Valószínűségszámítás gyakIIV 2006. január 19.

1. Legyen az (X; Y) val. vektorváltozó együttesen normális eloszlású, aminek a

várható érték vektora (−2; −4), a kovariancia-mátrixa pedig [2 \frac{5}{2}_{\frac{5}{2} \frac{17}{4}}]. Mi a

valószínűsége, hogy az (U; V) = (2X −Y +3; X −2Y −3) (síkbeli) pont beleesik a (0; 0), (0; 6) és (6; 0) pontok által meghatározott háromszögbe?

2. Legyen az (X, Y) val. vektorváltozó együttes eloszlásának sűrűségfüggvénye

f(x, y) = \begin{cases}c sin^{2} x cos y & ha (x, y) ∈ T \\ 0 & ha nem \end{cases}

, ahol T a (1; 0), (0; 1), (−1; 0) és (0; −1) pontok által meghatározott négyzet, c pedig alkalmas konstans. Mennyi X és Y kovarianciája?

3. X, Y és Z legyenek független valószínűségi változók, X ∼ Bin(10; \frac{1}{6}), Y ∼ Bin(20; \frac{1}{6}), Z ∼ Bin(30; \frac{1}{6}). Mi X + Y + Z eloszlása?

4. Szatmárban a tyúk alá tett tojásoknak átlag 60 százeléka szokott kikelni. A kikelt tojások átlag \frac{1}{3}-ából lesz kakas. Történt egyszer, hogy egy fészekaljban lévő 36 tojásból csak egy kakas lett (pontosan egy). Mi a valószínűsége, hogy legyalább 18 csirke jut rá?