Felsőbb Matematika Villamosmérnököknek - Sztochasztika -- 2025 ősz

Felsőbb Matematika Villamosmérnököknek - Sztochasztika -- 2025 ősz

A tárgy kódja: BMETE90MX80
Előadás kurzuskód: V0

Előadások: kedd 10:15-12:00 IB025 terem (!!!VÁLTOZÁS!!!), szerda 8:15-10:00 IB027 terem
Előadó: Tóth Imre Péter.

A pótpótZH és az 1., 2., 3., 4. vizsga kijavított dolgozatai megnézhetők a VIK Moodle-ben.

KONZULTÁCIÓ az utolsó vizsga előtt HÉTFŐN 14:00-tól CSAK ONLINE ezen a MS Teams linken. Ha bármi gond van (szokott lenni), akkor telefonáljatok: +36-20-5372256

A vizsga anyaga a félév teljes anyaga kivéve az utolsó anyagrészt, vagyis a gyengén stacionárius folyamatokat. A félév elejének anyagánál nagyobb hangsúllyal szerepel a ZH utáni anyagrész. Segédeszközként használhatók a tárgy weboldalán lévő képletgyűjtemények és táblázatok, valamint egy saját készítésű kétoldalas A4-es méretű puska tetszőleges jegyzetekkel.

ÖSSZESÍTETT EREDMÉNYLISTA feladatonkénti bontásban ebben a táblázatban található. A pótpótZH és a vizsgák eredményeit már csak itt fogom adminisztrálni.
A táblázat első oszlopában szereplő "ID" egy egyedi azonosító, amit mindenki a VIK Moodle-ben talál meg, mint az "egyedi azonosító" című fiktív feladatra adott pontszámot. Remélem, ez így adatvédelmileg korrekt. Az összpontszámok a Moodle-ben is megtalálhatók.

A NEGYEDIK VIZSGA (2026.01.20) feladatsora ez volt, a megoldások pedig itt vannak. Reklamálni a vizsga napján 16:00-kor a H508-ban, vagy emailben vagy telefonon (+36205372256) vagy konzultáción lehet. Szerdán 10 és 2 között nem nagyon tudom felvenni a telefont.

A HARMADIK VIZSGA (2026.01.13) feladatsora ez volt, a megoldások pedig itt vannak. Reklamálni emailben vagy telefonon (+36205372256) vagy konzultáción lehet. Szerdán 10 és 2 között nem nagyon tudom felvenni a telefont.

A MÁSODIK VIZSGA (2026.01.06) feladatsora ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

AZ ELSŐ VIZSGA (2025.12.16) feladatsora ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

AZ EGYETLEN ZH PÓTPÓTLÁSÁNAK feladatsora ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

AZ EGYETLEN ZH PÓTLÁSÁNAK feladatsora ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

AZ EGYETLEN ZH feladatsora ez volt, a megoldások pedig itt vannak.

HÁZI FELADATOK a VIK Moodle szerverén találhatók: https://edu.vik.bme.hu. Részleteket lásd lentebb.

Ütemterv:

hanyadik hét	előadás	téma
1. hét	2024.09.09,10	Val.szám alapok: valószínűség, függetlenség, várható érték, szórás
2. hét	2024.09.17	KEDDEN ELMARAD (sportnap miatt); Val.szám alapok: nevezetes valószínűségi eloszlások
3. hét	2024.09.23,24	teljes valószínűség tétel, teljes várható érték tétel; generátorfüggvény-módszer
4. hét	2024.09.23,10.01	Generátorfüggvény-módszer alkalmazása: Galton-Watson elágazó folyamat; Poisson-folyamat
5. hét	2024.10.08	KEDDEN ELMARAD (SchQpa miatt); Berry-Esseen tétel
6. hét	2024.10.14,15	Nagy eltérés tételek
7. hét	2024.10.21,22	Diszkrét idejű Markov láncok 1: átmenetmátrix, állapotok osztályozása.
8. hét	2024.10.28,29	Diszkrét idejű Markov láncok 2: hosszú távú viselkedés.
9. hét	2024.11.04,05	Folytonos idejű Markov láncok
10. hét	2024.11.11,12	Statisztika alapok: momentum-becslések, hipotézisvizsgálat: u- és t-próbák
11. hét	2024.11.18	Statisztika alapok - nemparaméteres próbák; SZERDÁN ELMARAD (TDK konferencia miatt)
12. hét	2024.11.25,26	Statisztika alapok - Maximum likelihood becslés
13. hét	2024.12.02,03	Gyengén stacionárius folyamatok: alapfogalmak
14. hét	2024.12.09,10	Gyengén stacionárius folyamatok szűrése

