]> A negatív binomiális eloszlás
  1. Virtuális laboratóriumok
  2. 10. Bernoulli kísérletek
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6

4. A negatív binomiális eloszlás

Alapelmélet

Tételezzük fel, hogy a véletlen kísérletünk, amit végrehajtunk Bernoulli kísérleteknek egy X X 1 X 2 sorozata p 0 1 paraméterrel. Emlékeztetünk arra, hogy az első n kísérletben a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési száma

Y n i 1 n X i

binomiális eloszlású n és p paraméterekkel. Ebben a részben tanulmányozni fogjuk azt a valószínűségi változót, amely megadja azt a számot, amikor k -adik alkalommal következik be a sikeres kimenetelű kísérlet:

V k n 1 2 Y n k

Megjegyezzük, hogy V 1 azon kísérleteknek a száma, ahány kísérlet szükséges ahhoz, hogy az első alkalommal következzen be a sikeres kimenetelű kísérlet. Ez, mint tudjuk geometriai eloszlású az halmazon p paraméterrel.

A sűrűségfüggvény

Mutassuk meg, hogy V k n akkor és csak akkor, ha X n 1 és Y n 1 k 1 .

Az 1. gyakorlatot, a függetlenséget és a binomiális eloszlást felhasználva mutassuk meg, hogy

V k n n 1 k 1 p k 1 p n k ,  n k k 1 k 2

A 2. gyakorlatban szereplő sűrűségfüggvény által definiált eloszlás negatív binomiális eloszlás néven ismert; két paramétere van, k a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési száma és p annak valószínűsége, hogy a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezik.

A negatív binomiális kísérletben, változtassuk k értékét és p értékét a görgető sáv segítségével és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját. A kiválasztott k és p értékeire hajtsuk végre a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság függvény sűrűségfüggvényhez való nyilvánvaló konvergenciáját.

Mutassuk meg, hogy a binomiális és a negatív binomiális sorozat egymás inverze abban az értelemben, hogy

Y n k  akkor és csak akkor, ha  V k n

Ez a tulajdonság V k definíciójában implicit megtalálható a fejezet elején. Konkrétan, bizonyítsuk be, hogy minden esemény, ami kifejezhető a negatív binomiális változók segítségével, az kifejezhető binomiális változók segítségével is!

Mutassuk meg, hogy V k n V k n 1 akkor és csak akkor, ha n 1 k 1 p . Így a sűrűségfüggvény előszőr növekszik, majd csökken, maximális érétkét az 1 k 1 p helyen veszi fel. Ez az érték az eloszlás módusza és ezért az eloszlás egymóduszú binomiális.

A sikeres kimenetelű kísérletek között eltelt idők

A következőkben definiálni fogunk egy valószínűségi változót, amely megadja az egymásután következő sikeres kimenetelű kísérletek bekövetkezése közötti kísérletek számát.. Legyen

U 1 V 1  és  U k V k V k 1     k 2 3  esetére 

Mutassuk meg, hogy U U 1 U 2 független valószínűségi változóknak egy sorozata, mindegyik geometriai eloszlású az halmazon, p paraméterrel. Továbbá,

V k i 1 k U i

Statisztikai értelemben U megfelelel egy p paraméterű, geometriai eloszlásból vett mintavételnek, úgy, hogy minden k esetén, U 1 U 2 U k ebből az eloszlásból vett k elemű, véletlen minta. A V az U sorozathoz tartozó részletösszeg folyamat, negatív binomiális eloszlású változóknak egy sorozata. Statisztikai értelemben V k k az U 1 U 2 U k véletlen mintának megfelelő mitaátlag; ez a valószínűségi változó megadja az első k sikeres kimenetelű esemény bekövetkezése közötti átlagos kísérlet számot. A részletösszeg folyamatokat általánosabban a Véletlen minták fejezetben tanulmányozzuk.

A következő tulajdonságok bizonyításához használjuk fel a részletösszeg reprezentációt.

  1. Ha j k akkor V k V j ugyanolyan eloszlású, mint V k j , nevezetesen k j és p paraméterű negatív binomiális eloszlás. Így a V folyamat stacionárius növekményű.
  2. Ha k 1 k 2 k 3  ···   akkor V k 1 V k 2 V k 1 V k 3 V k 2 független valószínűségi változóknak egy sorozata. Így a V folymata független növekményű.

