Valószínűségszámítás 1. II. éves matematikus-hallgatóknak, illetve Valószínűségszámítás (B4) II. éves mérnök-fizikus hallgatóknak 2005/2006. őszi félév, Szász Domokos

7. feladatsor Folytonos eloszlásfüggvények, sűrűségfüggvények. Geometriai valószínűségek.

Memo: Eloszlásfüggvény: F : ℝ → [0, 1], F (x) := P(X < x). Tulajdonságai:

(1) monoton, nem-csökkenő;

(2) balról folytonos;

(3) lim_{x→−∞} F (x) = 0, lim_{x→∞} F (x) = 1. Sűrűségfüggvény: Ha az F (·) eloszlásfüggvény F (x) = ∫_{−∞}^{x} f(y)dy alakban állítható elő, akkor F (·) abszolút folytonos és f : ℝ → [0, ∞) az F (·) eloszlás sűrűségfüggvénye. A sűrűségfüggvény tulajdonságai:

(1) mérhető;

(2) nem-negatív;

(3) ∫_{−∞}^{∞} f(y)dy = 1. Ebben az esetben F (majdnem mindenhol) differenciálható és (majdnem mindenhol) F′(x) = f(x).

————————————————

7.1. Eloszlásfüggvények-e a következő függvények?

F (x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2π} arctg(x) (a)

F (x) = \{ \begin{matrix}0, & ha & x ≤ 0 \\ [x]/2, & ha & 0 < & x ≤ 2 \\ 1, & ha & 2 < & x \end{matrix} (b)

F (x) = \{ \begin{matrix}0, & ha & x ≤ 0 \\ x/(1 + x), & ha & 0 < & x \end{matrix} (c)

F (x) = exp(−e^{−x}) (d)

(e) F (x) = \{ \begin{matrix}0, & ha & x ≤ 0 \\ 1 − \{1 − exp(−x)\}/x, & ha & 0 < & x \end{matrix}

• 7.2 Milyen α és c értékekre lesz eloszlásfüggvény a következő függvény?

F (x) = exp(−ce^{−αx}).

• 7.3 Bizonyítsuk be, hogy ha F (x) eloszlásfüggvény, akkor bármely rögzített h > 0-ra az alább értelmesett G_{1}(x) és G_{2}(x) is eloszlásfüggvény.

G_{1}(x) := \frac{1}{h} ∫_{x}^{x+h} F (y)dy, G_{2}(x) := \frac{1}{2h} ∫_{x−h}^{x+h} F (y)dy.

Adjunk valószínűségszámítási értelmet a fenti formuláknak.

7.4 Legyen F (x) folyotnos eloszlásfüggvény és F (0) = 0. Mutassuk meg, hogy

G(x) = \{ \begin{matrix}0, & ha & x ≤ 0 \\ F (x) − F (x^{−1}), & ha & 0 < & x \end{matrix}

is eloszlásfüggvény. Adjunk valószínűségszámítási értelmet a fenti formulának.

7.5 Egy l hosszúságú ropit találomra választott pontban ketté törünk. Mi az így keletkezett darabok közül a rövidebbiknek az eloszlásfüggvénye?

• 7.6 (a) A [0, 1] intervallumban jelöljünk ki találomra (azaz: egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással) három pontot. Határozzuk meg a középső pont abszcisszájának az eloszlásfüggvényét.

(b) A [0, 1] intervallumban jelöljünk ki találomra (azaz: egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással) n pontot. Határozzuk meg a k-adik pont abszcisszájának az eloszlásfüggvényét.

7.7 Válasszunk az egységnégyzetben egy pontot véletlenszerűen (egyenletes eloszlással). Jelölje ξ e pontnak a távolságát a négyzet legközelebbi oldalától. Határozuk meg a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét.

