Valószínűségszámítás 1. II. éves matematikus-hallgatóknak, illetve Valószínűségszámítás (B4) II. éves mérnök-fizikus hallgatóknak 2005/2006. őszi félév, Szász Domokos

9. feladatsor Várható érték, szórásnégyzet, kovariancia stb. II.

9.1 Egy társaságban 60 véletlenszerűen kiválasztott ember van. Határozzuk meg azon napok számának várható értéket amelyeken a társaság 0,1,2,3, ill. 4 tagjának van születésnapja.

• 9.2 Egy l < 1 cm hosszú tűt dobunk véletlenszerűen egy 1 cm vonaltávolságú négyzethálóra. Határozzuk meg a ledobott tű által átmetszett háló-vonalak számának várható értékét. (Használjuk fel Buffon tű-problémájának megoldását.)

9.3 Aladár, Béla, Cili és Dömötör kockáznak: mindannyian egyszer dobnak két kockával és az a személy, aki a legnagyobb összeget dobja, nyer 120 petákot. Ha többen dobják ugyanazt a legnagyobb összeget, egyenlően osztoznak a 120 petákon. Ha Aladár dobott számainak összege 9, mennyi a nyereményének (feltételes) várható értéke?

9.4 Véletlenszerűen elhelyezünk egy huszárt egy üres sakktáblára. Mennyi a lehetséges lépései számának a várható értéke?

9.5 Számoljuk ki a BIN(p, n), P OI(λ), GEO(p), E(a, b), EXP (λ), N(m, σ) eloszlások várható éretékét és szórásnégyzetét.

• 9.6 n-szer dobunk egy kockával. Jelölje X, ill. Y a dobott egyesek illetve hatosok számát. Számoljuk ki Cov(X, Y)-t.

• 9.7 Legyenek X és Y olyan valószínűségi változók, amelyek csak két értéket vehetnek fel. (Ran(X) = {x_{1}, x_{2}}, Ran(Y) = {y_{1}, y_{2}}.) Bizonyítsuk be, hogy ha E(XY) = E(X)E(Y) (azaz: X és Y korrelálatlanok), akkor X és Y függetlenek is. (A korrelálatlanság általában nem implikálja a függetlenséget!)

9.8 Egy hibátlan érmével dobunk háromszor. Jelölje X ill. Y a dobott fejek illetve írások számát. Számoljuk ki a Z := XY valószínűségi változó várható értékét és szórását.

• 9.9 Egy hibátlan kockával dobunk tízszer. Jelölje X azt a számot, ahányszor páros dobást páratlan követ. Mennyi X várható értéke és szórása?

9.10 Egy urnában N golyó van, 1-től N-ig számozva. Visszatevéssel húzunk golyókat az urnából mindaddig, amíg mindegyik golyót legalább egyszer ki nem húzzuk. Jelölje X a szükséges húzások számát. Határozzuk meg E(X)-et és D^{2}(X)-et.

• 9.11 Tizenkét ember beszáll egy liftbe a földszinten. Egymástól függetlenül választanak cél-állomást az épület tíz emelete közül, egyenletesen eloszlással. Határozzuk meg a lift megállásai számának várható értékét és szórásnégyzetét.

9.12 (a) Hatszor dobunk egy kockával. Határozzuk meg a különböző eredmények számának várható értékét és szórásnégyzetét.

(b) Addig dobunk egy kockával. amíg négy különböző eredményt nem látunk. Határozzuk meg a szükséges dobások számának várható értékét és szórásnégyzetét.

(c) Addig dobunk egy kockával. amíg két egymásutáni dobásnak ugyanaz az eredménye. Határozzuk meg a szükséges dobások számának várható értékét és szórásnégyzetét.

9.13 Egy urnában a darab fehér és b darab piros golyó van. Visszatevés nélkül addig húzunk, amíg fehér golyót nem találunk. Mennyi az addig kihúzott piros golyók számának várható értéke és szórásnégyzete?