Valószínűségszámítás 1. II. éves matematikus-hallgatóknak, illetve Valószínűségszámítás (B4) II. éves mérnök-fizikus hallgatóknak 2005/2006. őszi félév, Szász Domokos

8. feladatsor Eloszlások (folyt.): valószínűségi változók függvényei

8.1. X Poisson eloszlású valószínűségi változó, λ paraméterrel. Írjuk fel az Y := 2X +1 valószínűségi változó eloszlását és számítsuk ki az E(Y) várható értéket és a D^{2}(Y) szórásnégyzetet.

8.2 Legyen X a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Határozzuk meg az Y := X^{−1} és a Z := X(1 + X)^{−1} valószínűségi változók eloszlásfüggvényét és sűrűségfügvényét.

• 8.3 Legyen X standard normális eloszlású valószínűségi változó. (Azaz X normális eloszlású, amelynek várható értéke 0, szórásnégyzete 1.) Határozzuk meg az Y := 2 + |X| valószínűségi változó eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét.

• 8.4 Legyen X N(m, σ) normális eloszlású valószínűségi változó (E(X) = m, D^{2}(X) = σ^{2}). Határozzuk meg az Y := e^{X} log-normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét.

• 8.5 Legyen X folytonos eloszlású valószínűségi változó, melynek eloszlásfüggvénye F (x).

• (a) Határozzuk meg az Y := F (X) és a Z := − log(F (X)) valószínűségi változók eloszlásfüggvényét. ⋆ (b) Bizonyítsuk be, hogy ha G : ℝ → [0, 1] eloszlásfüggvény és G^{−1} : [0, 1] → ℝ-et a következő képpen értelmezzük: G^{−1}(u) := sup{x ∈ ℝ : G(x) < u}, akkor az Y := G^{−1}(F (X)) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye pontosan G.

8.6 Legyen X egy valószínűségi változó amelyre P(X = 0) = 0, és Y := X^{−1}. Mi a feltétele annak, hogy X és Y azonos eloszlásúak legyenek?

8.7 Legyen X LN(m, σ) log-normális eloszlású valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye

f(x) := 11_{(0,∞)}(x)\frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp \{\frac{(log x − m)^{2}}{2σ^{2}} \} .

(a) Bizonyítsuk be (lehetőleg számolás nélkül), hogy ha C > 0 és α ≠ 0 rögzített konstansok, akkor a Y := CX^{α} valószínűségi változó szintén log-normális eloszlású, melynek papraméterei m′ = αm + log C és σ′ = ασ.

(b) Valamely homokfajta részecskéi gömb alakúak, melyeknek átmérője (milliméterben mérve) lognormális eloszlású, m = −0.5 és σ := 0.3 paraméterekkel. Az egész homokmennyiség hány súlyszázaléka áll 0.5 mm-nél kisebb átmérőjű szemcsékből?

8.8 Legyen az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2π}} (e^{−(x−m)^{2}/2} + e^{−(x+m)^{2}/2}) .

(Ez azt jelenti, hogy X = Y + Z, ahol Y és Z független valószínűségi változók, P(Y = ±m) = 1/2 és Z standard normális eloszlású.) Vizsgáljuk meg, hogy m mely értékeire lesz a fenti sűrűségfüggvény unimodális (azaz: egy maximum pontú.)

• 8.9 A következő feladatokban adott a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, ill. sűrűségfüggvénye. Meg kell határozni az ξ függvényeként értelmezett X, Y, Z, … valószínűségi változók sűrűségfüggvényét (a) ξ egyenletes eloszlású a [−1, 1] intervallumban; X := ξ^{2}, Y := ξ^{3}, Z := tg(\frac{π}{2} ξ), U := sin(πξ).

(b) ξ exponenciális eloszlású λ paraméterrel; X := 3ξ + 2, Y := ξ^{2}, Z := \sqrt{ξ}.

(c) ξ standard normális eloszlású; X := ξ^{2}, Y := ξ^{−2}.

8.10 Bizonyítsuk be, hogy ha ξ Cauchy eloszlású valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{π} \frac{1}{1+x^{2}} , és X := 1/ξ, Y := 2ξ/(1 − ξ^{2}), Z := (3ξ − ξ^{3})/(1 − 3ξ^{2}), akkor X, Y és Z szintén Cauchy eloszlású.

Útmutatás: Használjuk a következő trigonometriai azonosságokat: ha ξ = tg(α), akkor 1/ξ = tg(\frac{π}{2} −α), = 2ξ/(1 − ξ^{2}) = tg(2α) és (3ξ − ξ^{3})/(1 − 3ξ^{2}) = tg(3α)

8.11 Egy ℕ-értékű X valószínűségi változó k-adik faktoriális momentuma E(X(X −1)(X −2) … (X −k+1)). Sok esetben a faktoriális momentumokat könnyebb kiszámolni, mint a momentumokat. De nyilvánvaló, hogy minden k ∈ ℕ-re a k-adik momentum kifejezhető az első k faktoriális momentum segítségével. Számoljuk ki a binomiális-, Poisson- és geometriai eloszlások faktoriális momentumait. (Adjunk zárt kifejezést tetszőleges k ∈ ℕ-re.)

• 8.12 Számoljuk ki az E(−1, 1), N(0, σ), EXP(λ) eloszlások momentumait. (Szorgalmasabbaknak ajánljuk az LN(m, σ) eloszlást is.) Adjunk zárt formulát k ∈ ℕ-re. Kommentáljuk a momentumok aszimptotikus viselkedését mikor k → ∞.

8.13 Legyen X standard Cauchy eloszlású, melynek sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{π} \frac{1}{1+x^{2}} . Nyilvánvaló, hogy

E(|X|) = ∞, de bármely ε > 0-ra E(|X|^{1−ε}) < ∞. Számoljuk ki a lim_{ε→0} {εE(|X|^{1−ε})} határértéket (ha egyáltalán létezik …).

8.14 Legyen X_{λ} Poisson eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke E(X_{λ}) = λ. Számoljuk ki az Y_{λ} := \sqrt{X_{λ}} valószínűségi változó szórásának határértékét, amint λ → ∞.

8.15 Egy ℕ-értékű X valószínűségi változó generátor függvénye g_{X} : [−1, 1] → ℝ, g_{X}(z) := E(z^{X}) = ∑_{k=0}^{∞} z^{k}P(X = k). (A generátrofüggvény analitikusan kiterjeszthető a komplex sík {z ∈ ℂ : |z| < 1} nyílt egységkörére.) Számoljuk ki a binomiális, Poisson- és geometriai eloszlások generátor függvényét.

8.16 Egy tetszőleges X valószínűségi változó karakterisztikus függvénye φ_{X} : ℝ → ℂ, φ_{X}(t) := E(e^{itX}) = ∫_{−∞}^{∞} e^{itx}dF_{X}(x). (Az integrál abszolút konvergens – ergo: a karakterisztikus függvény jól értelmezett – bármely valószínűségi változóra!) Számoljuk ki a BIN(p, n), P OI(λ), GEO(p), E(a, b), N(m, σ), EXP (λ), CAU(m, b) eloszlások karakterisztikus függvényét.