Valójában minden részletösszeg folyamat megfelel egy független, azonos eloszlású sorozatnak, amely stacionárius és független növekményű lesz.

Momentumok

A V k várható értéke, szórásnégyzete és generátorfüggvénye könnyen következik a független, azonos, geometriai eloszlású változók részletösszeg reprezentációjából.

Mutassuk meg, hogy V k k 1 p .

Mutassuk meg, hogy V k k 1 p p 2 .

Mutassuk meg, hogy t V k p t 1 1 p t k t 1 1 p esetén.

A negatív binomiális kísérletben változtassuk k és p értékét a görgetősávval és figyeljük meg az átlag/szórás méretét és helyzetét a grafikonon. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a mintaátlag és empirikus szórás nyilvánvaló konvergenciáját az eloszlás várható értékéhez és szórásához.

Ellenőrizzük a 8. gyakorlat, 9. gyakorlat, és a 10. gyakorlat eredményét közvetlenük a sűrűságfüggvény használatával. Megjegyezzük, hogy ez a módszer lényegesen több munkát kíván.

Tételezzük fel, hogy V és W a kísérletben független valószínűségi változók, és hogy V negatív binomiális eloszlású j és p paraméterekkel, továbbá W negatív binomiális eloszlású k és p paraméterekkel. Mutassuk meg, hogy V W negatív binomiális eloszlású k j és p paraméterekkel.

  1. Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást, ami a részletösszeg reprezentáción alapul.
  2. Adjunk analitikus bizonyítást, ami a sűrűségfüggvényen alapul.
  3. Adjunk analitikus bizonyítást, ami a generátorfüggvényen alapul.

Normális approximáció

A negatív binomiális kísérletben p különböző értékeivel kezdjük és legyen k 1 . Folyamatosan növeljük k értékét 1-esével, és minden alkalommal figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját.

Annak ellenére, hogy a k értékének maximuma 5 lehet, láthatjuk a harang alakot. Ez a központi határeloszlás-tétel következménye, mivel a negatív binomiális valószínűségi változó felírható, mint k független, azonos eloszlású (gemetriai) valószínűségi változó összege.

Mutassuk meg, hogy az alább megadott standardizált változó standard normális eloszláshoz konvergál, ha k .

Z k p V k k k 1 p

Gyakorlati szempontból ez az eredmény azt jelenti, hogy ha k nagy, akkor V k eloszlása közelítőleg normális a 8. gyakorlatban megadott várható értékkel és a 9. gyakorlatban megadott szórásnégyzettel. Hogy mennyire nagynak kell lennie k -nak, az p -től függ. Emlékeztetünk arra, hogy amikor alkalmazzuk a normális megközelítést, a folytonossági korrekció használatára is szükség lehet, mivel a negatív binomiális eloszlás diszkrét.

A rendstatisztikákkal való kapcsolat

Tételezzük fel, hogy k n . Mutassuk meg, hogy

V 1 j 1 V 2 j 2 V k j k Y n k 1 n k     j 1 j 2 j k L  esetén,  

ahol L j 1 j 2 j k 1 2 n k j 1 j 2 j k . Így, ha a sikeres kimenetelű kísérlet k -szor következik be az első n kísérletből, akkor a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési számának vektora egyenletes eloszlású az L halmazon. Ezzel ekvivalens módon, a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési számának vektora ugyanolyan eloszlású,mint az 1 2 n elemű halmazból véletlenszerűen, visszatevés nélkül választott k elemű mintának megfelelő rendstatisztikák vektora.

Mutassuk meg, hogy

V m j Y n k j 1 m 1 n j k m n k ,  j m m 1 n k m

Az m -edik rendtatisztikának ugyanez az eloszlása, amikor a k elemű mintát az 1 2 n populációból választjuk véletlenszerűen és visszatevés nélkül.

Példák és alkalmazások

Egy szabályos dobókockát annyiszor dobunk fel, amig három 1-est nem kapunk. Jelölje V a dobások számát!

  1. Adjuk meg V sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg V várható értékét!
  3. Adjuk meg V szórásnégyzetét!
  4. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy legalább 20 dobás szükséges!

Egy pénzérmét újra meg újra feldobunk. A 10-edik fejet a 25-ödik dobásra kapjuk.