7.8 Mondjuk meg, hogy az alábbi függvények közül melyek valószínűségi sűrűségfüggvények és melyek nem:

(• a) f(x) = \{ \begin{matrix}1/3 & ha & 0 ≤ x ≤ 1 \\ 0 & egyébként \end{matrix}

(• b) f(x) = \{ \begin{matrix}sin x + 1/(2π) & ha & 0 ≤ x ≤ 2π \\ 0 & egyébként \end{matrix}

(• c) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{−2} & ha & 1 ≤ x \\ 0 & egyébként \end{matrix}

(• d) f(x) = \{ \begin{matrix}x/(1 + x) & ha & 0 ≤ x \\ 0 & egyébként \end{matrix}

f(x) = \frac{1}{π} \frac{1}{1 + x^{2}} , −∞ < x < ∞ (• e)

f(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|}, −∞ < x < ∞ (• f)

(g) f(x) = \{ \begin{matrix}4x^{3}e^{−x^{4}} & ha & 0 ≤ x \\ 0 & egyébként \end{matrix}

(h) f(x) = \{ \begin{matrix}− log x & ha & 0 < x ≤ 1 \\ 0 & egyébként \end{matrix}

(i) f(x) = \{ \begin{matrix}2e^{−x}(1 − e^{−x}) & ha & 0 ≤ x \\ 0 & egyébként \end{matrix}

(j) f(x) = \{ \begin{matrix}−e^{−x}/x + (1 − e^{−x})/x^{2} & ha & 0 < x \\ 0 & egyébként \end{matrix}

f(x) = \frac{1}{π cosh(x)}, −∞ < x < ∞ (k)

f(x) = \frac{λ^{n}}{2(n − 1)!}|x|^{n−1}e^{−λ|x|}, −∞ < x < ∞, n ∈ ℕ, λ > 0. (⋆ l)

7.9 Az x tengely [0, 1] intervallumában véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot. Jelölje ξ e pont távolságát a sík (0; 1) koordinátájú pontjától. Határozzuk meg a ξ valószínűségi változó eloszlásának sűrűségfüggvényét.

• 7.10 Válasszunk az egységnégyzetben véletlenszerűen (egyenletes eloszlással) egy pontot. Jelölje ξ e pontnak a négyzet legközelebbi csúcsától való távolságát. Határozzuk meg a ξ valószínűségi változó eloszlásának sűrűségfüggvényét.

7.11 Az A, B és C pontokat válasszuk véletlenszerűen, egyenletes eloszlással és egymástól függetlenül egy kör kerületén. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az ABC háronszög hegyesszögű?

7.12 Egy ropit két, egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással kiválasztott pontban eltörünk. (a) Mennyi a valószínűsége annak hogy az így nyert három darabból háromszöget alkothatunk?

(b) Mennyi a valószínűsége annak hogy az így nyert három darabból hegyesszögű háromszöget alkothatunk? (Ez nehezebb!!!)

(c) Mennyi a valószínűsége annak hogy az így nyert három darab mindegyike rövidebb mint az a ∈ [l/3, l] rögzített szám? (l a ropi hossza)

7.13 Három egyenlő hosszú ropiból véletlenszerűen letörünk egy-egy darabot. A törési pontokat egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással választjuk ki.

(a) Mennyi a valószínűsége annak hogy az így nyert három darabból háromszöget alkothatunk?

(b) Mennyi a valószínűsége annak hogy az így nyert három darabból hegyesszögű háromszöget alkothatunk?

7.14 Három űrhajó leszáll a Marsra, egymástól függetlenül, egyenletes eloszlással választott pontokra. Két űrhajó akkor tud közvetlen rádiókapcsolatba lépni egymással, ha a Mars középpontjából induló helyzetvektoraik hegyesszöget zárnak be egymással. Bizonyítsuk be, hogy annak a valószínűsége, hogy a bármely két űrhajó kommunikálni tud egymással (szükség esetén a harmadik űrhajó közvetítésével) \frac{2+π}{4π}.

7.15 (a) Egy kör kerületén válasszunk n pontot egymástól függetlenül és egyenletes eloszlás szerint. A kerületen elhelyezkedő pontok egy konvex sokszöget katároznak meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy e sokszög lefedje a kör középpontját?

(b) Egy kör belsejében válasszunk n pontot egymástól függetlenül és egyenletes eloszlás szerint. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pontok konvex burka lefedje a kör középpontját?