnézést kérek, illetve hálás vagyok, ha valaki jelzi. Íme az eddig kiderült hibák:

• Jegyzet:
  • 03-as jegyzet:
    • a jegyzet 1. oldala 3. sorában: a₂z² helyett a₂z volt. Javítva.
    • a jegyzet 7. oldala utolsó előtti sorában: X∼Bin(n,p) helyett X∼B(p) volt. Javítva.
• Videó:
  • 015. videó: 05:55-kor "független tagszámú összeg" helyett "véletlen tagszámú összeg" kellene, hogy legyen írva+mondva.
  • 016. videó: 04:24-kor a második derivált számolásánál a sor legvégén g_x'(z) helyett g_x''(z) kellene, hogy legyen írva+mondva.

1. előadás:

• jegyzet: 01-es jegyzet
• videó (94+15 perc):
  • 001. Eseménytér, valószínűség (14:27, 37 MB)
  • 002. Tanmese a matematikai és fizikai modellezésről (14:50, 37 MB) (opcionális)
  • 003. Valószínűségi változók és eloszlásuk (diszkrét eset) (12:20, 29 MB)
  • 004. Várható érték (diszkrét eset), szórásnégyzet, szórás (27:39, 64 MB)
  • 005. Feltételes valószínűség, függetlenség (33:04, 86 MB)
  • 006. Bernoulli eloszlás (06:27, 16 MB)

2. előadás:

• jegyzet: 02-es jegyzet 1-13. oldal
• videó (103 perc):
  • 007. Páronkénti és teljes függetlenség (19:07, 46 MB)
  • 008. Nevezetes diszkrét eloszlások (38:24, 95 MB)
  • 009. Folytonos valószínűségi változók és eloszlásuk (24:59, 59 MB)
  • 010. Nevezetes folytonos eloszlások: egyenletes, exponencialis (20:05, 106 MB)

3. előadás:

• jegyzet: 02-es jegyzet 14-17. oldal, 03-as jegyzet
• videó (115+11 perc):
  • 011. Gamma eloszlás (11:00, 57 MB) (opcionális)
  • 012. Teljes valószínűség tétel, teljes várható érték tétel (22:17, 123 MB)
  • 013. Generátorfüggvény és alaptulajdonságai (38:13, 98 MB)
  • 014. Véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye; nevezetes eloszlások generátorfüggvénye (34:43, 87 MB)
  • 015. Példa a generátorfüggvény alkalmazására: a Poisson eloszlás ritkítása (19:38, 48 MB)

4. előadás:

• jegyzet: 04-es jegyzet, 05-ös jegyzet
• videó (96+17 perc):
  • 016. Véletlen tagszámú összeg várható értéke és szórásnégyzete (10:22, 34 MB)
  • 017. Galton-Watson elágazó folyamat: definíció (29:09, 101 MB)
  • 018. Galton-Watson folyamat: véges idejű eloszlások (15:00, 55 MB)
  • 019. Galton-Watson folyamat: kritikusság, kihalás (36:55, 125 MB)
  • 020. Galton-Watson folyamat: a teljes családfa mérete (04:57, 14 MB)
  • 021. Galton-Watson folyamat: a teljes családfa-méret eloszlása (opcionális) (16:41, 55 MB)

0. gyakorlat:

• jegyzet: gyakorló feladatsor megoldásokkal, 3.1-es feladat
• videó (44 perc):
  • 022. Példa Galton-Watson folyamatra: pilótajáték (44:07, 143 MB)

5. előadás:

• jegyzet: 06-os jegyzet
• videó (104+17 perc):
  • 023. Poisson folyamat fogalma (44:07, 118 MB)
  • 024. Poisson folyamat és exponenciális eloszlás (19:11, 51 MB)
  • 025. A Poisson folyamat alternatív konstrukciójának bizonyítása (opcionális) (17:18, 47 MB)
  • 026. Poisson folyamat: mese a ráta fogalmáról (09:34, 24 MB)
  • 027. Poisson folyamatok egyesítése és színezése (31:26, 84 MB)

6. előadás:

• jegyzet: 07-es jegyzet, 08-as jegyzet, 09-es jegyzet.
• videó (93+9 perc):
  • 028. Normális, avagy Gauss eloszlás (22:00, 60.0 MB)
  • 029. Centrális határeloszlás tétel (13:55, 39.3 MB)
  • 030. A CHT történetéből (opcionális) (04:15, 11.9 MB)
  • 031. Miért szeretjük a határeloszlás tételeket (opcionális) (05:06, 13.8 MB)
  • 032. Berry-Esseen tétel (22:58, 66.2 MB)
  • 033. Nagy eltérés tételek, bevezetés (07:27, 20.8 MB)
  • 034. Hoeffding egyenlőtlenség (11:37, 33.0 MB)
  • 035. Példa a Hoeffding egyenlőtlenség alkalmazására (15:00, 42.1 MB)

7. előadás:

• jegyzet: 10-es jegyzet.
• videó (71+15 perc):
  • 036. A Cramér nagy eltérés tétel kimondása (42:07, 137.4 MB)
  • 037. A Cramér rátafüggvény kiszámolása (opcionális) (15:19, 46.0 MB)
  • 038. Példa a Cramér tétel alkalmazására: többségi szavazás (21:31, 66.2 MB)
  • 039. A Cramér tétel és a Hoeffding egyenlőtlenség összehasonlítása (07:43, 22.8 MB)

8. előadás:

• jegyzet: 11-es jegyzet.
• videó (99 perc):
  • 040. Diszkrét idejű Markov láncok: definíció, átmenetmátrix, kezdeti eloszlás (47:45, 143.6 MB)
  • 041. Diszkrét idejű Markov láncok: trajektóriák valószínűsége (09:28, 27.1 MB)
  • 042. Diszkrét idejű Markov láncok időfejlődése (25:26, 73.6 MB)
  • 043. Diszkrét idejű Markov láncok: példák (16:14, 46.3 MB)

9. előadás:

• jegyzet: 12-es jegyzet a 18-adik oldalig.
• videó (104 perc):
  • 044. Markov láncok stabilitasa - bevezetés (26:29, 84 MB)
  • 045. Markov lánc stacionárius eloszlásainak kiszámolása (45:45, 153 MB)
  • 046. Születési-halálozási folyamat stacionárius eloszlása (31:42, 108 MB)

10. előadás:

• jegyzet: 12-es jegyzet a 18-adik oldaltól.
• videó (100+5 perc):
  • 047. Markov lánc állapotainak osztályozása (16:32, 56 MB)
  • 048. Rekurrencia és tranziencia Markov láncban (28:48, 80 MB)
  • 049. Periodicitás Markov láncban (11:40, 31 MB)
  • 050. Stabilitási tételek Markov láncokra (10:15, 26 MB)
  • 051. Kiegészítés a Markov láncok stabilitásához (opcionális) (04:54, 13 MB)
  • 052. Ergodicitás Markov láncokban (32:15, 93 MB)

11. előadás:

• jegyzet: 13-as jegyzet.
• videó (121+15 perc):
  • 053. Folytonos idejű Markov láncok - definíció (15:20, 42 MB)
  • 054. Folytonos idejű Markov láncok - konstrukciók (38:45, 106 MB)
  • 055. Folytonos idejű Markov láncok - időfejlődés (21:35, 57 MB)
  • 056. Folytonos idejű Markov láncok - példák (19:41, 50 MB)
  • 057. Folytonos idejű Markov láncok - hosszú távú viselkedés (26:05, 75 MB)
  • 058. Folytonos idejű Markov láncok - kapcsolat a beépített diszkrét idejű Markov lánccal (opcionális) (14:47, 40 MB)

12. előadás:

• jegyzet: 14-es jegyzet.
• videó (64 perc):
  • 059. Statisztika alapok: bevezetés, a statisztika alapfeladata (21:57, 69 MB)
  • 060. Momentum-becslések: átlag, tapasztalati szórásnégyzet (17:41, 53 MB)
  • 061. Korrigált tapasztalati szórásnégyzet (18:57, 57 MB)
  • 062. Tapasztalati szórásnégyzet kiszámolása (05:16, 15 MB)

