Valószínűségszámítás 1. II. éves matematikus-hallgatóknak, illetve Valószínűségszámítás (B4) II. éves mérnök-fizikus hallgatóknak 2005/2006. őszi félév, Szász Domokos

10. feladatsor Együttes eloszlások, valószínűségi változók függvényei II.

Memo: Két (vagy több) valószínűségi változó együttes eloszlása, jellemzői. Az (X, Y) valószínűségi változó pár együttes eloszlásfüggvénye: F : ℝ × ℝ → [0, 1]

F (x, y) := P(X < x, Y < y).

Az együttes eloszlásfüggvény primér tulajdonságai:

(a) erős monotonság: tetszőleges a ≤ b és c ≤ d-re

F (b, d) − F (b, c) − F (d, a) + F (a, c) ≥ 0;

(b) F (x, y) mindkét változójában balról folytonos.

(c) lim_{x→−∞} F (x, y) = lim_{y→−∞} F (x, y) = 0 és lim_{x,y→∞} F (x, y) = 1. Ha F (x, y) előáll F (x, y) = ∫_{−∞}^{x} ∫_{−∞}^{y} f(s, t)dsdt alakban, akkor az F (x, y) együttes eloszlásfüggvény abszolút folytonos és sűrűségfüggvénye f(s, t). A sűrűségfüggvény primér tulajdonságai:

(a) mérhető;

(b) nemnegatív;

(c) ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} f(s, t)dsdt = 1. Marginális (vagy perem-) eloszlások:

F_{1}(x) := P(X < x) = lim_{y→∞} F (x, y), F_{2}(y) := P(Y < y) = lim_{x→∞} F (x, y).

————————————————–

10.1 Általánosítsuk a fentieket (különös tekintettel a monotonságra és a limeszekre) n > 2 valószínűségi változó együttes eloszlására.

10.2 Mutassunk példát olyan kétváltozós F (x, y) függvényre, amely rendelkezik az eloszlásfüggvények (b) és (c) tulajdonságával, mindkét változójában külön-külön monoton nem-csökkenő, de nem (erősen) monoton a fenti (a) értelemben. Miért nem lehet egy ilyen függvény együttes eloszlásfüggvény?

• 10.3 Együttes eloszlásfüggvény-e a következő két függvény?

F (x, y) = exp(−e^{−(x+y)}), G(x, y) = exp(−e^{−x} − e^{−y}).

10.4 Legyenek F (x) és G(y) egydimenziós valószínűségi eloszlásfüggvények és α ∈ [−1, 1] rögzített. Bi-

zonyítsuk be, hogy

H(x, y) = F (x)G(y)(1 + α(1 − F (x))(1 − G(y)))

együttes eloszlásfüggvény, amelynek marginálisai F (x), illetve G(y).

10.5 Legyen (X, Y) az {(x, y) : x^{2} + y^{2} ≤ 1} egységkörben véletlenszerűen (egyenletes eloszlással) választott pont koordináta-párja. Határozzuk meg a peremeloszlások sűrűségfüggvényét.

• 10.6 Legyen az X és Y valószínűségi változók együttes eloszlásának sűrűségfüggvénye:

h(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{4}{5}(x + xy + y) & ha & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\ 0 & egyébként \end{matrix}

Határozzuk meg a peremeloszlásokat.

• 10.7 Az X és Y valószínűségi változók együttes eloszlásának sűrűségfüggvénye legyen h(x, y) = f(x)f(y) alakú, ahol f(x) egydimenziós sűrűségfüggvény. Legyen U = max{X, Y } és V = min{X, Y }. Határozzuk meg U és V együttes eloszlásfüggvényét és ennek sűrűségfüggvényét.

• 10.8 (a) Legyen (X_{1}, X_{2}, …, X_{d}) ∈ ℝ^{d} (együttesen) normális eloszlású valószínűségi vektorváltozó. Bizonyítsuk be, hogy ha korrelálatlanok (azaz páronkénti kovarianciájuk nulla), akkor (teljesen) függetlenek is. (Azaz: együttes Gauss eloszlás + korrelálatlanság ⇒ függetlenség.)

(b) Legyenek X és Y független N(0.1) eloszlású valószínűségi változók. Bizonyítsuk be, hogy az U := (X + Y)/\sqrt{2} és V := (X − Y)/\sqrt{2} valószínűségi változók is függetlenek és N(0, 1) eloszlásúak.

• 10.9 Legyenek X, Y és Z független valószínűségi változók. Legyen X, ill. Y eloszlásfüggvénye F (x), ill. G(x), és legyen P(Z = 1) = p = 1 − P(Z = 0). Határozzuk meg a következő valószínűségi változók eloszlásfüggvényeit:

T := ZX + (1 − Z)Y, U := ZX + (1 − Z) max{X, Y }, V := ZX + (1 − Z) min{X, Y }.

10.10 Legyenek X, Y és Z független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. (a) Határozzuk meg az S := Y − X és T := Z − Y valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényét.

(b) Határozzuk meg az U := [X] és V := X − [X] valószínűségi változók együttes eloszlását.

10.11 Legyenek X és Y független, CAU(0, 1) eloszlású valószínűségi változók. Bizonyítsuk be, hogy Z := (X + Y)/(1 − XY) is CAU(0, 1) eloszlású. Útmutatás: Használjuk a tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 − tgαtgβ) azonosságot.

10.12 Egy téglalap oldalainak hossza legyen 1 ill a. A két szemközti 1 hosszú oldalon egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással kijelölünk egy-egy véletlen pontot. Jelölje X e pontok távolságát. Meghatározandó X sűrűségfüggvénye.

10.13 (a) A [0, 1] intervallumban egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással kijelölünk két véletlen pontot. Meghatározandó távolságuk eloszlás- és sűrűségfüggvénye.

(b) Egységnyí oldalhosszú négyzet belsejében egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással kijelölünk két véletlen pontot. Meghatározandó távolságuk eloszlás- és sűrűségfüggvénye.

10.14 Meghatározandó az X⃗ és Y⃗ véletlen vektorok által definiált parallelogramma területének várható értéke a következő három esetben:

(a) X⃗ := O⃗A, Y⃗ := O⃗B, ahol A és B a sík egységkörének kerületén egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással kijelölt véletlen pontok.

(b) X⃗ és Y⃗ egymástól független standard Gauss eloszlású kétdimenziós vektorváltozó. (Azaz az X_{1}, X_{2}, Y_{1} és Y_{2} függetlenek és N(0, 1) eloszlásúak.)

(c) X⃗ := O⃗A, Y⃗ := O⃗B, ahol A és B a tér egységgömbjének felszínén egymástól függetlenül és egyenletes eloszlással kijelölt véletlen pontok.

10.15 Legyen X⃗ = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) háromdimenziós véletlen vektor, amelynek komponensei független N(0, 1) eloszlásúak. Definiáljuk a következő véltozókat:

ϱ := \sqrt{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2}}, ξ_{i} := X_{i}/ϱ, i = 1, 2, 3.

(a) Határozzuk meg ϱ sűrűségfüggvényét.

(b) Bizonyítsuk be, hogy ϱ és a ξ⃗ = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) vektorváltozó egymástól függetlenek, továbbá azt, hogy a ξ⃗ véletlen vektor egyenletes eloszlású az egységgömg felszínén.