Valószínűségszámítás 1. ZH 2005. október 21.

1. Móricka és Pistike ping-pongoznak. Minden játszmát a többitől függetlenül Móricka p, Pistike pedig q valószínűséggel nyer meg, ahol p > 0, q > 0 és p + q = 1. A játék akkor ér véget, ha valaki két egymás utáni játszmát megnyer.

(a) Mi a valószínűsége, hogy Móricka nyeri az utolsó játszmát?

(b) Mi a valószínűsége, hogy ugyanaz nyeri az első játszmát, mint az utolsót?

(c) Ha tudjuk, hogy az utolsó játszmát Móricka nyerte, mennyi a valószínűsége, hogy az elsőt is?

2. Egy tesztrendszerű vizsgán mind a 21 kérdésre igennel vagy nemmel kell válaszolni. Sikeres a vizsgája annak, aki legalább 11 kérdésre helyesen válaszol. Sajnos mind az n hallgató teljesen felkészületlen, ezért vaktában tippelnek, egymástól is függetlenül. Mi a valószínűsége, hogy a sikeresen vizsgázó hallgatók száma páros? Aki tud, adjon zárt formulát!

Bónusz feladat pirospontért: Mi a valószínűsége, hogy a sikeresen vizsgázó hallgatók száma osztható hárommal? (segítség: nézzük meg az a_{k} = \frac{z^{k}+z^{−k}+1}{3} sorozatot, ahol z = −\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})

3. Egy mogyorós-mazsolás Boci csokiban átlagosan 30 mazsola-darab és 30 mogyoró-darab van. A csokit 24 egyforma nagy darabra törjük, és megeszünk közülük kettőt. Mennyi a valószínűsége, hogy az elfogyasztott mazsola- és mogyoródarabok együttes száma legalább 3?