Felsőbb Matematika Villamosmérnököknek - Sztochasztika -- 2021 ősz

Felsőbb Matematika Villamosmérnököknek - Sztochasztika -- 2021 ősz

A pótpótZH feladatsor ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

IDŐPONT-VÁLTOZÁS Az utolsó, 2021.12.10-i, pénteki gyakorlat fél óra késéssel, 10:45-kor kezdődik! Kérjük, várjátok meg türelemmel! Köszönjük.

EREDMÉNYEK: A saját pontszámait mindenki megtalálja a Moodle-ben. Ezen felül az eredmények pontonkénti bontásban is megtalálhatók itt. A táblázat első oszlopában szerepló "ID" a hallgató egyedi azonosítója: megfelel a Moodle-ben lévő "egyedi azonosító" néven szereplő fiktív "pontszám"-nak.

MEGJEGYZÉS A pótZH EREDMÉNYEKHEZ: Aki a pótZH-ra azért jött, hogy sikeres ZH-t javítson, de a pótZH-n 20-nál kevesebb pontot ért el, az NEM bukik meg, hanem a ZH-pontszáma 20 pont lesz.

ZH MEGTEKINTÉS a pótZH-hoz (és a második Zh-hoz is): az utolsó előadás után 2021.12.08-án (szerdán) 09:45-től az IB026 teremben.

A pótZH feladatsor ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

A második ZH feladatsor ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

A második ZH anyaga minden, ami az előadáson sorra kerül a november 24-i órával bezárólag - vagyis minden, a folytonos idejű Markov láncokig. Minta ZH feladatsornak jó lesz a 2020-as egyetlen mintaZH. Helyszín: IB028.

GYAKORLÓ FELADATOK VIDEÓI
Tavaly a távoktatáshoz készült egy csomó jó videó gyakorló feladatok megoldásáról. Eddig titkoltam, hogy járjatok gyakorlatra. Most közzéteszem, íme: gyakorlat-videók

Az első ZH feladatsor ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

HÁZI FELADATOK a VIK Moodle szerverén: https://edu.vik.bme.hu. Részleteket lásd lentebb.

AZ ELSŐ ÉS EGYETLEN PAPÍR ALAPÚ HF-et is a VIK Moodle szerverén kell(ett) beadni: https://edu.vik.bme.hu. Határidő: 2021.10.08 péntek 20:00. Részleteket lásd lentebb.
Itt vannak a megoldások és a pontozási útmutató.
A kijavított HF-eket szintén a Moodle-ben lehet megnézni. MINDENKI NÉZZE MEG ÉS OKULJON A ZH ELŐTT!
Reklamálni elsősorban előadás előtt vagy után lehet, másodsorban emailen. Előtte mindenki nézze meg a pontozási útmutatót!

Az első ZH anyaga csak az ismétlés (a teljes várható érték tétellel bezárólag). Minta ZH feladatsor itt. Helyszín: IB028.

A tárgy kódja: BMETE90MX55
Előadás kurzuskód: V0
A tárgy hivatalos adatlapja: TE90MX55

Előadások: szerda 8:15-10:00, IB026
Előadó: Tóth Imre Péter.

Gyakorlatvezető: Keliger Dániel
Gyakorlatok:

kurzuskód	melyik heteken	idő	hely
V1	páratlan heteken	csütörtök 8-10	E306cd
V2	páros heteken	péntek 10-12	E305ab
V3	páratlan heteken	csütörtök 14-16	E305c

