]>
Tételezzük fel, hogy a véletlen kísérletünk, amit végrehajtunk Bernoulli kísérleteknek egy sorozata paraméterrel. Emlékeztetünk arra, hogy az első kísérletben a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési száma
binomiális eloszlású és paraméterekkel. Ebben a részben tanulmányozni fogjuk azt a valószínűségi változót, amely megadja azt a számot, amikor -adik alkalommal következik be a sikeres kimenetelű kísérlet:
Megjegyezzük, hogy azon kísérleteknek a száma, ahány kísérlet szükséges ahhoz, hogy az első alkalommal következzen be a sikeres kimenetelű kísérlet. Ez, mint tudjuk geometriai eloszlású az halmazon paraméterrel.
Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor, ha és .
Az 1. gyakorlatot, a függetlenséget és a binomiális eloszlást felhasználva mutassuk meg, hogy
A 2. gyakorlatban szereplő sűrűségfüggvény által definiált eloszlás negatív binomiális eloszlás néven ismert; két paramétere van, a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési száma és annak valószínűsége, hogy a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezik.
A negatív binomiális kísérletben, változtassuk értékét és értékét a görgető sáv segítségével és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját. A kiválasztott és értékeire hajtsuk végre a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság függvény sűrűségfüggvényhez való nyilvánvaló konvergenciáját.
Mutassuk meg, hogy a binomiális és a negatív binomiális sorozat egymás inverze abban az értelemben, hogy
Ez a tulajdonság definíciójában implicit megtalálható a fejezet elején. Konkrétan, bizonyítsuk be, hogy minden esemény, ami kifejezhető a negatív binomiális változók segítségével, az kifejezhető binomiális változók segítségével is!
Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor, ha . Így a sűrűségfüggvény előszőr növekszik, majd csökken, maximális érétkét az helyen veszi fel. Ez az érték az eloszlás módusza és ezért az eloszlás egymóduszú binomiális.
A következőkben definiálni fogunk egy valószínűségi változót, amely megadja az egymásután következő sikeres kimenetelű kísérletek bekövetkezése közötti kísérletek számát.. Legyen
Mutassuk meg, hogy független valószínűségi változóknak egy sorozata, mindegyik geometriai eloszlású az halmazon, paraméterrel. Továbbá,
Statisztikai értelemben megfelelel egy paraméterű, geometriai eloszlásból vett mintavételnek, úgy, hogy minden esetén, ebből az eloszlásból vett elemű, véletlen minta. A az sorozathoz tartozó részletösszeg folyamat, negatív binomiális eloszlású változóknak egy sorozata. Statisztikai értelemben az véletlen mintának megfelelő mitaátlag; ez a valószínűségi változó megadja az első sikeres kimenetelű esemény bekövetkezése közötti átlagos kísérlet számot. A részletösszeg folyamatokat általánosabban a Véletlen minták fejezetben tanulmányozzuk.
A következő tulajdonságok bizonyításához használjuk fel a részletösszeg reprezentációt.
Valójában minden részletösszeg folyamat megfelel egy független, azonos eloszlású sorozatnak, amely stacionárius és független növekményű lesz.
A várható értéke, szórásnégyzete és generátorfüggvénye könnyen következik a független, azonos, geometriai eloszlású változók részletösszeg reprezentációjából.
Mutassuk meg, hogy .
Mutassuk meg, hogy .
Mutassuk meg, hogy esetén.
A negatív binomiális kísérletben változtassuk és értékét a görgetősávval és figyeljük meg az átlag/szórás méretét és helyzetét a grafikonon. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a mintaátlag és empirikus szórás nyilvánvaló konvergenciáját az eloszlás várható értékéhez és szórásához.
Ellenőrizzük a 8. gyakorlat, 9. gyakorlat, és a 10. gyakorlat eredményét közvetlenük a sűrűságfüggvény használatával. Megjegyezzük, hogy ez a módszer lényegesen több munkát kíván.
Tételezzük fel, hogy és a kísérletben független valószínűségi változók, és hogy negatív binomiális eloszlású és paraméterekkel, továbbá negatív binomiális eloszlású és paraméterekkel. Mutassuk meg, hogy negatív binomiális eloszlású és paraméterekkel.
A negatív binomiális kísérletben különböző értékeivel kezdjük és legyen . Folyamatosan növeljük értékét 1-esével, és minden alkalommal figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját.
Annak ellenére, hogy a értékének maximuma 5 lehet, láthatjuk a harang alakot. Ez a központi határeloszlás-tétel következménye, mivel a negatív binomiális valószínűségi változó felírható, mint független, azonos eloszlású (gemetriai) valószínűségi változó összege.
Mutassuk meg, hogy az alább megadott standardizált változó standard normális eloszláshoz konvergál, ha .
