Valószínűségszámítás 1. II. éves matematikus-hallgatóknak, illetve Valószínűségszámítás (B4) II. éves mérnök-fizikus hallgatóknak 2003/2004. őszi félév, Szász Domokos

1. feladatsor Esménytér, események algebrája, valószínűség

1.1 Legyenek A, B és C tetszőleges események. Fejezzük ki halmazelméleti műveletekkel a következő eseményeket:

(a) az A, B és C események közül pontosan k következik be (k = 0, 1, 2);

(b) az A, B és C események közül legalább i bekövetkezik (i = 1, 2);

(c) az A, B és C események közül legfeljebb j következik be (j = 1, 2).

1.2 Ellenőrízzük az alábbi azonosságokat:

(a) A∘A = ∅; (b) A∘∅ = A; (c) A∘Ω = \overline{A}; (d) A∘(B∘C) = (A∘B)∘C; (e) (A∘B)∩B = B\A;

(f) A∩(B\C) = (A∩B)\(A∩C); (g) A∩B\C = (A\C)∩(B\C); (h) A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C);

(i) A \ [A \ (B \ C)] = A ∩ B ∩ \overline{C}; (j) A ∪ B = A ∘ B ∘ (A ∩ B);

(k) A ∘ C ∪ [B \ (A ∪ C)] = [(A ∘ B) \ (A ∩ C)] ∪ [(B ∘ C) \ (A ∩ C)]; (l) A ∘ C ⊂ (A ∘ B) ∪ (B ∘ C);

(m) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A);

(n) (A ∪ B) \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) ∪ (B \ C);

(o) (A ∪ B ∪ C) \ (A ∩ B ∩ C) = [A \ (B ∩ C)] ∪ [B \ (C ∩ A)] ∪ [C \ (A ∩ B)];

(p) (A ∪ B ∪ C ∪ D) \ (A ∪ B ∪ C) = D \ (A ∪ B ∪ C);

(r) A∩(\overline{A}∪B)∩(\overline{A}∪\overline{B}∪C)∩(\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}∪D) = A∩B∩C∩D; (s) [(A∩B)\(A∩C)]\(B∩C) = (A∩B)\C;

(t) (A ∩ B) ∪ C \ [(A ∩ C) ∪ B] = C \ (A ∪ B);

(u) [A ∩ (B ∪ C)] ∪ [B ∩ (C ∪ A)] ∪ [C ∩ (A ∪ B)] = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A).

1.3 Legyen Ω tetszőleges eseménytér és A ⊂ P(Ω) tetszőleges esemény algebra. Bizonyítsuk be, hogy (a) (A, ∘) Abel-csoport;

(b) (A, ∘, ∩) gyűrű (melyben ∘ az összeadás és ∩ a szorzás). A gyűrű nulleleme ∅, egységeleme Ω.

1.4 (a) Három különböző érmét és két azonos (megkülönböztethetetlen) kockát dobunk fel egyszerre. Hány különböző kimenetele lehet a kísérletnek. Reprezentáljuk a kísérlet eseményterét.

(b) Három fekete és két fehér kockát dobunk fel egyszerre. (Az azonos színű kockák megkülönböztethetetlenek). Hány különböző kimenetele lehet a kísérletnek. Reprezentáljuk a kísérlet eseményterét.

• 1.5 Három kockát dobunk fel egyszerre. Az azonos színű kockák megkülönböztethetetlenek. Hány különböző kimenetele lehet a kísérletnek

(a) ha a kockák azonos színűek;

(b) ha két kocka fekete és a harmadik fehér;

(c) ha mindhárom kocka különböző színű?

1.6 Legyenek A_{1}, A_{2}, …, A_{n} tetszőleges események. Mit jelent az A_{1} ∘ A_{2} ∘ … ∘ A_{n} esemény? Megjegyzés: Az 1.3 feladat (d) pontjának következtében a ∘ művelet asszociatív.

• 1.7 Egy urnában van 6 fehér, 6 zöld és 2 piros golyó. Benyúlunk az urnába és találomra kiveszünk 2 golyót. (a) Írjuk le az eseményteret.

(b) Hány megfigyelhető esemény lehetséges a szóbanforgó kísérletnél?

(c) Hány megfigyelhető esemény lehetséges, ha a két golyót egymás után húzzuk?

1.8 (a) Legyen A, B és C három tetszőleges esemény. Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenséget:

P(A ∘ C) ≤ P(A ∘ B) + P(B ∘ C).

Ez azt jelenti, hogy ha Δ(A, B) := P(A ∘ B) ‘távolságot’ értelmezzük az események között, akkor Δ(·, ·) kielégíti a háromszög egyenlőtlenséget.