13. előadás:

• jegyzet: 15-ös jegyzet.
• videó (50+30 perc):
  • 063. Maximum likelihood becslés, diszkrét eset (36:19, 100 MB)
  • 064. Maximum likelihood becslés, folytonos eset (13:55, 40 MB)
  • 065. Maximum likelihood_becslés normális eloszlásra (opcionális) (29:40, 84 MB)

14., utolsó előadás:

• jegyzet: 16-os jegyzet és 17-es jegyzet.
• Képletgyűjtemény: Statisztikai próbák képletei.
• Eloszlás-táblázatok: Normális és t-eloszlás táblázata.
• videó (120 perc):
  • 066. Konfidencia-intervallumok (34:11, 107 MB)
  • 067. Parametéres próbák 1: a legegyszerűbb u-próba (34:37, 109 MB)
  • 068. u-próbák, t-próbák (29:09, 91 MB)
  • 069. t-próba (22:27, 69 MB)

Ütemterv (tervezet - már nem tartható, mert az első előadás rögtön elmaradt):

hanyadik hét	előadás	téma	megjegyzés
1. hét	2020.09.08	Val.szám alapok 1: valószínűség, függetlenség, diszkrét valószínűségi változók.
2. hét	2020.09.15	Val.szám alapok 2: folytonos eloszlások, teljes valószínűség tétel, teljes várható érték tétel.
3. hét	2020.09.22	Generátorfüggvény-módszer.
4. hét	2020.09.29	Generátorfüggvény alkalmazása: Galton-Watson elágazó folyamat.
5. hét	2020.10.06	Poisson-folyamat.
6. hét	2020.10.13	Berry-Esseen tétel; Nagy eltérés tételek 1.
7. hét	2020.10.20	Nagy eltérés tételek 2.
8. hét	2020.10.27	Diszkrét idejű Markov láncok 1: átmenetmátrix, állapotok osztályozása.
9. hét	2002.11.03	Diszkrét idejű Markov láncok 2: hosszú távú viselkedés.
10. hét	2020.11.10	Folytonos idejű Markov láncok
11. hét	2020.11.17	Statisztika alapok: momentum-becslések.
12. hét	2020.11.24	Statisztika alapok - hipotézisvizsgálat: u- és t-próbák.
13. hét	2020.12.01	Statisztika alapok - hipotézisvizsgálat: nemparaméteres próbák
14. hét	2019.12.08	Statisztika alapok - Maximum likelihood becslés

Számonkérések

• A távoktatási kényszer miatt csak egy ZH lesz a félév teljes anyagából, 2020.12.02-án 18:00-tól (amikor a beosztás szerint a 2. ZH lenne).
• Az egyetlen ZH pótlása: 2020.12.09-én 18:00-tól.
• A másik ZH helyett beadandó házi feladatok lesznek. Ezekre külön pótlási feladatok nem lesznek, cserébe csak a beadott feladatok legjobb 70%-a számít. A házi feladatokat a VIK Moodle rendszerében kell beadni.

Követelmények:
A félév során legfeljebb 100 pont érhető el. Ezen belül

• 50 pont szerezhető a félév során beadandó házi feladatokból,
• 50 pontot ér az egyetlen ZH.

A félévközi jegy megszerzésének feltétele a HF-ekből és a ZH-n külön külön elért 40%-os teljesítmény (20-20 pont).

Ha ez megvan, a félév végi érdemjegy kiszámítása:

0-39 pont	1-es
40-54 pont	2-es
55-69 pont	3-as
70-84 pont	4-es
85-100 pont	5-ös

RÉGI oktatási anyagok:

---

Minta-feladatok az első ZH-hoz (tavalyelőttről és azelőttről) itt és itt.

---

Minta-feladatok a második ZH-hoz (frissítve) itt.

---

A tavalyi és tavalyelőtti HF és ZH feladatsorok megoldásokkal itt találhatók.

---

Néhány korábbi HF, ZH és vizsgafeladatsor (amikor a tárgy elődje még vizsgás volt) itt található, jelentős részben megoldásokkal.