Házi feladatok:

A HF-ek megoldásához a VIK Moodle szerverére kell belépni, és ott megkeresni a megfelelő tantárgyat. Elvileg mindenkinek van hozzáférése: ha valakinek mégsincs, szóljon!

Minden HF online kitöltendő kvíz: a válasz minden kérdésre egy szám, és csak a helyes válaszra jár pont. Cserébe akárhányszor lehet próbálkozni (más-más adatokkal). A feladatoknak nincs száma, csak címe. Az adott HF-re kattintva már lehet is válaszolni - részletes instrukciók ott helyben.
A HF-ek szabadon pótolhatók a pótlási hét végéig (2025.12.19-ig). (Technikailag: az alábbi táblázatban megjelölt határidő csak jótanács. Jogilag: a TVSZ szerint biztosítani kell pótlási lehetőséget, és ez így biztosítva van.)

Pontszámok és határidők a házi feladatokhoz:

HF cím	pontérték	határidő	pótlás határidő
Neutronok a reaktorban	6	okt. 8	dec. 19
Sajtóhubák	1	okt. 8	dec. 19
Hibás kérések kiszolgálóhoz	2	okt. 8	dec. 19
Radioaktív sugárzás detektor	1	okt. 8	dec. 19
Bolha ugrál a számegyenesen	1	okt. 21	dec. 19
Kockadobásra CHT	1	okt. 21	dec. 19
ATM	1	okt. 21	dec. 19
áramszolgáltató	1	okt. 21	dec. 19
Sikeres vizsgázók	1	okt. 21	dec. 19
nagy eltérések Bernoullira	2	okt. 21	dec. 19
Mari néni befolyásolható	4	nov. 11	dec. 19
Sor a fagyis bácsinál	3	nov. 11	dec. 19
Egyszerű jelfeldolgozó	1	nov. 11	dec. 19
Mérnök Mari gyermeke	2	nov. 11	dec. 19
Villanykörték a lépcsőházban	2	nov. 11	dec. 19
M/M/1/N sor	2	nov. 11	dec. 19
M/M/1 sor	2	nov. 11	dec. 19
Maximum likelihood becslés normális eloszlás szórására	2	dec. 2	dec. 19
Ellenállások összehasonlítása 1	3	dec. 2	dec. 19
Ellenállások összehasonlítása 2	3	dec. 2	dec. 19
Dobókocka tesztelése	2	dec. 2	dec. 19
Iskolázottság összehasonlítása városban és falun	2	dec. 2	dec. 19

Ha bármi gond van, szóljatok!

Számonkérések

egyetlen ZH: 2025.11.03 hétfő 18:00, E1B terem
pótZH: 2025.11.24 hétfő 18:00, IB028 terem
pótpótZH: 2025.12.16 hétfő 08:00 IB026 terem (az első vizsgával egy időben és egy helyen)
vizsga: vizsgaidőszakban, lásd Neptun

Követelmények a normál kurzuson:
A félév során legfeljebb 150 pont érhető el. Ezen belül

45 pont szerezhető a félév során beadandó házi feladatokból,
45 pontot ér a ZH,
60 pontot ér a vizsga.

A HF-ek PÓTLÁSÁRA 2025.12.19-ig van lehetőség: ehhez az eredeti feladatot lehet megoldani az eredeti helyen.
Az aláírás megszerzésének feltétele a HF-ekből és a ZH-n külön-külön elért 40%-os teljesítmény (18-18 pont).
A sikeres viszga feltétele a vizsgán elért 40%-os teljesítmény (24 pont).