Ütemterv:

hanyadik hét	előadás	téma	megjegyzés
1. hét	2021.09.08	Val.szám alapok 1: valószínűség, függetlenség, diszkrét valószínűségi változók.
2. hét	2021.09.15	ELMARAD (sportnap miatt)
3. hét	2021.09.22	Val.szám alapok 2: folytonos eloszlások, teljes valószínűség tétel, teljes várható érték tétel.
4. hét	2021.09.29	Generátorfüggvény-módszer.
5. hét	2021.10.06	Generátorfüggvény alkalmazása: Galton-Watson elágazó folyamat.
6. hét	2021.10.13	Poisson-folyamat.
7. hét	2021.10.20	Berry-Esseen tétel; Nagy eltérés tételek 1.
8. hét	2021.10.27	Nagy eltérés tételek 2.
9. hét	2002.11.03	Diszkrét idejű Markov láncok 1: átmenetmátrix, állapotok osztályozása.
10. hét	2021.11.10	Diszkrét idejű Markov láncok 2: hosszú távú viselkedés.
11. hét	2021.11.17	Folytonos idejű Markov láncok.
12. hét	2021.11.24	Statisztika alapok: momentum-becslések, hipotézisvizsgálat: u- és t-próbák.
13. hét	2021.12.01	Statisztika alapok - hipotézisvizsgálat: nemparaméteres próbák
14. hét	2019.12.08	Statisztika alapok - Maximum likelihood becslés

Házi feladatok:

A HF-ek megoldásához a VIK Moodle szerverére kell belépni, és ott megkeresni a megfelelő tantárgyat. Elvileg mindenkinek van hozzáférése: ha valakinek mégsincs, szóljon!

Az első házi feladat itt található. Ezt részletesen kidolgozva kérem beadni a VIK Moodle szerverére pdf formában feltöltve (scannelve, fényképezve vagy eleve pdf-ben megszerkesztve). HATÁRIDŐ: 2021.10.08 péntek 20:00. Ennek a HF-nek legfőbb funkciója, hogy az első ZH előtt mindenki kipróbálhassa, hogyan is kell egy matek feladat megoldását rendesen leírni. Ennek megfelelően a javításnál szigorúan veszem a precíz leírást. Részletes tudnivalók itt.
A többi HF online kitöltendő kvíz: a válasz minden kérdésre egy szám, és csak a helyes válaszra jár pont. Cserébe akárhányszor lehet próbálkozni (más-más adatokkal). A feladatoknak nincs száma, csak címe. Az adott HF-re kattintva már lehet is válaszolni - részletes instrukciók ott helyben.
Az online kvízként kitöltendő HF-ek szabadon pótolhatók a pótlási hét végéig (2021.12.17-ig). (Technikailag: az alábbi táblázatban megjelölt határidő csak jótanács. Jogilag: a TVSZ szerint biztosítani kell pótlási lehetőséget, és ez így biztosítva van.)

Pontszámok és határidők a házi feladatokhoz: reményeim szerint már a végleges pontszámokkal.

HF cím	pontérték	határidő	pótlás határidő
egyetlen papír alapú HF (ismétlés)	5	okt.8	dec.17
Neutronok a reaktorban	6	okt.22	dec.17
Sajtóhubák	1	nov.5	dec.17
Hibás kérések kiszolgálóhoz	2	nov.5	dec.17
Radioaktív sugárzás detektor	1	nov.5	dec.17
Bolha ugrál a számegyenesen	1	nov.19	dec.17
Kockadobásra CHT	1	nov.20	dec.17
ATM	1	nov.19	dec.17
áramszolgáltató	1	nov.19	dec.17
Sikeres vizsgázók	1	nov.19	dec.17
nagy eltérések Bernoullira	2	nov.19	dec.17
Mari néni befolyásolható	4	dec.4	dec.17
Sor a fagyis bácsinál	3	dec.3	dec.17
Egyszerű jelfeldolgozó	1	dec.3	dec.17
Mérnök Mari gyermeke	2	dec.3	dec.17
Villanykörték a lépcsőházban	2	dec.3	dec.17
M/M/1/N sor	2	dec.3	dec.17
M/M/1 sor	2	dec.3	dec.17
Maximum likelihood becslés normális eloszlás szórására	2	dec.13	dec.17
Ellenállások összehasonlítása 1	5	dec.13	dec.17
Ellenállások összehasonlítása 2	5	dec.13	dec.17

Ha bármi gond van, szóljatok!

