Valószínűségszámítás 2. ZH 2005. december 2.

1. Legyen az (X, Y) pont egyenletes eloszlású a (−1, 0), (0, 0), (0, −1) pontok által meghatározott háromszögben.

(a) Mi lesz az (X, Y) 2-dimenziós eloszlás kovariancia-mátrixa?

(b) Legyen Z = X + 2Y. Mi lesz az (X, Z) 2-dimenziós eloszlás kovarianciamátrixa?

2. Pistike randevút beszélt meg Juliskával este 6-ra. Pistike két úton is eljuthat a megbeszélt randevú helyszínére, a két út között érmedobással dönt. Az utakon való végigjutás ideje két valószínűségi változót határoz meg: A-t és B-t.

• Az A sűrűségfüggvénye (percekben számolva):

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & , ha x < 5 vagy x > 20 \\ \frac{2}{75}(x − 5) & , ha 5 ≤ x < 10 \\ \frac{1}{75}(20 − x) & , ha 10 ≤ x ≤ 20 \end{matrix}

• A B sűrűségfüggvénye pedig:

g(x) = \{ \begin{matrix}0 & , ha x ≤ 5 \\ \frac{1}{10} exp (−\frac{x−5}{10}) & , ha x > 5 \end{matrix}

Pistike 6-kor indul útnak, mert elfelejtette nézni az órát. Mi a valószínűsége, hogy találkoznak, ha Juliska nem egy türelmes természet, és maximum tíz percet hajlandó várni?

3. Matekórán a tanár néni öt kérdést tesz fel a gyerekeknek. A 30 fős osztályból minden kérdésre csak Pistike tudja a választ, a tanár néni mégis minden kérdésnél véletlen sorrendben szólítja fel a gyerekeket (egy kérdésen belül ismétlés nélkül, ám függetlenül attól, hogy korábbi kérdéseknél kit szólított fel), egészen addig, amíg sor nem kerül Pistikére, aki végre válaszol.

(a) Mi a valószínűsége, hogy az első kérdésnél Jancsikát nem szólítja fel a tanár néni? És annak, hogy se Jancsikát, se Juliskát nem szólítja fel az első kérdésnél?

(b) Jelölje X azon gyerekek számát, akiket egész órán egyszer se szólított fel a tanár néni. Mennyi X várható értéke és szórása?

(c) bónusz feladat unalom ellen: Jelölje Y az összes felszólított gyerek számát, multiplicitással (pl. Pistikét 5-ször is szólítja). Mennyi Y várható értéke és szórása?