  1. Adjuk meg az 5 -dik fej dobás sorszámának sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg az (a)-ban szereplő eloszlás várható értékét!
  3. Adjuk meg az (a)-ban szereplő eloszlás szórásnégyzetét!

Annak valószínűsége, hogy egy bizonyos típusú rakéta nem talál célba, 0.02. Jelölje N a negyedik sikertelen lövés sorszámát!

  1. Adjuk meg N sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg N várható értékét!
  3. Adjuk meg N szórásnégyzetét!
  4. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy az első 200 lövésből legalább 4 nem talál!

A negatív binomiális kísérletben, legyen p 0.5 és k 5 . Végezzül el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve. Számítsuk ki és hasonlítsuk össze a következőket:

  1. 8 V 5 15
  2. Az 8 V 5 15 esemény relatív gyakorisága a szimulációban.
  3. 8 V 5 15 normális approximációja.

Egy pénzérmét addig dobálunk, amíg meg nem dobjuk az 50-edik fejet.

  1. Feltételezve, hogy a pénzérme szabályos, normális approximáció segítségével adjuk meg annak valószínűségét, hogy legalább 125-ször kell dobnunk.
  2. Tételezzük fel, hogy végrehajtotta ezt a kísérletet. Elfogadhatjuk-e, hogy a pénzérme szabályos?

Banach gyufás problémája

Tételezzük fel, hogy egy szórakozott professzornak (van egyáltalán másmilyen?) m gyufaszál van a jobb és m gyufaszál van a bal zsebében. Amikor rá akar gyújtani a pipájára, 1/2 - 1/2 valószínűséggel választ gyufaszálat valamelyik zsebéből. Ki akarjuk számolni annak a W valószínűségi változónak a sűrűségfüggvényét, amely valószínűségi változó megadja abban a zsebében lévő maradék gyufaszálak számát, amikor észreveszi, hogy a másik zsebéből kifogyott a gyufa. Ez a probléma Banach féle gyufás probléma néven ismert, nevét Stefan Banach matematikusról kapta, aki tudvalevőleg a fenti módon gyújtott pipára.

Újrafogalmazzuk a problémát a negatív binomiális eloszlás segítségével kifejezve. Nyilvánvalóan a gyufaszál választás Benoulli kísérleteknek egy sorozatát alkotja p 12 paraméterrel. Speciálisan, visgálhatjuk a gyufaproblémát a következőképpen: ha a jobb zsebből húzunk gyufaszálat, akkor az R játékos nyer, ha a bal zsebből húzunk gyufaszálat, akkor az L játékos nyer. Kísérleteknek egy hipotetikusan végtelen sorozatában jelölje U azon kísérleteknek a számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy az R játékos nyerjen és m 1 alkalommal, és V azon kísérleteknek a számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy az L játékos nyerjen m 1 alkalommal. Megjegyezzük, hogy U és V mindegyike negatív binomiális eloszlású m 1 és p paraméterekkel.

k 0 1 m esetén mutassuk meg, hogy az

  1. L játékos m k alkalommal nyer, az R játékos m 1 alkalommal nyer akkor és csak akkor következik be, ha U 2 m k 1
  2. U 2 m k 1 ekvivalens azzal a eseménnyel, hogy a professzor első alkalommal tapasztalja, hogy a jobb zsebe üres és a bal zsebében k gyufaszál van.
  3. U 2 m k 1 2 m k m 12 2 m k 1 .

k 0 1 m esetén mutassuk meg, hogy az

  1. R m k alkalommal nyer, az L játékos m 1 alkalommal nyer akkor és csak akkor következik be, ha V 2 m k 1
  2. V 2 m k 1 ekvivalens azal az eseménnyel, hogy a professzor első alkalommal tapasztalja, hogy a jobb zsebe üres és a bal zsebében k gyufaszál van.
  3. V 2 m k 1 2 m k m 12 2 m k 1 .

Az előző két gyakorlat eredményét kombinálva követketessünk arra, hogy

W k 2 m k m 12 2 m k ,  k 0 1 m

Megoldhatjuk a nem szimmetrikus Banach gyufás problémát felhasználva a fenti módszereket. Így tételezzük fel, hogy a professzor jobb zsebébe p valószínűséggel, bal zsebébe 1 p valószínűséggel nyúl, ahol 0 p 1 . Az elemzésben lényeges változás az, hogy U negatív binomiális eloszlású m 1 és p paraméterekkel, míg V negatív binomiális eloszlású m 1 és 1 p paraméterekkel.