Számonkérések

1. ZH: 2021.10.11 (6. hét hétfő), 18:00, IB028 terem, az első két gyakorlat anyagából
2. ZH: 2021.12.01 (szerda), 18:00, IB028 terem, minden addigi anyagrészből
pótZH: 2021.12.06 (hétfő), 18:00, IB027 terem
pótpótZH: 2021.12.13 (hétfő), 18:00, H607 terem

Követelmények:
A félév során legfeljebb 100 pont érhető el. Ezen belül

45 pont szerezhető a félév során beadandó gépi javítású házi feladatokból,
5 pontot ér az egyetlen papíron beadandó házi feladat,
10 pontot ér az első ZH,
40 pontot ér a második ZH.

A pótlási alkalmakkal a két ZH együttesen pótolható, vagyis a pótZH a teljes anyagból van.
A gépi javítású HF-ek PÓTLÁSÁRA 2021.12.17-ig van lehetőség: ehhez az eredeti feladatot lehet megoldani az eredeti helyen.
A félévközi jegy megszerzésének feltétele a HF-ekből és a ZH-n külön külön elért 40%-os teljesítmény (20-20 pont).

Ha ez megvan, a félév végi érdemjegy kiszámítása:

0-39 pont	1-es
40-54 pont	2-es
55-69 pont	3-as
70-84 pont	4-es
85-100 pont	5-ös

Oktatási anyagok:

előadás-jegyzetek
előadás-videók ezen az oldalon
gyakorló feladatsorok
gyakorló feladatsorok megoldásai: a megoldást mindenki csak akkor nézze meg, ha már megpróbálta megoldani a feladatot.

FELHÍVÁS HIBAKERESÉSRE
A jegyzetekben és a videókban is biztosan vannak hibák. Kérem, hogy aki hibát talál, az jelezze! Nem megsértődni fogok, hanem hálás leszek. A becsületes megtalálók piros pont jutalomban részesülnek.

HIBALISTA
A jegyzetekben és az előadás-videókban természetesen vannak/voltak hibák. Ezekért elnézést kérek, illetve hálás vagyok, ha valaki jelzi. Íme az eddig kiderült hibák:

Jegyzet:
- 03-as jegyzet:
  - a jegyzet 1. oldala 3. sorában: a₂z² helyett a₂z volt. Javítva.
  - a jegyzet 7. oldala utolsó előtti sorában: X∼Bin(n,p) helyett X∼B(p) volt. Javítva.
Videó:
- 015. videó: 05:55-kor "független tagszámú összeg" helyett "véletlen tagszámú összeg" kellene, hogy legyen írva+mondva.
- 016. videó: 04:24-kor a második derivált számolásánál a sor legvégén g_x'(z) helyett g_x''(z) kellene, hogy legyen írva+mondva.
- 043. videó: 03:12-kor a táblára, egy jobbra mutató nyílra írt "q" helyett "p" kellene, hogy legyen írva.

1. előadás:

jegyzet: 01-es jegyzet
videó (94+15 perc):
- 001. Eseménytér, valószínűség (14:27, 37 MB)
- 002. Tanmese a matematikai és fizikai modellezésről (14:50, 37 MB) (opcionális)
- 003. Valószínűségi változók és eloszlásuk (diszkrét eset) (12:20, 29 MB)
- 004. Várható érték (diszkrét eset), szórásnégyzet, szórás (27:39, 64 MB)
- 005. Feltételes valószínűség, függetlenség (33:04, 86 MB)
- 006. Bernoulli eloszlás (06:27, 16 MB)

2. előadás:

jegyzet: 02-es jegyzet 1-13. oldal
videó (103 perc):
- 007. Páronkénti és teljes függetlenség (19:07, 46 MB)
- 008. Nevezetes diszkrét eloszlások (38:24, 95 MB)
- 009. Folytonos valószínűségi változók és eloszlásuk (24:59, 59 MB)
- 010. Nevezetes folytonos eloszlások: egyenletes, exponencialis (20:05, 106 MB)