Gyakorlati szempontból ez az eredmény azt jelenti, hogy ha
nagy
, akkor
eloszlása közelítőleg normális a 8. gyakorlatban megadott várható értékkel és a 9. gyakorlatban megadott szórásnégyzettel. Hogy mennyire nagynak kell lennie
-nak, az
-től függ. Emlékeztetünk arra, hogy amikor alkalmazzuk a normális megközelítést, a folytonossági korrekció használatára is szükség lehet, mivel a negatív binomiális eloszlás diszkrét.
Tételezzük fel, hogy . Mutassuk meg, hogy
ahol . Így, ha a sikeres kimenetelű kísérlet -szor következik be az első kísérletből, akkor a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési számának vektora egyenletes eloszlású az halmazon. Ezzel ekvivalens módon, a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési számának vektora ugyanolyan eloszlású,mint az elemű halmazból véletlenszerűen, visszatevés nélkül választott elemű mintának megfelelő rendstatisztikák vektora.
Mutassuk meg, hogy
Az -edik rendtatisztikának ugyanez az eloszlása, amikor a elemű mintát az populációból választjuk véletlenszerűen és visszatevés nélkül.
Egy szabályos dobókockát annyiszor dobunk fel, amig három 1-est nem kapunk. Jelölje a dobások számát!
Egy pénzérmét újra meg újra feldobunk. A 10-edik fejet a 25-ödik dobásra kapjuk.
Annak valószínűsége, hogy egy bizonyos típusú rakéta nem talál célba, 0.02. Jelölje a negyedik sikertelen lövés sorszámát!
A negatív binomiális kísérletben, legyen és . Végezzül el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve. Számítsuk ki és hasonlítsuk össze a következőket:
Egy pénzérmét addig dobálunk, amíg meg nem dobjuk az 50-edik fejet.
Tételezzük fel, hogy egy szórakozott professzornak (van egyáltalán másmilyen?) gyufaszál van a jobb és gyufaszál van a bal zsebében. Amikor rá akar gyújtani a pipájára, 1/2 - 1/2 valószínűséggel választ gyufaszálat valamelyik zsebéből. Ki akarjuk számolni annak a valószínűségi változónak a sűrűségfüggvényét, amely valószínűségi változó megadja abban a zsebében lévő maradék gyufaszálak számát, amikor észreveszi, hogy a másik zsebéből kifogyott a gyufa. Ez a probléma Banach féle gyufás probléma néven ismert, nevét Stefan Banach matematikusról kapta, aki tudvalevőleg a fenti módon gyújtott pipára.
Újrafogalmazzuk a problémát a negatív binomiális eloszlás segítségével kifejezve. Nyilvánvalóan a gyufaszál választás Benoulli kísérleteknek egy sorozatát alkotja paraméterrel. Speciálisan, visgálhatjuk a gyufaproblémát a következőképpen: ha a jobb zsebből húzunk gyufaszálat, akkor az játékos nyer, ha a bal zsebből húzunk gyufaszálat, akkor az játékos nyer. Kísérleteknek egy hipotetikusan végtelen sorozatában jelölje azon kísérleteknek a számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy az játékos nyerjen és alkalommal, és azon kísérleteknek a számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy az játékos nyerjen alkalommal. Megjegyezzük, hogy és mindegyike negatív binomiális eloszlású és paraméterekkel.
esetén mutassuk meg, hogy az
esetén mutassuk meg, hogy az
Az előző két gyakorlat eredményét kombinálva követketessünk arra, hogy
Megoldhatjuk a nem szimmetrikus Banach gyufás problémát felhasználva a fenti módszereket. Így tételezzük fel, hogy a professzor jobb zsebébe valószínűséggel, bal zsebébe valószínűséggel nyúl, ahol . Az elemzésben lényeges változás az, hogy negatív binomiális eloszlású és paraméterekkel, míg negatív binomiális eloszlású és paraméterekkel.
Mutassuk meg, hogy
Tételezzük fel, hogy van két csapat és , akik Bernoulli kísérleteknek egy sorozatát játsszák, annak valószínűsége, hogy nyeri a játékot. Nemnegatív és egészek esetén jelölje annak valószínűségét, hogy pontot nyer, mielőtt pontot nyer. Számítsuk ki értékét, ami történetileg egy híres probléma, a pontok problémája néven ismert, Pierre de Fermat és Blaise Pascal oldották meg.
Magyarázzuk meg, hogy miért állnak fenn a Bernoulli kísérlet feltételei (a kísérletek függetlensége, a sikeres kimenetel konstans valószínűsége) azokban a sportjátékokban, amikben van készséget, gyakorlatot kívánó összetevő, és véletlen összetevő is.
A pont-problémának létezik egy könnyű megoldása, felhasználva a binomiális eloszlást; ez lényegében Pascal megoldása. Tegyünk úgy, mintha kísérletet végeznénk (játszanánk) tekintet nélkül a kimenetelre és jelölje azon kísérletek számát, amikor nyert. Definíció szerint binomiális eloszlású és paraméterekkel.