Ha ez megvan, a félév végi érdemjegy kiszámítása:

0-59 pont	1-es
60-84 pont	2-es
85-109 pont	3-as
110-129 pont	4-es
130-150 pont	5-ös

Követelmények vizsgakurzuson:
A sikeres viszga feltétele a vizsgán elért 40%-os teljesítmény (24 pont). A vizsgapontszámhoz hozzáadjuk az aláírás megszerzésének félévében szerzett HF és ZH pontokat. Az így számított összpontszámból a jegyet a normál kurzuson is használt táblázat alapján kapjuk.

Követelmények a normál kurzuson annak, akinek már van aláírása:
Aki megírja a ZH-t vagy a pótZH-t, arra a normál kurzus szabályai vonatkoznak - vagyis a félévközi követelményeket újra teljesítenie kell, és a most szerzett pontszámai számítanak a végső jegybe. Aki nem, arra a vizsgakurzus szabályai érvényesek.

Oktatási anyagok:

előadás-jegyzetek
előadás-videók ezen az oldalon
gyakorló feladatsorok
gyakorló feladatsorok megoldásai: a megoldást mindenki csak akkor nézze meg, ha már megpróbálta megoldani a feladatot.
gyakorló feladatok megoldásáról videók
Minta ZH az egyetlen ZH-hoz
Minta vizsga feladatsor tavalyról
Az összes tavalyi (2024 őszi) ZH és vizsga feladatsora megoldásokkal (egy kivétellel)
Az összes 2023 őszi ZH és vizsga feladatsora megoldásokkal

Képletgyűjtemények, eloszlás-táblázatok:

nevezetes eloszlások képletei (statisztika tárgyhoz készült, több, mint ami nekünk kell)
Cramér féle rátafüggvények néhány nevezetes eloszláshoz
nevezetes eloszlások képletei ÚJ változat generátorfüggvényekkel és Cramér rátafüggvényekkel, könnyen lehetnek benne hibák
statisztikai próbák képletgyűjteménye, illetve ennek Szendrei Péter jóvoltából megszületett újabb, jobban olvasható változata
normális és t-eloszlás táblázata
khi-négyzet eloszlás táblázata

FELHÍVÁS HIBAKERESÉSRE
A jegyzetekben és a videókban is biztosan vannak hibák. Kérem, hogy aki hibát talál, az jelezze! Nem megsértődni fogok, hanem hálás leszek. A becsületes megtalálók piros pont jutalomban részesülnek.

HIBALISTA
A jegyzetekben és az előadás-videókban természetesen vannak/voltak hibák. Ezekért elnézést kérek, illetve hálás vagyok, ha valaki jelzi. Íme az eddig kiderült hibák:

Jegyzet:
- 03-as jegyzet:
  - a jegyzet 1. oldala 3. sorában: a₂z² helyett a₂z volt. Javítva.
  - a jegyzet 7. oldala utolsó előtti sorában: X∼Bin(n,p) helyett X∼B(p) volt. Javítva.
Videó:
- 015. videó: 05:55-kor "független tagszámú összeg" helyett "véletlen tagszámú összeg" kellene, hogy legyen írva+mondva.
- 016. videó: 04:24-kor a második derivált számolásánál a sor legvégén g_x'(z) helyett g_x''(z) kellene, hogy legyen írva+mondva.
- 028. videó: 12:41-kor a szórásnégyzet emlegetésével egyidőben "Var Y²" helyett csak "Var Y" kellene, hogy legyen írva.
- 043. videó: 03:12-kor a táblára, egy jobbra mutató nyílra írt "q" helyett "p" kellene, hogy legyen írva.