3. előadás:

jegyzet: 02-es jegyzet 14-17. oldal, 03-as jegyzet
videó (115+11 perc):
- 011. Gamma eloszlás (11:00, 57 MB) (opcionális)
- 012. Teljes valószínűség tétel, teljes várható érték tétel (22:17, 123 MB)
- 013. Generátorfüggvény és alaptulajdonságai (38:13, 98 MB)
- 014. Véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye; nevezetes eloszlások generátorfüggvénye (34:43, 87 MB)
- 015. Példa a generátorfüggvény alkalmazására: a Poisson eloszlás ritkítása (19:38, 48 MB)

4. előadás:

jegyzet: 04-es jegyzet, 05-ös jegyzet
videó (96+17 perc):
- 016. Véletlen tagszámú összeg várható értéke és szórásnégyzete (10:22, 34 MB)
- 017. Galton-Watson elágazó folyamat: definíció (29:09, 101 MB)
- 018. Galton-Watson folyamat: véges idejű eloszlások (15:00, 55 MB)
- 019. Galton-Watson folyamat: kritikusság, kihalás (36:55, 125 MB)
- 020. Galton-Watson folyamat: a teljes családfa mérete (04:57, 14 MB)
- 021. Galton-Watson folyamat: a teljes családfa-méret eloszlása (opcionális) (16:41, 55 MB)

0. gyakorlat:

jegyzet: gyakorló feladatsor megoldásokkal, 3.1-es feladat
videó (44 perc):
- 022. Példa Galton-Watson folyamatra: pilótajáték (44:07, 143 MB)

5. előadás:

jegyzet: 06-os jegyzet
videó (104+17 perc):
- 023. Poisson folyamat fogalma (44:07, 118 MB)
- 024. Poisson folyamat és exponenciális eloszlás (19:11, 51 MB)
- 025. A Poisson folyamat alternatív konstrukciójának bizonyítása (opcionális) (17:18, 47 MB)
- 026. Poisson folyamat: mese a ráta fogalmáról (09:34, 24 MB)
- 027. Poisson folyamatok egyesítése és színezése (31:26, 84 MB)

6. előadás:

jegyzet: 07-es jegyzet, 08-as jegyzet, 09-es jegyzet.
videó (93+9 perc):
- 028. Normális, avagy Gauss eloszlás (22:00, 60.0 MB)
- 029. Centrális határeloszlás tétel (13:55, 39.3 MB)
- 030. A CHT történetéből (opcionális) (04:15, 11.9 MB)
- 031. Miért szeretjük a határeloszlás tételeket (opcionális) (05:06, 13.8 MB)
- 032. Berry-Esseen tétel (22:58, 66.2 MB)
- 033. Nagy eltérés tételek, bevezetés (07:27, 20.8 MB)
- 034. Hoeffding egyenlőtlenség (11:37, 33.0 MB)
- 035. Példa a Hoeffding egyenlőtlenség alkalmazására (15:00, 42.1 MB)

7. előadás:

jegyzet: 10-es jegyzet.
videó (71+15 perc):
- 036. A Cramér nagy eltérés tétel kimondása (42:07, 137.4 MB)
- 037. A Cramér rátafüggvény kiszámolása (opcionális) (15:19, 46.0 MB)
- 038. Példa a Cramér tétel alkalmazására: többségi szavazás (21:31, 66.2 MB)
- 039. A Cramér tétel és a Hoeffding egyenlőtlenség összehasonlítása (07:43, 22.8 MB)

8. előadás:

jegyzet: 11-es jegyzet.
videó (99 perc):
- 040. Diszkrét idejű Markov láncok: definíció, átmenetmátrix, kezdeti eloszlás (47:45, 143.6 MB)
- 041. Diszkrét idejű Markov láncok: trajektóriák valószínűsége (09:28, 27.1 MB)
- 042. Diszkrét idejű Markov láncok időfejlődése (25:26, 73.6 MB)
- 043. Diszkrét idejű Markov láncok: példák (16:14, 46.3 MB)