Mutassuk meg, hogy

W k 2 m k m p m 1 1 p m k 1 p m 1 p m k ,  k 0 1 m

Pontok problémája

Tételezzük fel, hogy van két csapat A és B , akik Bernoulli kísérleteknek egy sorozatát játsszák, p annak valószínűsége, hogy A nyeri a játékot. Nemnegatív n és m egészek esetén jelölje A n m p annak valószínűségét, hogy A n pontot nyer, mielőtt B m pontot nyer. Számítsuk ki A n m értékét, ami történetileg egy híres probléma, a pontok problémája néven ismert, Pierre de Fermat és Blaise Pascal oldották meg.

Magyarázzuk meg, hogy miért állnak fenn a Bernoulli kísérlet feltételei (a kísérletek függetlensége, a sikeres kimenetel konstans valószínűsége) azokban a sportjátékokban, amikben van készséget, gyakorlatot kívánó összetevő, és véletlen összetevő is.

A pont-problémának létezik egy könnyű megoldása, felhasználva a binomiális eloszlást; ez lényegében Pascal megoldása. Tegyünk úgy, mintha n m 1 kísérletet végeznénk (játszanánk) tekintet nélkül a kimenetelre és jelölje Y n m 1 azon kísérletek számát, amikor A nyert. Definíció szerint Y n m 1 binomiális eloszlású n m 1 és p paraméterekkel.

Mutassuk meg, hogy A n játékot nyer, mielőtt B m játékot nyerne akkor és csak akkor, ha

Y n m 1 n

Felhasználva az előző gyakorlat eredményét, mutassuk meg, hogy

A n m p k n n m 1 n m 1 k p k 1 p n m 1 k

A pont-problémának létezik egy másik könnyű megoldása, felhasználva a negatív binomiális eloszlást. Egy bizonyos értelemben ez az az eset, amikor a binomiális és negatív binomiális eloszlások között ekvivalencia van. Először tegyünk úgy, mintha vég nélkül játszanánk tekintet nélkül a kimenetre és jelölje V n a játékok számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy A nyerjen n játékot. Definíció szerint V n negatív binomiális eloszlású n és p paraméterekkel.

Mutassuk meg, hogy A n játékot nyer, mielőtt B m játékot nyerne akkor és csak akkor, ha

V n n m 1 !

Felhasználva az előző gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy

A n m p j n n m 1 j 1 n 1 p n 1 p j n !

Mutassuk meg, hogy fix n és m esetén, A n m p 0-tól 1-ig nő, ha p 0-tól 1-ig nő!

Mutassuk meg, hogy

  1. A n m p csökken, ha n növekszik és m valamint p rögzített.
  2. A n m p növekszik, ha m növekszik és n valamint p rögzített!

Mutassuk meg, hogy 1 A n m p A m n 1 p minden n , m és p értékére!

  1. Adjunk analitikus bizonyítást!
  2. Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást!

A pont-probléma kísérletben, változtassuk n , m , és p értékét, és figyeljük meg a valószínűség változásait. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság valószínűséghez való nyilvánvaló konvergenciáját!

Az első kísérlet eredményével kapcsolatos feltétel, hogy levezessük a következő rekurzív összefüggést és korlátozó feltételeket (ez volt lényegében Fermat megoldása):

  1. A n m p p A n 1 m p 1 p A n m 1 p n esetén és m
  2. A n 0 p 0 , A 0 m p 1

Tanulmányozzuk azon kísérletek számát, amelyek szükségesek a pont kísérlet problémájához! Jelölje N n m azon kísérletek számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy vagy A nyerjen n pontot, vagy B nyerjen m pontot, amelyik először előfordul (bekövetkezik). A negatív binomiális eloszlás N n m eloszlásának egy könnnyű levezetését adja. Képzeljük el újra, hogy a kísérletet korlátlan sokszor végezzük el. Jelölje V n a kísérletek számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy A n pontot nyerjen és jelölje W m azon kísérletek számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy B m pontot nyerjen.