1. előadás:

jegyzet: 01-es jegyzet
videó (94+15 perc):
- 001. Eseménytér, valószínűség (14:27, 37 MB)
- 002. Tanmese a matematikai és fizikai modellezésről (14:50, 37 MB) (opcionális)
- 003. Valószínűségi változók és eloszlásuk (diszkrét eset) (12:20, 29 MB)
- 004. Várható érték (diszkrét eset), szórásnégyzet, szórás (27:39, 64 MB)
- 005. Feltételes valószínűség, függetlenség (33:04, 86 MB)
- 006. Bernoulli eloszlás (06:27, 16 MB)

2. előadás:

jegyzet: 02-es jegyzet 1-13. oldal
videó (103 perc):
- 007. Páronkénti és teljes függetlenség (19:07, 46 MB)
- 008. Nevezetes diszkrét eloszlások (38:24, 95 MB)
- 009. Folytonos valószínűségi változók és eloszlásuk (24:59, 59 MB)
- 010. Nevezetes folytonos eloszlások: egyenletes, exponencialis (20:05, 106 MB)

3. előadás:

jegyzet: 02-es jegyzet 14-17. oldal, 03-as jegyzet
videó (115+11 perc):
- 011. Gamma eloszlás (11:00, 57 MB) (opcionális)
- 012. Teljes valószínűség tétel, teljes várható érték tétel (22:17, 123 MB)
- 013. Generátorfüggvény és alaptulajdonságai (38:13, 98 MB)
- 014. Véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye; nevezetes eloszlások generátorfüggvénye (34:43, 87 MB)
- 015. Példa a generátorfüggvény alkalmazására: a Poisson eloszlás ritkítása (19:38, 48 MB)

4. előadás:

jegyzet: 04-es jegyzet, 05-ös jegyzet
videó (96+17 perc):
- 016. Véletlen tagszámú összeg várható értéke és szórásnégyzete (10:22, 34 MB)
- 017. Galton-Watson elágazó folyamat: definíció (29:09, 101 MB)
- 018. Galton-Watson folyamat: véges idejű eloszlások (15:00, 55 MB)
- 019. Galton-Watson folyamat: kritikusság, kihalás (36:55, 125 MB)
- 020. Galton-Watson folyamat: a teljes családfa mérete (04:57, 14 MB)
- 021. Galton-Watson folyamat: a teljes családfa-méret eloszlása (opcionális) (16:41, 55 MB)

0. gyakorlat:

jegyzet: gyakorló feladatsor megoldásokkal, 3.1-es feladat
videó (44 perc):
- 022. Példa Galton-Watson folyamatra: pilótajáték (44:07, 143 MB)

5. előadás:

jegyzet: 06-os jegyzet
videó (104+17 perc):
- 023. Poisson folyamat fogalma (44:07, 118 MB)
- 024. Poisson folyamat és exponenciális eloszlás (19:11, 51 MB)
- 025. A Poisson folyamat alternatív konstrukciójának bizonyítása (opcionális) (17:18, 47 MB)
- 026. Poisson folyamat: mese a ráta fogalmáról (09:34, 24 MB)
- 027. Poisson folyamatok egyesítése és színezése (31:26, 84 MB)

6. előadás:

jegyzet: 07-es jegyzet, 08-as jegyzet, 09-es jegyzet.
videó (93+9 perc):
- 028. Normális, avagy Gauss eloszlás (22:00, 60.0 MB)
- 029. Centrális határeloszlás tétel (13:55, 39.3 MB)
- 030. A CHT történetéből (opcionális) (04:15, 11.9 MB)
- 031. Miért szeretjük a határeloszlás tételeket (opcionális) (05:06, 13.8 MB)
- 032. Berry-Esseen tétel (22:58, 66.2 MB)
- 033. Nagy eltérés tételek, bevezetés (07:27, 20.8 MB)
- 034. Hoeffding egyenlőtlenség (11:37, 33.0 MB)
- 035. Példa a Hoeffding egyenlőtlenség alkalmazására (15:00, 42.1 MB)

7. előadás:

jegyzet: 10-es jegyzet.
képletgyűjtemény: Cramér féle rátafüggvények néhány nevezetes eloszláshoz
videó (71+15 perc):
- 036. A Cramér nagy eltérés tétel kimondása (42:07, 137.4 MB)
- 037. A Cramér rátafüggvény kiszámolása (opcionális) (15:19, 46.0 MB)
- 038. Példa a Cramér tétel alkalmazására: többségi szavazás (21:31, 66.2 MB)
- 039. A Cramér tétel és a Hoeffding egyenlőtlenség összehasonlítása (07:43, 22.8 MB)