(b) Bizonyítsuk be, hogy ha P(A ∘ B) = 0, akkor P(A) = P(B).

1.9 Mutassuk meg, hogy bármely A, B és C eseményre fennáll:

|P(A ∩ B) − P(A ∩ C)| ≤ P(B ∘ C).

1.10 Mutassuk meg, hogy bármely A és B eseményre fennáll:

−\frac{1}{4} ≤ P(A ∩ B) − P(A)P(B) ≤ \frac{1}{4}.

1.11 Mutassuk meg, hogy bármely A és B eseményre fennáll a

P^{2}(A ∩ B) + P^{2}(A ∩ \overline{B}) + P^{2}(\overline{A} ∩ B) + P^{2}(\overline{A} ∩ \overline{B}) ≥ \frac{1}{4}

egyenlőtlenség, és ebben az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha P(A) = P(B) = 1/2 és P(A∩B) = 1/4 (azaz az A és B események függetlenek). (Használjuk a lineáris algebrából jól ismert Schwarz egyenlőtlenséget.)

1.12 (a) Legyen A és B két esemény. Bizonyítsuk be, hogy ha P(A) ≥ 0.8 és P(B) ≥ 0.5, akkor P(A ∩ B) ≥ 0.3.

(b) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A_{1}, A_{2}, …, A_{n} eseményekre fennáll a következő egyenlőtlenség:

P(A_{1} ∩ A_{2} ∩ ⋯ ∩ A_{n}) ≥ P (A_{1}) + P (A_{2}) + ⋯ + P (A_{n}) − (n − 1).

1.13 Két azonos erejű játékos, Ádám és Éva ping-pongoznak. Tekintsük a következő eseményeket:

A := {Ádám négy meccsből (pontosan) hármat megnyer}

B := {Éva nyolc meccsből (pontosan) ötöt megnyer}

(a) \underline{Számolás nélkül} saccoljuk meg a két esemény valószínűségét. Melyik tünik valószínűbbnek?

(b) Ellenőrízzük intuiciónkat a valószínűségek kiszámolásával.

1.14 Három kockával dobva, mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege 10-nél nagyobb? Megjegyzés: Ez volt a nyerés feltétele a XVII. században divatos “passe dix” játékban.

• 1.15 Mi a valószínűbb: az-e, hogy egy kockával négyszer dobva, legalább egyszer hatost dobjunk, vagy hogy két kockával 24-szer dobva legalább egyszer mindkét kockával hatost dobjunk. Megjegyzés: Ez De Méré lovag feladata, 1654-ben Blaise Pascaltól kérdezte. Valójában már Cardano (1501-1576) is foglalkozott a kérdéssel. Próbáljanak olyan bizonyítást találni, amely zsebszámológép használata nélkül is eredményre vezet.

1.16 Mi a valószínűbb: 6 kockadobással legalább egyszer hatost dobni vagy 12 kockadobással legalább kétszer hatost dobni? Megjegyzés: A kérdés Isaac Newton és Samuel Pepys levelezésében fordul elő. Pepys-t nem győzte meg Newton (korrekt) érvelése.

1.17 Egy érmét addig dobunk, amíg kétszer egymás után azonos oldalára nem esik. Minden lehetséges n dobást igénylő sorozat valószínűsége legyen 2^{−n}. (Miért?) Írjuk le a kísérlet eseményterét. Mi az alábbi események valószínűsége:

(1) A := {a kísérlet hatnál kevesebb érmedobással véget ér}

(2) B := {a kísérlet páros számú érmedobás után ér véget.}

• 1.18 Anna, Bori és Cili egyforma erejű ping-pong játékosok. A következő módon játszanak: Anna és Bori mérik először össze az erejüket. Ezután a vesztes kiáll és a várakozó Cili áll be a helyére, hogy összemérje tudását az előző nyertessel. … Minden egyes meccs után a vesztes átadja a helyét a várakozónak. Folytatják ezt mindaddig, amíg valamelyikük kétszer egymasután nem nyer és a körmérkőzés győztesévé van kikiáltva. Írjuk le a körmérkőzés eseményterét. Az n páros csata után véget érő sorozatok valószínűsége legyen 2^{−n}. (Miért?) Mi a valószínűsége annak, hogy Anna, ill. Bori, ill. Cili nyeri a kőrmérkőzést?

• 1.19 (a) Számoljuk ki az ötös lottón 0, 1, 2, 3, 4 és 5 találat valószínűségét, három értékes jegy pontossággal. (b) Számoljuk ki az hatos lottón 0, 1, 2, 3, 4, 5 és 6 találat valószínűségét, három értékes jegy pontossággal.