Valószínűségszámítás 1. II. éves matematikus-hallgatóknak, illetve Valószínűségszámítás (B4) II. éves mérnök-fizikus hallgatóknak 2005/2006. őszi félév, Szász Domokos

12. feladatsor DeMoivre-Laplace CHT

Az alább következő 12.1-12.8 feladatokra numerikus választ kérek. Ehhez a φ és Φ függvények értéktáblázatait is használni kell.

12.1 A bimomiális eloszlás normális approximációjának felhasználásával számoljuk ki a következő kifejezés

numerikus közelítését:

\binom{3600}{2376}0.64^{2376}0.36^{1224}.

12.2 Mennyi annak a valószínűsége, hogy 10.000 véletlen számjegy között legfeljebb 968 darab 7-es fordul elő?

• 12.3 Mennyi annak a valószínűsége. hogy 12.000 kockadobás során előforduló hatosok száma 1900 és 2150 közé esik?

12.4 Határozzuk meg azt a k egész számot, amelyre igaz, hogy annak a valószínűsége, hogy 1000 érmedobás során a FEJek száma 490 és k közé esik, kb. 0.5.

• 12.5 10.000 érmedobás során 5.400-szor volt FEJ az eredmény. Indokolt-e gyanakodnunk arra, hogy a használt érme hamis?

12.6 Hányszor kell egy érmével dobnunk ahhoz, hogy 0.99-nál nagyobb valószínűséggel a FEJ eredmények száma a dobások számának 49%-a és 51%-a közé essen?

12.7 Dömötör rulettezik a kaszinóban. Minden egyes körben 10 petákot tesz ‘piros’-ra. 100 játék után 300 peták a vesztesége. Jogos-e a gyanúja, hogy svindliz a croupier? (A rulett-körön összesen 37 mező van 0-tól 36-ig számozva. Ezek közül egy (a 0 jelű) zöld, a fennmaradő 36-ból pedig 18 piros és 18 fekete.)

12.8 Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 100.000 poker leosztás során a fullok száma 128 és 158 közé essen.

Előzetes megjegyzés a 12.9 és 12.10 feladatokhoz: Ezekben a feladatokban a mintavétel “visszatevéses” módszerrel történik. Azaz: n-szer kérdeznek meg véletlenszerűen kiválasztott egyedeket. Az is előfordulhat (elenyészően kis valószínűséggel), hogy egy egyedet véletlen folytán többször is megkérdeznek.

12.9 Egy nagyváros lakosságának általunk ismeretlen p hányada dohányzik. Ezt a p hányadot akarjuk közelítőleg meghatározni egy mintában megfigyelt relatív gyakorisággal, a következő módon: megkérdezünk n véletlenszerűen kiválasztott lakost és megállapítjuk, hogy ezek között k állítja, hogy dohányzik. A NSZT-ből tudjuk, hogy ha n elég nagy, akkor az empirikusan megfigyelt p′ := k/n relatív gyakoriság igen nagy valószínűséggel jól közelíti az igazi p hányadot. Milyen nagynak kell n-et választanunk, ha azt akarjuk elérni, hogy az empirikusan megfigyelt p′ relatív gyakoriság legalább 0.95 valószínűségggel 0.005 hibahatáron belül közelítse a valódi (ismeretlen) p hányadot? Más szóval: határozzuk meg azt a legkisebb n_{0} természetes számot, amelyre igaz, hogy bármely p ∈ (0, 1)-re és n ≥ n_{0}-ra

P(|p′ − p| ≤ 0.005) ≥ 0.95.

• 12.10 Amerikai elnükválasztás előtt a Gallup közvéleménykuatató társaság meg akarja becsülni a Demokrata párti szavazók arányát New Hempshire és Texas államokban. Eleve tudják, hogy mindkét államban a Demokrata párti szavazók aránya 40% és 60% között van. Céljuk, hogy mindkét államban az arányokat 0.99-nél nagyobb valószínűséggel, 2% hibahatáron belül állapítsák meg. New Hempshire államban 1.2 millió polgár jugosult szavazni, míg Texas államban 12 millió. E számok alapján statisztikusuk azt állítja, hogy Texasban kb. tízszer akkora mintát kell megfigyelni, mint New Hempshire-ben. Jó-e ez az okoskodás, vagy rúgják ki a statisztikust? Az utóbbi esetben kb. hányszor nagyobb mintát kell Texasban megfigyelni, mint New Hempshireben?

12.11 (A Poisson eloszlás normális approximációja.)

Bizonyítsuk be, hogy λ → ∞-re

\sqrt{λ}p([λ + x\sqrt{λ}]; λ) = \frac{1}{\sqrt{2π}} exp(−x^{2}/2) + O(λ^{−1/2}),

és a hibatag egyenletesen kicsi, ha x egy korlátos halmazban marad. Következményként lássuk be, hogy

∑_{λ+α\sqrt{λ}<k<λ+β\sqrt{λ}} p(k; λ) → ∫_{α}^{β} φ(y)dy = Φ(β) − Φ(α)

amint λ → ∞.

12.12 Legyen X_{λ} Poissonn eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke E(X_{λ}) = λ. Számoljuk ki az Y_{λ} := \sqrt{X_{λ}} valószínűségi változó szórásának határértékét, amint λ → ∞.