8. előadás:

jegyzet: 11-es jegyzet.
videó (99 perc):
- 040. Diszkrét idejű Markov láncok: definíció, átmenetmátrix, kezdeti eloszlás (47:45, 143.6 MB)
- 041. Diszkrét idejű Markov láncok: trajektóriák valószínűsége (09:28, 27.1 MB)
- 042. Diszkrét idejű Markov láncok időfejlődése (25:26, 73.6 MB)
- 043. Diszkrét idejű Markov láncok: példák (16:14, 46.3 MB)

9. előadás:

jegyzet: 12-es jegyzet a 18-adik oldalig.
videó (104 perc):
- 044. Markov láncok stabilitasa - bevezetés (26:29, 84 MB)
- 045. Markov lánc stacionárius eloszlásainak kiszámolása (45:45, 153 MB)
- 046. Születési-halálozási folyamat stacionárius eloszlása (31:42, 108 MB)

10. előadás:

jegyzet: 12-es jegyzet a 18-adik oldaltól.
videó (100+5 perc):
- 047. Markov lánc állapotainak osztályozása (16:32, 56 MB)
- 048. Rekurrencia és tranziencia Markov láncban (28:48, 80 MB)
- 049. Periodicitás Markov láncban (11:40, 31 MB)
- 050. Stabilitási tételek Markov láncokra (10:15, 26 MB)
- 051. Kiegészítés a Markov láncok stabilitásához (opcionális) (04:54, 13 MB)
- 052. Ergodicitás Markov láncokban (32:15, 93 MB)

11. előadás:

jegyzet: 13-as jegyzet.
videó (121+15 perc):
- 053. Folytonos idejű Markov láncok - definíció (15:20, 42 MB)
- 054. Folytonos idejű Markov láncok - konstrukciók (38:45, 106 MB)
- 055. Folytonos idejű Markov láncok - időfejlődés (21:35, 57 MB)
- 056. Folytonos idejű Markov láncok - példák (19:41, 50 MB)
- 057. Folytonos idejű Markov láncok - hosszú távú viselkedés (26:05, 75 MB)
- 058. Folytonos idejű Markov láncok - kapcsolat a beépített diszkrét idejű Markov lánccal (opcionális) (14:47, 40 MB)

12. előadás:

jegyzet: 14-es jegyzet.
videó (64 perc):
- 059. Statisztika alapok: bevezetés, a statisztika alapfeladata (21:57, 69 MB)
- 060. Momentum-becslések: átlag, tapasztalati szórásnégyzet (17:41, 53 MB)
- 061. Korrigált tapasztalati szórásnégyzet (18:57, 57 MB)
- 062. Tapasztalati szórásnégyzet kiszámolása (05:16, 15 MB)

13. előadás:

jegyzet: 15-ös jegyzet.
videó (50+30 perc):
- 063. Maximum likelihood becslés, diszkrét eset (36:19, 100 MB)
- 064. Maximum likelihood becslés, folytonos eset (13:55, 40 MB)
- 065. Maximum likelihood_becslés normális eloszlásra (opcionális) (29:40, 84 MB)

14., utolsó előadás:

jegyzet: 16-os jegyzet és 17-es jegyzet.
Képletgyűjtemény: Statisztikai próbák képletei.
Eloszlás-táblázatok: Normális és t-eloszlás táblázata.
videó (120 perc):
- 066. Konfidencia-intervallumok (34:11, 107 MB)
- 067. Parametéres próbák 1: a legegyszerűbb u-próba (34:37, 109 MB)
- 068. u-próbák, t-próbák (29:09, 91 MB)
- 069. t-próba (22:27, 69 MB)

GYAKORLÓ FELADATOK VIDEÓI
A távoktatáshoz készült egy csomó jó videó gyakorló feladatok megoldásáról: gyakorlat-videók

RÉGI oktatási anyagok:

Minta-feladatok az első ZH-hoz (tavalyelőttről és azelőttről) itt és itt.

Minta-feladatok a második ZH-hoz (frissítve) itt.

A tavalyi és tavalyelőtti HF és ZH feladatsorok megoldásokkal itt találhatók.

Néhány korábbi HF, ZH és vizsgafeladatsor (amikor a tárgy elődje még vizsgás volt) itt található, jelentős részben megoldásokkal.