Mutassuk meg, hogy játékot nyer, mielőtt játékot nyerne akkor és csak akkor, ha
Felhasználva az előző gyakorlat eredményét, mutassuk meg, hogy
A pont-problémának létezik egy másik könnyű megoldása, felhasználva a negatív binomiális eloszlást. Egy bizonyos értelemben ez az az eset, amikor a binomiális és negatív binomiális eloszlások között ekvivalencia van. Először tegyünk úgy, mintha vég nélkül játszanánk tekintet nélkül a kimenetre és jelölje a játékok számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy nyerjen játékot. Definíció szerint negatív binomiális eloszlású és paraméterekkel.
Mutassuk meg, hogy játékot nyer, mielőtt játékot nyerne akkor és csak akkor, ha
!Felhasználva az előző gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy
!Mutassuk meg, hogy fix és esetén, 0-tól 1-ig nő, ha 0-tól 1-ig nő!
Mutassuk meg, hogy
Mutassuk meg, hogy minden , és értékére!
A pont-probléma kísérletben, változtassuk , , és értékét, és figyeljük meg a valószínűség változásait. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság valószínűséghez való nyilvánvaló konvergenciáját!
Az első kísérlet eredményével kapcsolatos feltétel, hogy levezessük a következő rekurzív összefüggést és korlátozó feltételeket (ez volt lényegében Fermat megoldása):
Tanulmányozzuk azon kísérletek számát, amelyek szükségesek a pont kísérlet problémájához! Jelölje azon kísérletek számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy vagy nyerjen pontot, vagy nyerjen pontot, amelyik először előfordul (bekövetkezik). A negatív binomiális eloszlás eloszlásának egy könnnyű levezetését adja. Képzeljük el újra, hogy a kísérletet korlátlan sokszor végezzük el. Jelölje a kísérletek számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy pontot nyerjen és jelölje azon kísérletek számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy pontot nyerjen.
Mutassuk meg, hogy esetén
Fontos a pont-problémának az a speciális esete, amikor mert ez megfelelel annak, amikor és a "ki nyer többször játékot játékból" játéksorozatot játssza. Amelyik játékos előszőr nyer -szer, az nyeri a sorozatot is. Ilyen sorozatokat gyakran használnak értékkel a körmérközéses bajnokságokban. Bevezetjük a következő jelölést: annak a valószínűsége, hogy az játékos nyeri a sorozatot. A pont-problémával kapcsolatos általános eredményeinkből következik, hogy
Tételezzük fel, hogy . Adjuk meg explicite annak valószínűségét, hogy nyeri a játékot a következő esetekre:
A pont-probléma kísérletekben, változtassuk , , és paraméterek értékét ( feltétel megőrzésével), és jegyezzük fel, hogyan változik a valószínűség. Szimuláljunk "ki nyer többet 5 játékból" sorozatot., választásával. Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság valódi valószínűséghez történő nyilvánvaló konvergenciáját.
Mutassuk meg, hogy minden és értékére!
A pont-probléma kísérletekben, változtassuk az , , és paraméterek értékét ( feltételek megőrzésével), és jegyezzük fel, hogyan változik a valószínűség. Szimuláljunk egy "ki nyer többet 7 játékból" sorozatot , választásával! Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve! Figyeljük meg a relatív gyakoriság valódi valószínűséghez történő nyilvánvaló konvergenciáját!
Tételezzük fel, hogy ! Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor, ha ! Értelmezzük az eredményt!
Jelölje a sorozatban a kísérletek számát. Felhasználva a 37. gyakorlatot mutassuk meg, hogy
Számoljuk ki egy "ki nyer többet 7 játékból" sorozatban explicit módon a játékok számának sűrűségfüggvényét, várható értékét és szórását a következő valószínűségekre: :
A probléma Chevalier de Mere-től ered, akit az érdekelt, hogyan osztozkodjon két játékos, ha a játék félbeszakad. Speciálisan tegyük fel, hogy az és játékosok mindegyike felajánl pénzegységet és Bernoulli kísérletet játszanak addig, amíg valamelyikük egy előre definiált számú játokot nem nyer. A nyertes ekkor megkapja a teljes összeget.
Ha a játék megszakad, amikor a győzelemhez -nak még -szer kellene nyernie és -nek még -szer kellene nyernie, bizonyítsuk be, hogy a nyereményt és között a következőképpen igazságos elosztani:
Tételezzük fel, hogy az és játékosok mindegyike $50-ral fogad. A játékosok feldobnak egy szabályos pénzérmét, amíg az egyikük 10-szer nem nyer. A nyertes elviszi a teljes összeget. Tételezzük fel, hogy a játék akkor szakad meg (jön a szerencsejátékokat ellenőrző rendőrség), amikor 5-ször nyert és 3-szor nyert. Hogyan osztozkodjanak a betett összegen (a 100$-on)?