Valószínűségszámítás gyakIV 2006. január 5.

1. A statisztikák szerint a házasságok 60 százaléka végződik válással. Ismert továbbá, hogy azon gyerekeknek, akiknek a szüleik is elváltak, a házassága 70 százalék valószínűséggel jut erre a szomorú végre.

(a) Dezsőke szülei boldog házasságban élnek, ő maga pedig most készül kimondani a boldogító Igent. Mi a valószínűsége, hogy nem fog elválni?

(b) Ernőkéről azt tudjuk, hogy legalább két nagyszülője elvált (egymástól). Mi annak a valószínüsége, hogy a másik kettő is?

(Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy minden házasságból ugyanannyi gyerek születik, vagyis a boldog házasságokban sem születik több (se kevesebb), mint a válással végződőkben.)

2. Télapó puttonyában rengeteg szaloncukor van, aminek negyede cukros, negyede diós, negyede mogyorós, negyede pedig mazsolás.

(a) Pistike a mazsolásat szereti a legjobban. Hány szaloncukrot kell kérnie Télapótól, hogy 90 százalék valószínűséggel legyen közte mazsolás?

(b) Télapó a gyerekeknek egyesével adogatja a szaloncukrokat, egészen addig, amíg nem kapnak legalább két különböző fajtát. Mi a valószínűsége, hogy Jancsika pont ötöt kap?

(c) Móricka egész évben nagyon jó gyerek volt. Neki Télapó addig adogatja egyesével a szaloncukrokat, amíg nem lesz neki mind a négy féléből. Várhatóan hányat kap?

3. Egy Tesco Gazdaságos Villanykörte élettartama (órákban mérve) exponenciális eloszlású valószínűségi változó, aminek a várható értéke 1000. Juliskának két ilyen körtéje van, és ha az egyik kiég, kicseréli a másikra.

(a) Mi a valószínűsége, hogy a két körte összesen legalább 1000 órát kibír?

(b) Jucikának is két ugyanilyen körtéje volt, és tudjuk, hogy nála 1000 óra után még világít a lámpa. Mennyi a valószínűsége, hogy még mindig az első körtét használja?

4. A Megyében a felnőtt hobbitok p hányada dohányzik. A Megyei Pipaszaküzlet megbízásából a Megyei Statisztikai Hivatal felmérést készített, melynek során 1600 véletlenül választott felnőtt hobbitot kérdeztek meg, és közülük 960 vallotta magát dohányosnak. Normális eloszlás segítségével becsüljük meg, hogy 95 százalékos biztonsággal legfeljebb mekkora hibát követünk el, ha ez alapján p-t 0.6-del becsüljük!