Régi gyakorló és házi feladatsorok, jelentős részben megoldásokkal együtt, ömlesztve itt.

Gyakorló feladatsorok generátorfüggvény és elágazó folyamat témához, részben megoldásokkal: itt, itt, itt, itt.

A már lejárt határidejű házi feladatok megoldásai itt vannak/lesznek.

Ismétlés

Feltételes valószínűség, függetlenség, teljes valószínűség tétele
Egydimenziós valószínűségi változók, súlyfüggvény, sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény
nevezetes eloszlások: diszkrét egyenletes, Bernoulli, binomiális, geometriai, Poisson, intervallumon egyenletes, exponenciális, normális
Várható érték, szórás
Feltételes eloszlás, teljes várható érték tétel

Egy régebbi, Székely Balázs által tartott előadás fóliái (több anyag, mint amit én elmondtam): 1. rész itt, 2. rész itt.

Generátorfüggvények, elágazó folyamatok

Generátorfüggvény definíciója, alaptulajdonságok
Független valószínűségi változók összegének generátorfüggvénye
Véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye
Egyszerű elágazó folyamat definíciója
Az egyes generációk elemszámának generátorfüggvénye, várható értéke
Kihalási valószínűség véges időben és végtelenben
A folyamat össz-elemszámának várható értéke, generátorfüggvénye

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

Nagy eltérések

Centrális határeloszlás-tétel, Berry-Esséen tétel
Hoeffding-egyenlőtlenség, Chernoff-korlát mint az ő speciális esete
Cramér-féle nagy eltérés tétel
Alkalmazás kapacitás méretezésre

Egy régebbi előadás fóliái itt (Székely Balázs műve).

Diszkrét idejű Markov láncok

Sztochasztikus folyamat általában
Sztochasztikus folyamat végesdimenziós eloszlásai
Markov-lánc, időben homogén Markov-lánc
Irányított-gráf reprezentáció
Véges trajektória valószínűsége, átmenetvalószínűség mátrix, kezdeti eloszlás vektor
Eloszlás n időben, Chapman-Kolmogorov egyenlőség
Állapotok osztályozása
Stacionárius Markov-láncok
Markov-láncok alaptétele, ergod tétel

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

Folytonos idejű Markov láncok

háromféle definíció: 1.) beágyazott diszkrét idejű Markov lánccal, 2.) ez egyes átmenetekhez tartozó exponenciális órákal, 3) absztrakt Markov tulajdonsággal
infinitezimális generátor, kapcsolata a beágyazott Markov lánccal
a generátor és a véges (t) idejű átmenetmátrixok kapcsolata, egyikből a másik kiszámolása
stacionárius eloszlás és kiszámolása
speciális eset: születési-halálozási folyamat
ergodtétel folytonos időben, és alkalmazásai.

Előadás-jegyzet itt (Székely Balázs műve).

Statisztikai alapok

mintavétel valószínűségi eloszlásból, statisztika fogalma
becslések várható értékre, szórásnégyzetre
torzítatlan és aszimptotikusan torzítatlan becslés, "tapasztalati szórásnégyzet" kontra "korrigált tapasztalati szórásnégyzet"
konzisztens becslés fogalma
paraméterbecslés Maximum Likelihood módszerrel
statisztikai próbák normális eloszlású val.változók várható értékére vonatkozó hipotézisekre, ha a szórás ismert: u-próba
egyoldali és kétoldali ellenhipotézis
egymintás és kétmintás próbák
statisztikai próbák normális eloszlású val.változók várható értékére vonatkozó hipotézisekre, ha a szórás ismertetlen: t-próba
nemparaméteres próbák: illeszkedésvizsgálat, függetlenségvizsgálat, homogenitásvizsgálat
a homogenitásvizsgálat mint a függetlenségvizsgálat speciális esete, ha az egyik vizsgált változó csak kétértékű

Egy, a szükségesnél jóval bővebb jegyzet a statisztika alapjairól itt (Bolla Marianna műve). Egy régebbi, a hipotézisvizsgálatról szóló előadás fóliái itt (Székely Balázs műve).