9. előadás:

jegyzet: 12-es jegyzet a 18-adik oldalig.
videó (104 perc):
- 044. Markov láncok stabilitasa - bevezetés (26:29, 84 MB)
- 045. Markov lánc stacionárius eloszlásainak kiszámolása (45:45, 153 MB)
- 046. Születési-halálozási folyamat stacionárius eloszlása (31:42, 108 MB)

10. előadás:

jegyzet: 12-es jegyzet a 18-adik oldaltól.
videó (100+5 perc):
- 047. Markov lánc állapotainak osztályozása (16:32, 56 MB)
- 048. Rekurrencia és tranziencia Markov láncban (28:48, 80 MB)
- 049. Periodicitás Markov láncban (11:40, 31 MB)
- 050. Stabilitási tételek Markov láncokra (10:15, 26 MB)
- 051. Kiegészítés a Markov láncok stabilitásához (opcionális) (04:54, 13 MB)
- 052. Ergodicitás Markov láncokban (32:15, 93 MB)

11. előadás:

jegyzet: 13-as jegyzet.
videó (121+15 perc):
- 053. Folytonos idejű Markov láncok - definíció (15:20, 42 MB)
- 054. Folytonos idejű Markov láncok - konstrukciók (38:45, 106 MB)
- 055. Folytonos idejű Markov láncok - időfejlődés (21:35, 57 MB)
- 056. Folytonos idejű Markov láncok - példák (19:41, 50 MB)
- 057. Folytonos idejű Markov láncok - hosszú távú viselkedés (26:05, 75 MB)
- 058. Folytonos idejű Markov láncok - kapcsolat a beépített diszkrét idejű Markov lánccal (opcionális) (14:47, 40 MB)

12. előadás:

jegyzet: 14-es jegyzet.
videó (64 perc):
- 059. Statisztika alapok: bevezetés, a statisztika alapfeladata (21:57, 69 MB)
- 060. Momentum-becslések: átlag, tapasztalati szórásnégyzet (17:41, 53 MB)
- 061. Korrigált tapasztalati szórásnégyzet (18:57, 57 MB)
- 062. Tapasztalati szórásnégyzet kiszámolása (05:16, 15 MB)

13. előadás:

jegyzet: 15-ös jegyzet.
videó (50+30 perc):
- 063. Maximum likelihood becslés, diszkrét eset (36:19, 100 MB)
- 064. Maximum likelihood becslés, folytonos eset (13:55, 40 MB)
- 065. Maximum likelihood_becslés normális eloszlásra (opcionális) (29:40, 84 MB)

14., utolsó előadás:

jegyzet: 16-os jegyzet és 17-es jegyzet.
Képletgyűjtemény: Statisztikai próbák képletei.
Eloszlás-táblázatok: Normális és t-eloszlás táblázata.
videó (120 perc):
- 066. Konfidencia-intervallumok (34:11, 107 MB)
- 067. Parametéres próbák 1: a legegyszerűbb u-próba (34:37, 109 MB)
- 068. u-próbák, t-próbák (29:09, 91 MB)
- 069. t-próba (22:27, 69 MB)

RÉGI oktatási anyagok:

Minta-feladatok az első ZH-hoz (tavalyelőttről és azelőttről) itt és itt.

Minta-feladatok a második ZH-hoz (frissítve) itt.

A tavalyi és tavalyelőtti HF és ZH feladatsorok megoldásokkal itt találhatók.

Néhány korábbi HF, ZH és vizsgafeladatsor (amikor a tárgy elődje még vizsgás volt) itt található, jelentős részben megoldásokkal.

Régi gyakorló és házi feladatsorok, jelentős részben megoldásokkal együtt, ömlesztve itt.