Mutassuk meg, hogy k m n n m 1 esetén

N n m k V n k W m k k 1 n 1 p n 1 p k n k 1 m 1 1 p m p k m

Játékok sorozata

Fontos a pont-problémának az a speciális esete, amikor m n mert ez megfelelel annak, amikor A és B a "ki nyer többször játékot 2 n 1 játékból" játéksorozatot játssza. Amelyik játékos előszőr nyer n -szer, az nyeri a sorozatot is. Ilyen sorozatokat gyakran használnak n 2 3 4 értékkel a körmérközéses bajnokságokban. Bevezetjük a következő jelölést: A n p A n n p annak a valószínűsége, hogy az A játékos nyeri a sorozatot. A pont-problémával kapcsolatos általános eredményeinkből következik, hogy

A n p k n 2 n 1 2 n 1 k p k 1 p 2 n 1 k j n 2 n 1 j 1 n 1 p n 1 p j n

Tételezzük fel, hogy p 0.6 . Adjuk meg explicite annak valószínűségét, hogy A nyeri a játékot a következő esetekre:

  1. A 5 játék után nyer.
  2. A 7 játék után nyer.

A pont-probléma kísérletekben, változtassuk n , m , és p paraméterek értékét ( n m feltétel megőrzésével), és jegyezzük fel, hogyan változik a valószínűség. Szimuláljunk "ki nyer többet 5 játékból" sorozatot. n m 3 , p 0.6 választásával. Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság valódi valószínűséghez történő nyilvánvaló konvergenciáját.

Mutassuk meg, hogy A n 1 p 1 A n p minden n és p értékére!

  1. Mutassuk meg, hogy ez a feltétel azt jelenti, hogy A n diagramja szimmetrikus p 12 -re vonatkozólag!
  2. Mutassuk meg, hogy ez a feltétel magába foglalja azt, hogy A n 12 12 !

A pont-probléma kísérletekben, változtassuk az n , m , és p paraméterek értékét ( n m feltételek megőrzésével), és jegyezzük fel, hogyan változik a valószínűség. Szimuláljunk egy "ki nyer többet 7 játékból" sorozatot n m 4 , p 0.45 választásával! Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve! Figyeljük meg a relatív gyakoriság valódi valószínűséghez történő nyilvánvaló konvergenciáját!

Tételezzük fel, hogy n m ! Mutassuk meg, hogy A n p A m p akkor és csak akkor, ha p 12 ! Értelmezzük az eredményt!

Jelölje N n a sorozatban a kísérletek számát. Felhasználva a 37. gyakorlatot mutassuk meg, hogy

N n k k 1 n 1 p n 1 p k n 1 p n p k n ,  k n n 1 2 n 1

Számoljuk ki egy "ki nyer többet 7 játékból" sorozatban explicit módon a játékok számának sűrűségfüggvényét, várható értékét és szórását a következő valószínűségekre: p :

  1. 0.5
  2. 0.7
  3. 0.9

Osztozkodás problémája

A probléma Chevalier de Mere-től ered, akit az érdekelt, hogyan osztozkodjon két játékos, ha a játék félbeszakad. Speciálisan tegyük fel, hogy az A és B játékosok mindegyike felajánl C pénzegységet és Bernoulli kísérletet játszanak addig, amíg valamelyikük egy előre definiált számú játokot nem nyer. A nyertes ekkor megkapja a teljes 2 C összeget.

Ha a játék megszakad, amikor a győzelemhez A -nak még n -szer kellene nyernie és B -nek még m -szer kellene nyernie, bizonyítsuk be, hogy a nyereményt A és B között a következőképpen igazságos elosztani:

  1. 2 C A n m p A részére,
  2. 2 C 1 A n m p B részére.

Tételezzük fel, hogy az A és B játékosok mindegyike $50-ral fogad. A játékosok feldobnak egy szabályos pénzérmét, amíg az egyikük 10-szer nem nyer. A nyertes elviszi a teljes összeget. Tételezzük fel, hogy a játék akkor szakad meg (jön a szerencsejátékokat ellenőrző rendőrség), amikor A 5-ször nyert és B 3-szor nyert. Hogyan osztozkodjanak a betett összegen (a 100$-on)?

  1. Virtuális laboratóriumok
  2. 10. Bernoulli kísérletek
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6