---

Régi gyakorló és házi feladatsorok, jelentős részben megoldásokkal együtt, ömlesztve itt.

---

Gyakorló feladatsorok generátorfüggvény és elágazó folyamat témához, részben megoldásokkal: itt, itt, itt, itt.

---

A már lejárt határidejű házi feladatok megoldásai itt vannak/lesznek.

---

Ismétlés

• Feltételes valószínűség, függetlenség, teljes valószínűség tétele
• Egydimenziós valószínűségi változók, súlyfüggvény, sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény
• nevezetes eloszlások: diszkrét egyenletes, Bernoulli, binomiális, geometriai, Poisson, intervallumon egyenletes, exponenciális, normális
• Várható érték, szórás
• Feltételes eloszlás, teljes várható érték tétel

Egy régebbi, Székely Balázs által tartott előadás fóliái (több anyag, mint amit én elmondtam): 1. rész itt, 2. rész itt.

---

Generátorfüggvények, elágazó folyamatok

• Generátorfüggvény definíciója, alaptulajdonságok
• Független valószínűségi változók összegének generátorfüggvénye
• Véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye
• Egyszerű elágazó folyamat definíciója
• Az egyes generációk elemszámának generátorfüggvénye, várható értéke
• Kihalási valószínűség véges időben és végtelenben
• A folyamat össz-elemszámának várható értéke, generátorfüggvénye

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

---

Nagy eltérések

• Centrális határeloszlás-tétel, Berry-Esséen tétel
• Hoeffding-egyenlőtlenség, Chernoff-korlát mint az ő speciális esete
• Cramér-féle nagy eltérés tétel
• Alkalmazás kapacitás méretezésre

Egy régebbi előadás fóliái itt (Székely Balázs műve).

---

Diszkrét idejű Markov láncok

• Sztochasztikus folyamat általában
• Sztochasztikus folyamat végesdimenziós eloszlásai
• Markov-lánc, időben homogén Markov-lánc
• Irányított-gráf reprezentáció
• Véges trajektória valószínűsége, átmenetvalószínűség mátrix, kezdeti eloszlás vektor
• Eloszlás n időben, Chapman-Kolmogorov egyenlőség
• Állapotok osztályozása
• Stacionárius Markov-láncok
• Markov-láncok alaptétele, ergod tétel

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

---

Folytonos idejű Markov láncok

• háromféle definíció: 1.) beágyazott diszkrét idejű Markov lánccal, 2.) ez egyes átmenetekhez tartozó exponenciális órákal, 3) absztrakt Markov tulajdonsággal
• infinitezimális generátor, kapcsolata a beágyazott Markov lánccal
• a generátor és a véges (t) idejű átmenetmátrixok kapcsolata, egyikből a másik kiszámolása
• stacionárius eloszlás és kiszámolása
• speciális eset: születési-halálozási folyamat
• ergodtétel folytonos időben, és alkalmazásai.

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

---

Statisztikai alapok

• mintavétel valószínűségi eloszlásból, statisztika fogalma
• becslések várható értékre, szórásnégyzetre
• torzítatlan és aszimptotikusan torzítatlan becslés, "tapasztalati szórásnégyzet" kontra "korrigált tapasztalati szórásnégyzet"
• konzisztens becslés fogalma
• paraméterbecslés Maximum Likelihood módszerrel
• statisztikai próbák normális eloszlású val.változók várható értékére vonatkozó hipotézisekre, ha a szórás ismert: u-próba
• egyoldali és kétoldali ellenhipotézis
• egymintás és kétmintás próbák
• statisztikai próbák normális eloszlású val.változók várható értékére vonatkozó hipotézisekre, ha a szórás ismertetlen: t-próba
• nemparaméteres próbák: illeszkedésvizsgálat, függetlenségvizsgálat, homogenitásvizsgálat
• a homogenitásvizsgálat mint a függetlenségvizsgálat speciális esete, ha az egyik vizsgált változó csak kétértékű

Egy, a szükségesnél jóval bővebb jegyzet a statisztika alapjairól itt (Bolla Marianna műve). Egy régebbi, a hipotézisvizsgálatról szóló előadás fóliái itt (Székely Balázs műve).