Gyakorló feladatsorok generátorfüggvény és elágazó folyamat témához, részben megoldásokkal: itt, itt, itt, itt.

A már lejárt határidejű házi feladatok megoldásai itt vannak/lesznek.

Ismétlés

Feltételes valószínűség, függetlenség, teljes valószínűség tétele
Egydimenziós valószínűségi változók, súlyfüggvény, sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény
nevezetes eloszlások: diszkrét egyenletes, Bernoulli, binomiális, geometriai, Poisson, intervallumon egyenletes, exponenciális, normális
Várható érték, szórás
Feltételes eloszlás, teljes várható érték tétel

Egy régebbi, Székely Balázs által tartott előadás fóliái (több anyag, mint amit én elmondtam): 1. rész itt, 2. rész itt.

Generátorfüggvények, elágazó folyamatok

Generátorfüggvény definíciója, alaptulajdonságok
Független valószínűségi változók összegének generátorfüggvénye
Véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye
Egyszerű elágazó folyamat definíciója
Az egyes generációk elemszámának generátorfüggvénye, várható értéke
Kihalási valószínűség véges időben és végtelenben
A folyamat össz-elemszámának várható értéke, generátorfüggvénye

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

Nagy eltérések

Centrális határeloszlás-tétel, Berry-Esséen tétel
Hoeffding-egyenlőtlenség, Chernoff-korlát mint az ő speciális esete
Cramér-féle nagy eltérés tétel
Alkalmazás kapacitás méretezésre

Egy régebbi előadás fóliái itt (Székely Balázs műve).

Diszkrét idejű Markov láncok

Sztochasztikus folyamat általában
Sztochasztikus folyamat végesdimenziós eloszlásai
Markov-lánc, időben homogén Markov-lánc
Irányított-gráf reprezentáció
Véges trajektória valószínűsége, átmenetvalószínűség mátrix, kezdeti eloszlás vektor
Eloszlás n időben, Chapman-Kolmogorov egyenlőség
Állapotok osztályozása
Stacionárius Markov-láncok
Markov-láncok alaptétele, ergod tétel

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

Folytonos idejű Markov láncok

háromféle definíció: 1.) beágyazott diszkrét idejű Markov lánccal, 2.) ez egyes átmenetekhez tartozó exponenciális órákal, 3) absztrakt Markov tulajdonsággal
infinitezimális generátor, kapcsolata a beágyazott Markov lánccal
a generátor és a véges (t) idejű átmenetmátrixok kapcsolata, egyikből a másik kiszámolása
stacionárius eloszlás és kiszámolása
speciális eset: születési-halálozási folyamat
ergodtétel folytonos időben, és alkalmazásai.

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

Statisztikai alapok

mintavétel valószínűségi eloszlásból, statisztika fogalma
becslések várható értékre, szórásnégyzetre
torzítatlan és aszimptotikusan torzítatlan becslés, "tapasztalati szórásnégyzet" kontra "korrigált tapasztalati szórásnégyzet"
konzisztens becslés fogalma
paraméterbecslés Maximum Likelihood módszerrel
statisztikai próbák normális eloszlású val.változók várható értékére vonatkozó hipotézisekre, ha a szórás ismert: u-próba
egyoldali és kétoldali ellenhipotézis
egymintás és kétmintás próbák
statisztikai próbák normális eloszlású val.változók várható értékére vonatkozó hipotézisekre, ha a szórás ismertetlen: t-próba
nemparaméteres próbák: illeszkedésvizsgálat, függetlenségvizsgálat, homogenitásvizsgálat
a homogenitásvizsgálat mint a függetlenségvizsgálat speciális esete, ha az egyik vizsgált változó csak kétértékű

Egy, a szükségesnél jóval bővebb jegyzet a statisztika alapjairól itt (Bolla Marianna műve). Egy régebbi, a hipotézisvizsgálatról szóló előadás fóliái itt (Székely Balázs műve).